理论力学10弯曲的应力分析和强度计算.ppt

第十章 弯曲的应力分析和强度计算,弯曲的应力分析和强度计算,10-1 弯曲内力剪力和弯矩,一、概述,2,弯曲的应力分析和强度计算,车削工件,3,弯曲的应力分析和强度计算,火车轮轴,4,弯曲的应力分析和强度计算,吊车梁,直杆在与其轴线垂直的外力作用下，轴线成曲线形状的变形 称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。,5,弯曲的应力分析和强度计算,平面弯曲,MZ,截面特征：杆具有纵向对称面，横截面有对称轴（y轴） 受力特点：外力都作用在对称面内，力垂直于杆轴线 变形特点：弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线,6,弯曲的应力分析和强度计算,梁的基本形式,F,q( x),Mx,简支梁,F,q( x),Mx,外伸梁,F,q( x),Mx,悬臂梁,7,弯曲的应力分析和强度计算,火车轮轴简化为外伸梁,8,弯曲的应力分析和强度计算,二、剪力与弯矩,截面法求内力,F,y,=0,c,RA P Q = 01,M,= 0 M + P ( x a ) RA x = 01,Q = RA P1,剪力,M = RA x P ( x a ) 弯矩1,9,弯曲的应力分析和强度计算,剪力符号规定：当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针 转动时为正，反之为负。,弯矩符号规定：弯矩使微段梁凹向上为正，反之为负。,10,弯曲的应力分析和强度计算,思考：,梁的内力符号是否和坐标系有关？,答：无关。,如图所示连续梁，和部分的内力情况如何？,A,0,0,E,B,C,F,P D ,X C = P cos ,答：轴力不为零，剪力和弯矩为零。,11,例,1,如图所示为受集中力及均布载荷作用的外伸梁，试求-， -截面上的剪力和弯矩。,解,1、支座约束力,M,M,B,=0,+RA 4 P 2 q 2 1 = 0,A,=0,P 2 RB 4 + q 2 5 = 0,RA = 1.5kN , RB = 7.5kN,12,例,1,2、计算内力,F = 0 MC = 0,y,1,RA Q1 = 0,RA 1 M 1 = 0,M 1 = 1.5kN m,Q1 = 1.5kN,F,x,=0,C2,Q2 q 1 = 0,M,= 0 M 2 + q 1 0.5 = 0,Q2 = 2kN,M 2 = 1kN m,13,弯曲的应力分析和强度计算,三、剪力与弯矩方程 剪力图和弯矩图,设x表示横截面的位置，则梁各截面上的剪力和弯矩可 以表示为坐标x的函数,Q = Q(x),-剪力方程,M = M (x),-弯矩方程,梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来 表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。,14,例,2,如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为 已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解 1、求支座约束力,la RA = P l,a RB = P l,2、列剪力方程和弯矩方程,AC段,la Q ( x1 ) = RA = P l,(0 x1 a ),M ( x1 ),la M ( x1 ) = RA x1 =Px1 (0 x1 a ) l,Q( x1 ),15,例,BC段,2,a Q ( x2 ) = RB = P l,(a x2 l ),Q ( x2 ),RB,a M ( x2 ) = RB (l x2 ) = P (l x2 ) l,(a x2 l ),3、画剪力图和弯矩图,la P l,M ( x2 ),a (l a ) P l,a P l,16,例,3,m悬臂梁受集中力和集中力偶作用，已知：P，l， = 3Pl 2 试绘剪力图和弯矩图。