2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2直线方程的几种形式学案含解析新人教B版.docx

2.2.2直线方程的几种形式1.会求直线的点斜式，斜截式，两点式和一般式的方程.(重点)2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系.(重点)3.灵活选用恰当的方式求直线方程.(难点)基础初探教材整理1直线方程的几种形式阅读教材P77P79内容，完成下列问题.形式条件方程应用范围点斜式直线l上一点P(x0，y0)及斜率kyy0k(xx0)直线l的斜率k存在斜截式直线l的斜率k及在y轴上的截距bykxb两点式直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2，y1y2)直线l不与坐标轴平行或重合截距式直线l在x轴，y轴上的截距分别为a和b1直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点一般式二元一次方程系数A、B、C的值AxByC0(A2B20)平面内任何一条直线1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()A.可以写成两点式或截距式B.可以写成两点式或斜截式或点斜式C.可以写成点斜式或截距式D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式.由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B.【答案】B教材整理2直线方程的一般形式阅读教材P79P81内容，完成下列问题.1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示.2.每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.2.根据下列条件，分别写出直线的一般式方程.(1)斜率为，与x轴交点的横坐标为7；(2)过点P(4,3)，斜率k3；(3)过点P(4,2)，且与y轴平行.【解】(1)由条件知直线过点(7,0)，斜率k，所求直线方程为y0x(7)，所求直线的一般式方程为x2y70.(2)由直线的点斜式方程得y33(x4)，整理得所求直线的一般式方程为3xy90.(3)直线过点P(4,2)，且与y轴平行，故斜率不存在，所以直线方程为x4，一般式方程为x40.小组合作型求直线的点斜式方程写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点(2,5)，倾斜角为45；(2)直线yx1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90后得直线l，求直线l的点斜式方程；(3)经过点C(1，1)，且与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直.【精彩点拨】先求出直线的斜率，然后由点斜式写方程.【自主解答】(1)因为倾斜角为45，所以斜率ktan 451，所以直线的方程为y5x2.(2)直线yx1的斜率k1，所以倾斜角为45.由题意知，直线l的倾斜角为135，所以直线l的斜率ktan 1351.又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y4(x3).(3)由题意知，直线的斜率ktan 00，所以直线的点斜式方程为y(1)0，即y1.(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x1，该直线没有点斜式方程.1.求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率k写出方程yy0k(xx0).2.点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但xx0除外.再练一题1.求满足下列条件的直线的点斜式方程.(1)过点P(4,3)，斜率k3；(2)过点P(3，4)，且与x轴平行；(3)过P(2,3)，Q(5，4)两点.【解】(1)直线过点P(4,3)，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4).(2)与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3)，即y40.(3)过点P(2,3)，Q(5，4)的直线的斜率kPQ1.又直线过点P(2,3)，直线的点斜式方程为y3(x2).求直线的斜截式方程根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)经过点(3,4)且在两坐标轴上的截距相等.【精彩点拨】【自主解答】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y2x5.(2)倾斜角为150，斜率ktan 150.由斜截式可得方程为yx2.(3)设直线在两坐标轴上的截距为a，当a0时，直线的斜截式方程为yx.当a0时，设直线的斜截式方程为yxb，则有43b，即b7.此时方程为yx7，故所求直线方程为yx或yx7.1.用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别.2.直线的斜截式方程ykxb不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然.因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.再练一题2.(1)写出直线斜率为1，在y轴上截距为2的直线的斜截式方程；(2)求过点A(6，4)，斜率为的直线的斜截式方程；(3)已知直线l的方程为2xy10，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标.【解】(1)易知k1，b2，故直线的斜截式方程为yx2.(2)由于直线的斜率k，且过点A(6，4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y4(x6)，化成斜截式为yx4.(3)直线方程2xy10可化为y2x1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k2，在y轴上的截距b1，直线与y轴交点的坐标为(0,1).直线的两点式方程在ABC中，A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，(1)求BC所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程.【精彩点拨】(1)由两点式直接求BC所在直线的方程；(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程.【自主解答】(1)BC边过两点B(5，4)，C(0，2)，由两点式得，即2x5y100.故BC所在直线的方程为2x5y100.(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0，y03.M，又BC边上的中线经过点A(3,2).由两点式得，即10x11y80.故BC边上的中线所在直线的方程为10x11y80.1.由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标.(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标.(3)由直线的两点式方程写出直线的方程.2.求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.再练一题3.求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.【解】设直线的两截距都是a，则有当a0时，直线为ykx，将P(2,3)代入得k，l：3x2y0；当a0时，直线设为1，即xya，把P(2,3)代入得a5，l：xy5.直线l的方程为3x2y0或xy50.探究共研型直线截距式方程的应用探究1已知直线l过点(2,0)，(0,3)，能否写出直线l的方程？【提示】能.直线l的截距式方程为1.探究2直线的截距式方程能否与其他形式相互转化？【提示】能.设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)，(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.【精彩点拨】(1)从截距的定义入手，因方程中含有变量a，故需要对截距进行分类讨论.(2)中涉及图象过象限问题，可将方程转化为斜截式，从斜率和截距两方面进行综合考虑.【自主解答】(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等.所以a2，直线l的方程即3xy0.当a2时，截距存在且均不为0，所以a2，即a11，所以a0，直线l的方程为xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，则或所以a1.综上所述，a的取值范围是a1.对于与截距有关的问题，一定要注意截距为0的特殊情况，再者对直线方程的一般式往往根据需要将其转化为点斜式、斜截式等形式.(1)直线的一般式方程与其他四种形式的转化：(2)当直线方程AxByC0的系数A，B，C满足下列条件时，直线AxByC0有如下性质：当A0，B0时，直线与两条坐标轴都相交；当A0，B0，C0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；当A0，B0，C0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；当A0，B0，C0时，直线与x轴重合；当A0，B0，C0时，直线与y轴重合.再练一题4.求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程.【解】设直线l的方程为1，由题意4b2aab，即4(12a)2aa(12a)，a214a480，解得a6或a8.因此或所求直线l的方程为xy60或x2y80.1.已知直线的方程是y2x1，则()A.直线经过点(1,2)，斜率为1B.直线经过点(2，1)，斜率为1C.直线经过点(1，2)，斜率为1D.直线经过点(2，1)，斜率为1【解析】方程可变形为y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为1.【答案】C2.直线ykxb通过第一、三、四象限，则有()A.k0，b0B.k0，b0C.k0D.k0，b0，b0.【答案】B3.(1)若直线l经过点A(2，1)，B(2,7)，则直线l的方程为_；(2)若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_.【解析】(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x2.(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为，即xy10.又点P(3，m)在直线AB上，所以3m10，得m2.【答案】(1)x2(2)24.已知直线l的倾斜角为60，在y轴上的截距为4，则直线l的点斜式方程为_；截距式方程为_；斜截式方程为_；一般式方