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第二节 极限的概念和运算法则,一 数列极限,例如,按照一定顺序排成的一列数，叫作数列.组成数列的,定义,每个数都叫作这个数列的项.,一般形式,的变化趋势.,定义,对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的，数列极限可以用更精确的数学语言来刻画,几何解释:,例1,证明数列,证,收敛数列的性质,定理 （惟一性）,证,反证法.,矛盾,定义,例如,有界,无界,定理2（有界性）,证,发散,本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛.例如，数列,是有界的，但数列不收敛.,二 函数极限,1. 自变量趋向无穷大时函数的极限,定义,例如,定义,例3,解,2. 自变量趋于有限值时函数的极限,定义,例如,定义,定理,例6,解,1. 极限的四则运算法则,定理,三 极限的运算法则,定理1可推广到有限个函数的情形.,推论1,推论2,例7,解,例8,解,x =1 时分母为 0 !,例9,解,例11,解,“ 抓大头”,例 12,解,例13,解,解,原式,2. 复合函数的极限法则,定理,例15,解,1无穷小量,定义,极限是零的变量,称为无穷小量,简称无穷小.,例如,注意,(2) 无穷小是变量,不能与很小的数混淆.,(1) 函数是无穷小,必须指明自变量的变化趋向.,(3) 数“0”可以看作无穷小.,四 无穷小量与无穷大量,性质1,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意,无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,例如,性质2,有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,例16,解,2无穷大量,定义,例如,特殊情形：正无穷大,负无穷大,注意,(1) 函数是无穷大,必须指明自变量的变化趋向.,(2) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆.,定理,3无穷小与无穷大的关系,4 无穷小的比较,都是无穷小,但是趋于0的速度似乎是不同的,需要对两个无穷小趋于0的速度做出比较的方法,定义,例17,比较下列无穷小的阶数
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