,解 1、求支座约束力, Fy = 0,RA P = 0,3Pl Pl mA = 0 MA = 0 2 Pl RA = P m A = 2,2、确定剪力、弯矩方程,AC段,l (0 x1 ) Q( x1 ) = RA = P 2 l Pl (0 x1 )M ( x1 ) = RA x1 + mA = Px 1 + 22,17,例,CB段,3,Q( x2 ) = P,l ( x2 l ) 2,M ( x2 ) = P (l x2 ),l ( x2 l ) 2,3、画剪力图和弯矩图,18,例,4,如图所示简支梁，已知q，l。试画出剪力图和弯矩图。,解 1、求支座约束力,ql RA = RB = 2,2、确定剪力方程和弯矩方程,ql Q ( x) = qx 2,(0 x 1) l,2,qlqx M ( x) = x 22,(0 x l ),19,3、画剪力图和弯矩图,弯曲的应力分析和强度计算,四、外力与剪力及弯矩间的关系,1、载荷集度、剪力及弯矩间的微分关系,设载荷集度是x的连续函数,q = q (x),规定：向上为正,F,y,=0,Q ( x ) Q ( x ) + dQ ( x ) + q ( x ) dx = 0,dQ ( x ) = q( x) dx,20,弯曲的应力分析和强度计算,dx M c = 0 M ( x) + dM ( x) M ( x) Q ( x)dx q ( x)dx = 0 2,dM ( x) = Q( x) dx,2,d M ( x) = q( x) 2 dx,2、集中力、集中力偶作用处的剪力及弯矩,F,y,=0,Q = P,集中力（包括支座约束力）作用处的两侧 截面上的剪力数值发生突变，且突变值等 于集中力的值,21,弯曲的应力分析和强度计算,工程实际中，所谓的集中力不可能集中于一点，而是 分布在很小的范围内, MC = 0,M = M,M,在集中力偶作用的两个侧面上，弯矩 数值发生突变，且突变值的大小等于集中 力偶的值。,22,弯曲的应力分析和强度计算,3、载荷集度、剪力图及弯矩图图形上的关系,q，Q，M图的线型依次递高一次，若q为水平线，则Q图 将为斜线，而M图则为二次曲线；若q等于零，则Q图将 为水平线，而M图则为斜线。 M图的凹向同q指向，当q指向上方时，q值为正，M对x的 二阶导数大于零，弯矩图将凹向上，反之M图将向下凹曲。 当Q等于零时，M取极值。 集中力作用的截面，Q图有突变，突变值等于集中力的值。 M图上有折点；集中力偶作用的截面，M图有突变，突变 值等于集中力偶的值。,23,例,5,2,m 如图所示外伸梁，已知：q，l， P = ql 3 ， = ql 试画出剪力图和弯矩图。,6 。,解 1、求支座约束力,M,c,=0,2,l 3l qlql l R Al q+=0 2 463 2 2 l l qlql 3l RC l +=0q MA = 0 24 63 2,3 RA = ql 8,11 RC = ql 24,2、分段,分为AB，BC，CD三段,24,例,5,3 RA = ql 8,11 RC = ql 24,3、求端值 利用直接法计算各段 左、右两端截面上的 剪力和弯矩,25,例,5,4、画剪力图和弯矩图,26,弯曲的应力分析和强度计算,五、用叠加法作剪力图和弯矩图,P = ql,当梁上有多个外力作用时 各外力引起的内力互不相 关，因此可以分别计算各 外力所引起的内力，然后 进行叠加-叠加法,27,弯曲的应力分析和强度计算,10-2,纯弯曲梁横截面上的正应力分析,梁弯曲时，横截面上一般有两种内力-剪力和弯矩，这 种弯曲称为横力弯曲。,梁弯曲时，横截面上只有弯矩，而没有剪力，这种弯曲 称为纯弯曲。,28,弯曲的应力分析和强度计算,一、纯弯曲梁的正应力,1、变形方面,实验观察： 纵向线在梁变形后变成弧线，靠 顶面的线缩短，靠底面的线伸长。 横向线在梁变形后仍为直线，但 相对转过了一个角度，且仍然与弯 曲的纵向线保持正交。