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3.2.1 立体几何中的向量方法 方向向量与法向量,A,P,直线的方向向量,直线的向量式方程,换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量,一、方向向量与法向量,2、平面的法向量,l,平面 的向量式方程,换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量,例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 直线OA的一个方向向量坐标为_ 平面OABC 的一个法向量坐标为_ 平面AB1C 的一个法向量坐标为_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求平面EDB的一个法向量.,A,B,C,D,P,E,解：如图所示建立空间直角坐标系.,设平面EDB的法向量为,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.,用向量方法解决立体问题,二、 立体几何中的向量方法 证明平行与垂直,m,l,（一）. 平行关系：,（二）、垂直关系：,l,m,l,A,B,C,例1.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行,已知 直线l与m相交,例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形, PD底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的 中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE/FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证 ：如图所示, 建立 空间直角坐标系.,/,AE与FG不共线,几何法呢？,例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,解1 立体几何法,A,B,C,D,P,E,解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG,A,B,C,D,P,E,解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,设平面EDB的法向量为,A,B,C,D,P,E,解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,解得 x,证明：设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，,所以,证明2：,E是AA1中点，,例5 正方体,平面C1BD.,证明：,E,求证：平面EBD,设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系,平面C1BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面EBD的一
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