2018-19学年高中数学第3章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用学案苏教版.docx

3.4导数在实际生活中的应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.知识点生活中的优化问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.3.解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.1.优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题.()2.生活中的优化问题都必须利用导数解决.()3.生活中的优化问题中，若函数只有一个极值点，则它就是最值点.()类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBxcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题解(1)由题意知，包装盒的底面边长为xcm，高为(30x)cm,0x30，包装盒侧面积为S4x(30x)8x(30x)828225，当且仅当x30x，即x15时，等号成立，答若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.(2)包装盒容积V2x2(30x)2x360x2(0x0，得0x20；令V0，得20x30.答当x20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20cm，高为10cm，包装盒的高与底面边长的比值为.反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题.(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.跟踪训练1在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.(1)当a90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题解(1)当a90时，b40，纸盒的底面矩形的长为902x，宽为402x，周长为2608x.所以纸盒的侧面积S(x)(2608x)x8x2260x，其中x(0,20)，故S(x)maxS.答当a90时，纸盒侧面积的最大值为平方厘米.(2)纸盒的体积V(a2x)(b2x)x，其中x，ab0，且ab3600.因为(a2x)(b2x)ab2(ab)x4x2ab4x4x24(x260x900)，当且仅当ab60时取等号，所以V4(x360x2900x)，x(0,30).记f(x)4(x360x2900x)，x(0,30)，则f(x)12(x10)(x30)，令f(x)0，得x10，或x30(舍去).当x(0,30)时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,10)10(10,30)f(x)0f(x)极大值由上表可知，f(x)的极大值是f(10)16000，也是最大值.答当ab60，且x10时，纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米.类型二实际生活中的最值问题例2已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x，所以W(2)当00；当x(9,10时，W10时，W9898238，当且仅当2.7x，即x时，W取得最大值38.综合知，当x9(千件)时，W取得最大值为38.6万元.答当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数.跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)因为当x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.例3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.考点几何类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解(1)由题设知，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)，而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10).(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5，当0x5时，f(x)0；当5x0，故x5为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.答当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元.反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.跟踪训练3如图，一个圆心角为直角的扇形AOB花草房，半径为1，点P是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP内种花，PQOA，垂足为Q，PQ将扇形AOP分成左右两部分，在PQ左侧部分三角形POQ为观赏区，在PQ右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a为正常数，设AOP，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，总造价为f().(1)求f()关于的函数关系式；(2)求当为何值时，总造价最小，并求出最小值.考点几何类型的优化问题题点利用导数求解三角模型的最优化问题解(1)种花区的造价为，种草区的造价为2a，故总造价f()2aa,00；当t(8,9)时，y0，故t8时，y取最大值.2.用长为24m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为_m3.考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案8解析设长方体的底面边长为xm，则高为(62x)m，0x3，则长方体的体积为V(x)x2(62x)6x22x3，V(x)12x6x2.令V(x)0，得x2或x0(舍去).当x(0,2)时，函数V(x)是增函数；当x(2,3)时，函数V(x)是减函数，当x2时，V(x)max428(m3).3.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是_.考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案300解析由题意得，总利润P(x)令P(x)0，得x300.4.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.考点几何类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案160解析设底面长为x，由题意得底面宽为.设总造价为y，则y20x101，即y20x80，y20，令y0，得x2.因为当0x2时，y2时，y0，所以x2是函数y的极小值点，也是最小值点.所以当x2时，ymin160(元).5.某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与年广告费x(万元)之间的函数关系式为Q(x0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)由题意知，每年销售Q万件，共计成本为(32Q3x)万元.销售收入是(32Q3)150%x50%，所以年利润y(32Q3x)(323x)(x0)，即所求的函数关系式为y(x0).当x100时，y0；当x(7，)时，f(x)0，所以f(x)极大值f(7)42.又因为在0，)上只有一个极值点，所以f(x)最大值f(7)42.答当年广告费投入7万元时，企业年利润最大.1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.一、填空题1.容积为256的方底无盖水箱，它的高为_时最省材料.考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案4解析设水箱高为h，底面边长为a，则a2h256，其表面积为Sa24aha24aa2.令S2a0，得a8.当0a8时，S8时，S0，故当a8时，S最小，此时h4.2.如果圆柱截面的周长l为定值，则体积的最大值为_.考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h，Vr2hr22r3.则Vlr6r2，令V0，得r0或r，而r0，r是其唯一的极值点，且当0r0，当r时，v0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件.考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案3解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0).已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为_.考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案0.0324解析依题意知，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x(0,0.0486).所以银行的收益是y0.0486kx2kx3(0x0.0486)，则y0.0972kx3kx2.令y0，得x0.0324或x0(舍去).当0x0；当0.0324x0.0486时，y0).S(x34V).令S0，得x.可判断当x时，直棱柱的表面积最小.6.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8300170pp2.问该商品零售价定为_元时毛利润最大.(毛利润销售收入进货支出)考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案30解析由题意知，毛利润销售额成本，即L(p)pQ20QQ(p20)(8300170pp2)(p20)p3150p211700p166000，所以L(p)3p2300p11700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去).此时，L(30)23000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值.7.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx8，x(0,120，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以_千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少.考点几何类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案80解析当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，由题意，得y(0x120)，则y(0x120)，令y0，得x80，当x(0,80)时，y0，该函数递增，故当x80时，y取得最小值.8.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，已知窗户的面积一定，若要使窗户的周长最小，则x与h的比为_.考点几何类型的优化问题题点周长的最值问题答案11解析设窗户的面积为S，周长为L，则Sx22hx，即hx.所以窗户的周长为Lx2x2hx2x，则L2.由于x0，令L0，得x，当x时，L0，所以当x时，L取得最小值，此时1.9.某厂生产某种产品x件的总成本(单位：元)为C(x)1200x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，若生产100件这样的产品时，单价为50元，则要使总利润最大，产量应定为_件.考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案25解析设产品单价为a元，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2xk(k为比例系数).由题意知，k250000，则a2x250000，所以a.设总利润为y元，则y500x31200(x0)，则yx2，由y0，得x25，当x(0,25)时，y0；当x(25，)时，y0，所以当x25时，y取得最大值.故要使总利润最大，产量应定为25件.10.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 nmile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲、乙两地相距800nmile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_nmile/h.考点几何类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案20解析由题意知，设燃料费y与航速x满足yax3(0x30)，又因为25a103，所以a.设海轮从甲地到乙地的航速为v，费用为w，则wav340020v2.令w40v0，得v20.当0v20时，y0；当20v30时，y0.因此，当x20时，函数w取得极小值，也是最小值.即海轮从甲地到乙地的航速为20nmile/h时，总费用最低.二、解答题11.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额t25t(百万元)(0t3).(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额为x3x23x(百万元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.(收益销售额投入)考点几何类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所以当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大.(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，所以g(x)x24，令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又当0x0；当2x3时，g(x)0，得r0，得2r；令y0，得0r2.所以当r2时，该容器的建造费用最少，为96千元，此时l.答当r2，l时，该容器的建造费用最少，为96千元.13.如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰RtEFH，其中FEFH，FEFH.现将铁片裁剪成尽可能大的梯形铁片ABCD(不计损耗)，ADBC，且点A，B在弧EF上.点C，D在斜边EH上.设AOE.(1)求梯形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；(2)试确定的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值.考点几何类型的优化问题题点利用导数求解三角模型的最优化问题解(1)因为AOE，AOEBOF且OAOB1，所以AD1cossin，BC1