,平面假设：纯弯曲梁是由无数条纵 向线所组成，变形前处于同一平面 的各纵向线上的点，弯曲变形后仍 处于同一平面内，且纵向线与横截面在变形中保持正交。,29,弯曲的应力分析和强度计算,根据平面假设，由实验观察到的表面现象已推广到 梁的内部，即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面作刚 性转动，靠底部的纵向纤维伸长了，靠顶部的纵向纤维 缩短了，由于变形的连续性，中间必有一层纤维既不伸 长也不缩短，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的 交线称为中性轴。,30,弯曲的应力分析和强度计算,a,a,dx dx,线应变随y按线性规律变化,l,31,弯曲的应力分析和强度计算,2、物理方程,假设纵向纤维在弯曲变形中相互不挤压，且材料在 拉伸及压缩时的弹性模量相等。M,Z,=,y,胡克定律, = E, =E,y,C, min z,y, x max,纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面中性轴 的正应力为零，在中性轴两侧，一侧受拉应力，一侧受 压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等。,32,弯曲的应力分析和强度计算,3、静力学条件, =E,y,F,A,x,=0, dA = FN = 0 , A dA = A E,y, A ydA = 0,dA =,E, A ydA = 0,截面对中性轴的静矩，静矩为零的轴是形心轴。,中性轴通过截面的形心。,33,弯曲的应力分析和强度计算,M,z,=0,y,M = ydA,A, =E,y,M = A yE,1,dA =,E, A y dA,2,M = EI xz,My = 0, A z dA =,E, A z dA = 0, A zydA = 0,横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故 惯性积为零。 34,弯曲的应力分析和强度计算,M = EI xz,1, =E,y,M = ymax IZ,M =y IZ,-纯弯曲梁横截面正应力计算公式,横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。, max, max,M = WZ,IZ WZ = ymax,弯曲截面系数,35,弯曲的应力分析和强度计算,二、惯性矩,常见截面的 IZ 和 WZ,64 3 d WZ = 32,圆截面,bh IZ = 12,3,IZ =,d,4,IZ =,D,4,64,(1 ),4,WZ =,空心圆截面,D,3,32,(1 ),4,3,3,bh WZ = 6,矩形截面,2,b0 h0 bh IZ = 1212 3 3 b0 h0 bh WZ = ( ) /(h0 / 2) 1212,36,空心矩形截面,弯曲的应力分析和强度计算,思考：,梁的截面形状如图所示，在平面内作用有正 弯矩，绝对值最大的正应力位置为哪一点？,z,a,b,y,c,37,弯曲的应力分析和强度计算,有一直径为的钢丝，绕在直径为的圆筒上，钢丝仍 处于弹性阶段。此时钢丝的弯曲最大正应力为多少？为了减 少弯曲应力，应增大还是减小钢丝的直径？,M = EI xz,1,D+d = 2,2 EI z M= D+d, max,d M 2= Iz, max,Ed = D+d,38,例,6,受纯弯曲的空心圆截面梁如图所示。已知：弯矩 M = 1kN m ，外径 D = 50mm ，内径d = 25mm 。 试求截面上a，b，c和d点的应力，并画出过a，b两点 直径线和过c，d两点弦线上各点的应力分布情况。