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第一章 矢量分析 1.2 标量场的方向导数和梯度,主要内容,方向导数 梯度,学习目的,掌握方向导数、梯度的物理含义及计算方法 掌握方向导数与梯度之间的区别与联系,1.2.1 标量场的方向导数,标量函数 在M0处沿l方向的方向导数为,推论：,表示沿l方向增加,表示沿l方向减少,表示沿l方向不变,含义：表示标量场 在点M0处沿l方向的变化规律。,（1）,（2）,（3）,方向导数计算公式：,【例】求函数 在点M（1，-2，-1）处沿矢量 方向的方向导数。,【解】矢量l在点M处的值为,其方向余弦为,故,1.2.2 标量场的梯度,在P点沿哪个方向变化率最快？,由方向导数的定义可知：沿等值面法线n的方向导数最大。故定义梯度,大小：最大变化率,方向：最大变化率的方向即过该点的等值面法线方向,其中， 称为哈密顿算子。,梯度的计算公式推导如下：,令方向矢量,其单位矢量为,令某一常矢量,又因为,故当G与l方向一致时方向导数最大即为梯度，且,方向导数与梯度的关系：,在圆柱坐标系中：,在球坐标系中：,在任意正交曲线坐标系中：,在不同的坐标系中，梯度的计算公式：,在直角坐标系中：,对于距离矢量 有以下常用结论：,总结：,（1） 为矢量，表示过某点的变化率最大，变化最快。 （2） 方向垂直于过某点的等值面，即沿法线方向。 （3） 沿某方向l的方向导数为梯度在该方向l上的投影。,【例】求标量场 在点 与点 处梯度的大小和方向余弦。在哪点上的梯度为0？,在点 处方向余弦 在点 处方向余弦,【解】：标量场的梯度为：,所以,若令梯度等于0，即满足方程 所以 解得 故在点 处梯度为0,【例1-5】 求r在M（1,0,1）处沿 方向的方向导数。,【解】 方法一：利用梯度间接求解,【解】 方法二：利用公式直接求解,总结,主要内容
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