2018-19学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程学案苏教版.docx

2.4.1抛物线的标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题.知识点抛物线的标准方程思考1在抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？答案p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定开口方向.思考2已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？答案一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上.若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上.焦点确定，开口方向也随之确定.梳理抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点坐标准线方程xxyy1.抛物线y22x(p0)的焦点坐标为(1,0).()2.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.()3.抛物线的方程都是y关于x的二次函数.()4.方程x22py是表示开口向上的抛物线.()类型一求抛物线的标准方程例1分别根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)；(2)准线方程为y；(3)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5；(4)过点A(2,3).考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且2，则p4.所以所求抛物线的标准方程为x28y.(2)因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面，且，则p.所以所求抛物线的标准方程为x2y.(3)由焦点到准线的距离为5知，p5.又焦点在x轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y210x.(4)由题意知，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0).将点A(2,3)的坐标代入，得32m2或22n3，m或n.所以所求抛物线方程为y2x或x2y.反思与感悟求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0).跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3，4)；(2)焦点在直线x3y150上，且焦点在坐标轴上；(3)焦点到准线的距离为.考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解(1)方法一点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10).把点(3，4)分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.方法二点(3，4)在第四象限，设抛物线的方程为y2ax(a0)或x2by(b0).把点(3，4)分别代入，可得a，b.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(2)令x0，得y5；令y0，得x15，抛物线的焦点坐标为(0，5)或(15,0).所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.(3)由焦点到准线的距离为，得p，故所求抛物线的标准方程为y22x或y22x或x22y或x22y.类型二求抛物线的焦点坐标及准线方程例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程：(1)y26x；(2)3x25y0；(3)y4x2；(4)y2a2x(a0).考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解(1)由方程y26x知，抛物线开口向左，2p6，p3，所以焦点坐标为，准线方程为x.(2)将3x25y0变形为x2y，知抛物线开口向下，2p，p，所以焦点坐标为，准线方程为y.(3)将y4x2变形为x2y，可知抛物线开口向上，2p，p，所以焦点坐标为，准线方程为y.(4)由方程y2a2x(a0)知，抛物线开口向右，2pa2，p，所以焦点坐标为，准线方程为x.引申探究若将本例(4)中条件改为yax2(a0)，结果又如何？解yax2可变形为x2y，所以焦点坐标为，准线方程为y.反思与感悟如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.跟踪训练2若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_.考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案2x1解析由1知，p2，则准线方程为x1.类型三抛物线定义的应用例3若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程.考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等.由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，x为准线的抛物线，其方程应为y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，故点M的轨迹方程为y22x(x0).反思与感悟满足抛物线的定义，可直接利用定义写出轨迹方程，避免了繁琐的化简.跟踪训练3平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解由题意知，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1.由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x2，所以点B在抛物线内部.过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连结P1F.此时，由抛物线定义知，P1QP1F.所以PBPFP1BP1QBQ314，即PBPF的最小值为4.反思与感悟解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线来解决最值问题.跟踪训练4已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求最值答案2解析由题意知，直线l2：x1为抛物线y24x的准线.由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即d2.1.抛物线yx2的准线方程是_.考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案y1解析由yx2，得x24y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，因此准线方程为y1.2.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案6解析抛物线y28x的准线方程为x2，则点P到准线的距离是6.由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是6.3.根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为x1._.(2)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是2._.考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案(1)y24x(2)y24x解析(1)x1，p2.又焦点在x轴上，则抛物线的标准方程为y24x.(2)焦点到准线的距离为p2，且焦点在x轴的负半轴上，抛物线的标准方程为y24x.4.若椭圆1(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p为_.考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案解析由题意知，左焦点为，则c.a23，b2，3，得p.5.若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点坐标解由抛物线定义，设焦点为F.则该抛物线的准线方程为x.由题意设点M到准线的距离为MN，则MNMF10，即(9)10，p2.故抛物线方程为y24x.将M(9，y0)代入抛物线方程，得y06.M点的坐标为(9,6)或(9，6).1.焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点坐标为F，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点坐标为F，准线方程为y.2.设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径.若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径MFx0.3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.一、填空题1.经过点P(4，2)的抛物线的标准方程为_.考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案y2x或x28y解析点P在第四象限，抛物线开口向右或向下.当开口向右时，设抛物线方程为y22p1x(p10)，则(2)28p1，p1，抛物线方程为y2x.当开口向下时，设抛物线方程为x22p2y(p20)，则424p2，p24，抛物线方程为x28y.2.已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为_.考点抛物线的定义题点由抛物线的定义求点的坐标答案(1,0)解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x.由题设知1，即p2，故焦点坐标为.3.若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p_.考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案4解析a26，b22，c2a2b24，c2，即椭圆的右焦点为(2,0)，2，即p4.4.若抛物线yax2的准线方程是y2，则a_.考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案解析yax2可化为x2y.准线方程为y2，a0).由定义知点P到准线的距离为4，故24，p4，x28y.将点P的坐标代入x28y，得m4.6.已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为_.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点坐标答案2解析抛物线y22px的准线方程为x，它与圆相切，所以必有34，所以p2.7.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案解析抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得12p，解得p，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为.8.过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点.若AF3，则BF_.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案解析抛物线y24x的准线为x1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2).由抛物线的定义可知AFx113，所以x12，所以y12，由抛物线关于x轴对称，假设A(2,2).由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y02(x1)，代入抛物线方程消去y，得2x25x20，求得x2或，所以x2，故BF.9.O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为抛物线C上一点，若PF4，则POF的面积为_.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点坐标答案2解析抛物线C的准线方程为x，焦点F(，0).由PF4及抛物线的定义知，P点的横坐标为xP3，从而纵坐标为yP2.SPOFOF|yP|22.10.已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值为_.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求最值答案解析抛物线y22x的焦点坐标为F，准线是x.由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离等于它到准线x的距离.因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值.结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离，因此所求距离之和的最小值为.11.已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是_.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求最值答案1解析点P到抛物线准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离.圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是1.二、解答题12.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过1的一个焦点，且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程.考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y22px(p0).将点代入方程，得p2，所以抛物线方程为y24x，准线方程为x1.由此知双曲线方程中c1，焦点为(1,0)，(1,0)，点到两焦点的距离之差为2a1，所以双曲线的标准方程为1.13.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且AFBF8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解设抛物线的方程为y22px(p0), 则其准线方程为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AFBF8，x1x28，即x1x28p.Q(6,0)在线段AB的中垂线上，QAQB，即，又y2px1，y2px2，(x1x2)(x1x2122p)0.AB与x轴不垂直，x1x2.故x1x2122p8p122p0，即p4.抛物线方程为y28x.三、探究与拓展14.已知抛物线y22px的焦点F与双曲线1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且AKAF，则AFK的面积为_.考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案32解析由题意可知抛物线焦点坐标为F(4,0).过点A作直线AA垂直于抛物线的准线，垂足为A，根据抛物线