,39,例,解,6,M = 1kN m,M =y IZ,D ya = = 25mm 2 d yb = = 12.5mm 2 22 122 1 D d 250 25 2 ) = 21.7 mmyc = ( ) =( 4444,yd = 0,IZ =,64,(D d ) =,4,4,64,(50 25 ) (10 ) = 2.88 10 m,4,4,3 4,7,4,40,例,6,3,M1 10 3ya = 25 10 = 86.8MPaa = 7 IZ 2.88 10,M110 3b =yb = 12.5 10 = 43.4 MPa 7 IZ 2.88 10,3,M1 10 3yc = 21.7 10 = 75.3MPac = 7 IZ 2.88 10,3,M yd = 0d = IZ,a,c,d = 0,b,41,弯曲的应力分析和强度计算,10-3,纯弯曲应力公式的应用,横力弯曲时，由于剪力的影响，弯曲变形后，横截面 发生翘曲，不再保持平面，但当剪力为常量时，各截面的 翘曲程度完全相同，因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲 时没有差距。,对于剪力为常量的横力弯曲，纯弯曲的正应力计 算公式仍然适用。,对于剪力不为常量的横力弯曲，当梁的跨度与横 截面高度的比值较大时，纯弯曲的正应力计算公式仍 然适用。,曲率公式也可推广用于横力弯曲梁中性层曲率计算。 42,弯曲的应力分析和强度计算,弯曲正应力公式适用范围,弯曲正应力分布,My = IZ,纯弯曲或细长梁的横力弯曲,横截面惯性积 Iyz=0,弹性变形阶段,43,例,7,T字型截面梁如图所示，试求梁横截面上最大正应力。,解,绘制弯矩图，得 M B = 10kN m M C = 7.5kN m 确定截面的形心,120 10 (125) + 120 10 (60) y= 92.5mm 120 10 + 120 10,44,例,7,3,3,120 1010 120 2 + 120 10 32.5 +Iz = 1212 264 + 120 10 32.5 = 3.99 10 mm,B截面的最大拉应力, Bt =,MB,Iz,ymax,10 10 3= 37.5 10 = 93.9 MPa 63 43.99 10 (10 ),3,C截面的最大拉应力,7.5 10 3 Ct = 92.5 10 = 173.9 MPaymax = 63 43.99 10 (10 ) Iz 45 梁的最大拉应力发生在C截面的下部边缘,MC,3,弯曲的应力分析和强度计算,10-4 矩形截面梁弯曲切应力简介,一、矩形截面梁的弯曲切应力,关于横截面切应力分布规律的假设：,侧边上的切应力与侧边相切,切应力沿 z 的方向均匀分布,Q,M,M + dM,dx,Q + dQ,Q,y,y,z,46,弯曲的应力分析和强度计算,M,M + dM,x,y,z,y,Q,dx,Q + dQ,dx,F,x,= 0 FN1 FS FN 2 = 0,M + dM M + dM FN1 = 1dA = y dA = Sz IzIz AA,FN 2,M * = Sz Iz,FN2,FS,Fs = bdx,* z,* z,y,QS = I zb,* z,FN1,dM SQS = dx I z b I z b,-矩形截面梁横截面 切应力计算公式 47,弯曲的应力分析和强度计算,bh IZ = 12 2 2 b h 2 h S z = A y dA = y y bdy = ( y ) 2 4 2 Q hQh2 =( y ) max = 2I z 4 8I z 3Q max = 1.5 平均 2 bh,2,QS = I zb,* z,3,b,h,y y* a,y,Q,z,a1,A*,沿高度方向抛物分布,y=0时，切应力值最大,梁上下表面处切应力为零,A,48,弯曲的应力分析和强度计算,二、其他截面梁的弯曲切应力,翼缘,Q,工字形,腹板上,工程上,QS = Izd, z,H,h, d,y,t,z,腹板,Q = hd,QS = I zt, z,A*,B y,49,翼缘上,假设切应力沿翼缘厚度方向大小相等，且与翼缘相平行,弯曲的应力分析和强度计算,圆截面,假设： 弦线两端点处与圆周相切的切应力作用线交于y轴 的p点，设弦线上其他点的切应力作用线均通过p点 各点沿y方向的切应力分量相等,QS y = I zb, z,弦线长, max,4 Q = 2 3R,50,弯曲的应力分析和强度计算,圆环截面,假设： 沿圆环厚度方向切应力均匀分布 并与圆环切线平行。