抛物线及其标准方程(河南省优质课).pptx

抛物线及其标准方程,在研究二次函数图象时有开口向上或向下两种情形的抛物线.,初中的学习中我们认识 抛物线吗?在哪里学习过呢?,生活中存在着各种形式的抛物线,卫星天线,探 照 灯,彗星轨迹,那么满足什么条件的点的轨迹是抛物线呢?,观察图形发现抛物线是一种圆锥曲线,那么能不能用圆锥曲线的统一定义来定义它呢?,思考:,回忆:,1.圆锥曲线中椭圆定义是什么?,2.圆锥曲线中双曲线定义是什么?,到一个定点F 的距离和它到一条定直线 的距离的比是常数 e (0e 1) 的动点M 的轨迹.,到一个定点F 的距离和它到一条定直线 的距离的比是常数e (e1) 的动点M 的轨迹.,当e=1时，即|MF|=|MN| ，点M的轨迹是什么？,思考:,合作体验:,如图取一条长为AC的绳子,一端点固定在点A 上,另一端点固定在定点F上,把笔尖放在P点上,沿着直线 上下移动三角形作出点P 移动的轨迹图形.,抛物线的定义,定点F叫做抛物线的焦点,平面内到一个定点F 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,定直线 叫做抛物线的准线,若 则点M的轨迹是抛物线。,如何求M 点的轨迹方程？,想一想,求曲线方程的基本步骤是怎样的？,想一想:,如图,设定点F到定直线l的距离为p（p0）,如何建立直角坐标系,求出点M的轨迹方程?,定点F 到定直线l 的距离(FK)为p（p0）,（1）由|MF|=|MN| ，得 即得y2=2px-p2,（2）由|MF|=|MN| ，得 即得y2=2px,设M（x，y）,这些都是M点的轨迹方程,可见建系不同方程不同,那么哪个最简洁可以作为抛物线的标准方程呢?,而p 的几何意义是:,焦点到准线的距离,定义:,一条抛物线，由于它在坐标平面内 的位置不同，方程也不同，所以抛物线 的标准方程还有其它形式.,四种抛物线的标准方程对比,感悟归结:,1、焦点在一次项字母对应的坐标轴上.,3、一次项的系数的符号决定了抛物线的 开口方向.,2、焦点坐标的非零坐标是一次项系数的 .,4、准线方程对应的数是一次项系数的 的 相反数.,例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；,解: 2P=6,P=3 所以抛物线的焦点坐标是（ ，0） 准线方程是x=,是一次项系数的,是一次项系数的 的相反数,（2）x2 = y , 焦点坐标为（ 0 ， ）， 准线方程是y=,解：（1） x2 = y ，焦点坐标为（ 0， ）， 准线方程是y=,变式：写出下列抛物线的标准方程、焦点坐 标和准线方程： （1） 6y+5x2=0 ； （2）y=6ax2（a0） .,感悟 ：求抛线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程,例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2） 求它的标准方程。,解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所 求的标准方程为x2= -2py 由题意得 ，即p=4 所求的标准方程为x2= -8y,分析:因为焦点坐标是（0，-2）,所以抛物线开口方向是y轴的负方向,它的方程形式为x2= -2py.,（1）焦点是F（-2，0），它的标准方程_. （2）准线方程是y = -2，它的标准方程_. （3）焦点到准线的距离是4,它的标准方程_.,变式:,y2=-8x,x2=8y,x2=8y 、y2=8x,（1）,（2）,（3）,例3:求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解:（1）当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p=,（2）当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x,巩固提高：,已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程,先定位，后定量,实际应用,已知抛物线型拱桥的顶点距水面2m时测量水面宽为8m当水面升高1m后水面宽度为多少?,解:如图:建立直角坐标系,设抛物线方程为,小