2017届中考数学压轴试题复习第二部分专题一由比例线段产生的函数关系问题.docx

21 由比例线段产生的函数关系问题课前导学（一）图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OBx，ABy，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式类型二，图形的翻折已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设ADx，OEy，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式图1 图2由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错课前导学（二）图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值关于面积的最值问题，有许多经典的结论例1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大例2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小例3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆例4，如图1，锐角ABC的内接矩形DEFG的面积为y，ADx，当点D是AB的中点时，面积y最大例5，如图2，点P在直线AB上方的抛物线上一点，当点P位于AB的中点E的正上方时，PAB的面积最大例6，如图3，ABC中，A和对边BC是确定的，当ABAC时，ABC的面积最大图1 图2 图3例 1 2014年湖南省常德市中考第26题如图1，图2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PEAD（或延长线）于E，作PFDC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G（1）在图1中，正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，设AP，求y关于的函数表达式；（2）GBEF对于图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：FGCPFB图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14常德26”，拖动点P在射线AC上运动，可以体验到，EM和FN把正方形ABCD分割成了两个正方形和两个全等的矩形，B、C、G、F四点共圆思路点拨1四边形ABFE可以用大正方形减去两个直角三角形得到2画直线EP、FP，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形图文解析（1）如图3，延长EP交BC于M，延长FP交AB于N，那么四边形AEPN和四边形CFPM是正方形由AP，可得正方形AEPN的边长为所以FCDE由于SDEF，SBCF，所以yS四边形ABFES正方形ABCDSDEFSBCF4图3 图4（2）如图4，因为tanEFP，tanPBN，且PENP，PFNB，所以EFPPBN又因为12，1PBN90，所以2EFP90所以GBEF（3）如图5，由于GBEF，BCF90，所以B、C、G、F四点共圆所以FCGPBF，CGBCFB又因为CGFCGB90，BFPCFB90，所以CGFBFP所以FGCPFB图5 图6 图7考点伸展如图6， 由于tanEFPtanPBN， 所以EFPPBN又因为PBN190，所以EFP190因此这种情况下，依然有BGEF第（1）题还有更简便的割补办法：如图7，连结EN由于S四边形NBFESENFSBNF，SAEN，所以yS四边形ABFES四边形NBFESAEN例 2 2014年湖南省湘潭市中考第25题如图1，ABC为等边三角形，边长为a，点F在BC边上，DFAB，EFAC，垂足分别为D、E（1）求证：BDFCEF；（2）若a4，设BFm，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取得最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tanEDF，求此圆的直径（用含a的式子表示） 图1 动感体验请打开几何画板文件名“14湘潭25”，拖动点F在BC上运动，观察S随m变化的图像，可以体验到，当F运动到BC的中点时，S取得最大值还可以看到，圆的直径就是直角三角形AEF的斜边思路点拨1用割补法求四边形ADFE的面积比较简单2当A、D、F、E四点共圆时，由于EDFEAF，那么在ACF中，两角及夹边就是确定的，可以解这个三角形图文解析（1）如图1，因为BC60，BDFCEF90，所以BDFCEF（2）如图2，当等边三角形ABC的边长a4时，SABC在RtBDF中，B60，BFm，所以，所以SBDF在RtCEF中，C60，CF4m，所以，所以SCEF因此SS四边形ADFESABCSBDFSCEF所以当m2时，S取得最大值，最大值为此时点F是BC的中点（如图3）（3）如图4，由于A、D、F、E四点共圆，所以EAFEDF因为AEF90，所以AF是圆的直径在RtEAF中，由于tanEAF，设EF，EA2x在RtECF中，C60，所以因此ECx由ACEAECa，得2xxa所以x所以在RtEAF中，EF，EA，由勾股定理，得圆的直径AF图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以求ADF与AEF的面积和由于，所以AD，SADF由于，所以AE，SAEF因此SSADFSAEF例 3 2014年湖南省郴州市中考第25题如图1，在RtABC中，BAC90，B60，BC16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE1cm，点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动以MN为边在BC的上方作正方形MNGH点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与RtABC重叠部分的图形的面积为S当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连结DP，当t为何值时，CPD是等腰三角形？图1 动感体验请打开几何画板文件名“14郴州25”，拖动点N在BC上运动，可以体验到，重叠部分是正方形存在两种情况，等腰三角形CPD也存在两种情况思路点拨1用含t的式子把直线BC上的线段长都表示出来2重叠部分的图形是正方形，临界时刻是点H落在AB上，和点G落在AC上3等腰三角形CPD不存在DPDC的情况，因为以DC为半径的圆D与线段AC只有一个交点图文解析（1）如图2，当点G刚好落在线段AD上时，DN0而DNBDBMMN4t13t，所以3t0解得t3图2 图3（2）重叠部分的图形是正方形，存在两种情况：当HM在AD的左侧时，正方形MNGH的大小不变，边长为1，S1如图3，当H落在AB上时，BMHMtan30所以t4如图4，当HM在AD上时，正方形的边长为t3，S(t3)2如图5，当G落在AC上时，AHHGtan30由AD，得解得所以4t图4 图5（3）等腰三角形CPD存在两种情况：如图6，当PCPD时，点P在DC的垂直平分线上，N是DC的中点此时t369如图7，当CPCD12时，在RtCPN中，由cos30，得此时t图6 图7考点伸展当点G落在AC上时，CGAG的比值是多少呢？如图5，例 4 2015年湖南省常德市中考第25题如图1，曲线y1是抛物线的一部分，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且表达式为（x3），曲线y2与曲线y1关于直线x3对称（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；（2）过点C作CD/x轴交曲线y1于点D，连结AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；（3）设直线CM与轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“15常德25”，拖动点P运动，可以体验到，由于M、N两点间的水平距离是定值，因此当PE最大时，PMN的面积最大思路点拨1由A、C、D的坐标可以得到ACD是底角为30的等腰三角形，于是可知直线MN（直线CN）与y轴的夹角为302过点P作x轴的垂线交MN于E，那么PMN分割为有公共底边PE的两个三角形，这两个三角形的高的和为定值图文解析（1）由，得A(1, 0)、B(3, 0)、C(0, )因为A(1, 0)、B(3, 0) 关于直线x3的对称点为A(7, 0)、B(3, 0)，所以抛物线y2的表达式为（x3）（2）由CD/x轴，可知C、D关于抛物线y1的对称轴x1对称，所以D(2,)如图2，由A(1, 0)、C(0,)、D(2,)，可得ACDC2因此点C在AD的垂直平分线上如果四边形ACDM的对角线互相垂直平分，那么四边形ACDM是菱形，此时点M在x轴上，不在抛物线y2上因此只存在MC垂直平分AD的情况图2 图3如图2，如图3，过点A、M分别作x轴的垂线，与直线CD分别交于点G、H，那么ADGCMH由于tanADG，所以ADC30因此设M，那么整理，得x213x240解得所以点M的横坐标为（3）如图2，如图3，由于ADC30，当CMAD时，OCN30所以ONOC1，N(1, 0)所以直线CN为如图4，过点P作x轴的垂线，垂足