,Q, m ax,z,QS = 2tI z, z,y, max,Q = Rt,51,弯曲的应力分析和强度计算,思考：,用矩形截面梁的切应力公式 = QS / I z b计算图示截面 * 上各点的切应力时，式中的 S z 是哪个面积对中性轴 的静矩？,* z,A,B,52,弯曲的应力分析和强度计算,矩形截面梁若最大弯矩和最大剪力和截面宽度不变， 而将高度增加一倍，最大正应力为原来的多少倍？最大切 应力呢？, max,M3Q max = 1.5 平均 WZ2 bh,bh WZ = 6,2,答：最大正应力为原来的四分之一，最大切应力是原来的 二分之一。,53,弯曲的应力分析和强度计算,弯曲强度计算,一般情况下，梁的横截面上同时存在正应力和切应力。 最大正应力发生在离中性轴最远的各点上，最大切应力发生 中性轴上。因此通常对弯曲正应力及弯曲切应力分别建立强 度条件。,一般来说，处于横截面边缘线上正应力最大的点处， 切应力为零。所以梁弯曲时最大正应力的点可看成处于 单向应力状态。,梁弯曲时正应力强度条件, max,M = ( ) max Wz,54,弯曲的应力分析和强度计算,对于等截面梁，最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在的截面。,梁弯曲时正应力强度条件, max,M max = Wz, 为许用弯曲正应力，可近似利用简单拉伸时的许用应力,代替，但二者有区别，前者略高于后者，可查手册。对抗 拉、压性能不同的材料，则要求最大拉应力和最大压应力 都不超过许用值, t max t , c max c ,55,弯曲的应力分析和强度计算,一般来说，梁横截面上最大切应力发生在中性轴上， 而该处的正应力为零。因此最大切应力点处于纯剪切应力 状态 弯曲切应力强度条件, max,QS =( ) max I zb, z,对于等截面梁，最大切应力发生在最大剪力所在的截面,弯曲切应力强度条件, max,Qmax S = I zb, z max, ,56,弯曲的应力分析和强度计算,对于细长的实心截面梁或非薄壁截面梁，横截面上的 正应力是主要的，切应力只占次要地位，例,ql 2 M max8 = 3ql max = 22 bhWz4bh 6 ql 3 Qmax 3 2 3ql max = 2 A2 bh 4bh,2, max max,3ql 2 4bh = l= 3ql h 4bh,2,57,弯曲的应力分析和强度计算,对于细长的实心截面梁或非薄壁截面梁，只要满足,正应力条件即可。 对于薄壁截面梁或梁的弯矩较小，而剪力很大时， 必须同时校核正应力强度条件和切应力强度条件。 对于一些薄壁截面梁的横截面上，有时存在着正应 力和切应力都很大的点，如工字形截面梁腹板和翼缘交 界处各点。这样的点也可能成为危险点，需要进行强度 校核，但该点的应力状态较复杂，需要利用强度理论讨 论。,58,例,8,某辊轴直径 D = 21cm ，轴颈直径 d = 15cm ， 受均布载荷作用， q = 400kN/m 。若已知 = 100MPa ， 试校核其强度。,解, max,M = ( ) max Wz,3,辊轴中最大弯矩在C截面, C max,MC 90 10 = 99 MPa 2 33 D (21 10 ) 3232,轴颈中最大弯矩在D、E截面, D max = E max,MD 40 10 = = 121MPa 2 33 d (15 10 ) 3232 不满足强度要求,3, ,59,例,9,如图所示一铸铁制成的梁。已知截面图形对形心轴的惯 74 性矩 I z = 4.5 10 mm ， 1 = 50mm ，y2 = 140mm 。材料许用 y 拉应力及许用压应力分别为 t = 30MPa ， c = 140MPa 。 试按正应力强度条件校核强度。,60,例,解,9,由弯矩图可知B，C截面 的弯矩符号不同，截面上 的中性轴为非对称轴，且 材料的拉压许用应力不同 故B，C截面都可能是危险 截面。,B截面, Bt,MB 20 10 3= 50 10 = 22.2MPay1 = 3 47 4.5 10 (10 ) IZ,3, BcBC,MB 20 10 3y2 = 140 10 = 62.2 MPa 3 47 IZ 4.5 10 (10 ),3,61,例,C截面, Ct,9,MC 10 10 3= 140 10 = 31.1MPay2 = 3 47 4.5 10 (10 ) IZ,3,最大拉应力在C截面上，最大压应力在B截面上。, c max c , t max t ,虽最大拉应力大于许用拉应力，但未超过5%，故可 认为满足正应力强度条件。,62,例,10,如图所示外伸梁受均布载荷作用。已知： = 160 MPa， = 80MPa 。试选择工字钢型号。,解 绘制剪力图,弯矩图,Q max = 58kN,M max = 44.1kN m,Wz ,M max, ,= 276cm,3,63,例,10,在型钢表中查得工字钢的 Wz = 309cm 故选之。,3,因工字形钢为薄壁截面，须进行弯曲切应力校核。由 * 型钢表查得 I z / S z = 18.9cm ， d = 7.5mm ，则, max,Qmax = = 40.9MPa Iz d * Sz,可以选用工字钢。,64,弯曲的应力分析和强度计算,提高粱弯曲强度的主要措施,设计梁的主要依据为弯曲正应力强度条件, max,M = ( ) max Wz,提高粱的强度，从以下四个方面考虑： 合理地安排梁的支座和载荷； 采用合理的截面形状； 采用等强度梁 合理地使用材料,65,弯曲的应力分析和强度计算,一、合理地安排梁的支座和载荷,合理安排支座和载荷，以降低最大弯矩。,M max,1 2 = ql 8,M max,1 2 =ql 40,66,弯曲的应力分析和强度计算,分散载荷,辅助梁,M max,1 = Pl 4,M max,1 = Pl 8,67,弯曲的应力分析和强度计算,二、采用合理的截面形状,弯曲截面系数 Wz 不仅与截面尺寸有关，还与截面 形状有关。为了减少材料的消耗，减少自重，应取 Wz / A 较大的截面形状。,68,弯曲的应力分析和强度计算,从正应力分布角度分析,梁横截面上的正应力是按线性分布的，靠中性轴越近 应力越小。工字形截面有较多面积分布在离中性轴较远处， 作用着较大的面积，而矩形截面梁在中性轴附近分布较多 承担较小应力的面积。因此，当两种截面的最大应力相等 时，工字形截面形成的弯矩较大，抗弯能力较强。,69,弯曲的应力分析和强度计算,对于抗拉、压强度不等的材料，应使截面上的最大拉 应力和最大压应力同时达到，对于这种情况宜采用中性轴 为非对称轴的截面,70,弯曲的应力分析和强度计算,注意截面的合理放置,bh Wz 6 = 0.167 h= Abh,2,hb Wz 6 = 0.167b= Abh,71,2,弯曲的应力分析和强度计算,上述梁的合理截面形状是由满足弯曲正应力强度 条件出发，仅由减少材料消耗、减轻自重的角度考虑。 工程实际中选用合理的截面，还必须综合考虑是否满 足切应力强度条件、刚度条件和稳定性等条件，是否 满足结构和使用上的要求以及工艺、管理等方面的因 素，才能最后决定。,72,弯曲的应力分析和强度计算,三、采用等强度梁,横力弯曲时，梁的弯矩是随截面位置变化的，若设计 成等截面梁，则除最大弯矩所在的截面以外，其他各截面 的正应力均未达到许用应力值，材料强度得不到充分发挥。 为了减少材料消耗，减轻自重，可把梁制成横截面随截面 位置变化的变截面梁。变截面梁若截面变化比较缓慢，弯 曲正应力公式仍可适用。当变截面梁各横截面上的最大弯 曲正应力相等，且等于许用应力，即, max,M