MATLAB数学建模2乒乓球的弹跳和罗基斯帝模型.doc

乒乓球的弹跳罗基斯第模型问题罗基斯第模型一个乒乓球离球拍的高度为h0，落在球拍上反弹，设恢复系数为e，不计空气阻力。(1)如果e为常数，讨论球的高度变化的规律。如果e2与高度hn成线性关系e2 = (1 hn/H0) (2.1)其中H0是最大高度，是参数。对于不同的参数讨论小球高度的变化规律。(2)当参数连续变化时，分析最后分布的高度。(3)计算前几个分岔点。(4)用李雅普洛夫指数判断混沌的发生。解析(1)当球从高度hn下落到球拍上之前速度为 (2.2)球与球拍碰撞后反弹的速度为vn = evn (2.3)球反弹的高度为hn + 1= e2hn (2.4)如果e 1，例如球拍每次加一个向上的冲击力，则球的高度随次数不断增加。e2与高度的线性关系说明：如果球的高度较大，则恢复系数较小，反之较大。设相对高度为xn = hn/H0，则下一次上升的相对高度为xn + 1 = (1 xn)xn，(n = 0,1,2,) (2.5)这是著名的罗基斯第模型。由于相对高度0 xn 1，而(1 xn)xn的最大值为1/4，所以参数的值在0到4之间。球的高度强烈依赖参数。算法(1)先取一个参数，再取一个相对高度，通过迭代算法计算下一次碰撞后的高度，画出高度点，依此类推。再取另一高度参数，重新通过迭代算法计算高度，画出高度点，依此类推。程序MATH2_1.m如下。%乒乓球与球拍的碰撞高度clear %清除变量u=input(请输参数(参考值:0.5,2,3.25,3.5,3.56,3.8):);%键盘输入初始相对高度(1)xn=0.9; %第1个的初始相对高度(2)figure %开创图形窗口plot(0,xn,.) %画高度点text(0,xn,num2str(xn),FontSize,16) %标记第1个的初始高度grid minor %加细网格title(乒乓球与球拍的碰撞高度(itmurm=,num2str(u),),FontSize,16)%标题n=50; %迭代次数axis(0,n,0,1) %坐标范围hold on %保持图像for j=1:n %按次数循环 xn=u*(1-xn)*xn; %计算下一次的相对高度(3) plot(j,xn,.) %画高度点end %结束循环xn=0.1; %取初始相对高度(4)plot(0,xn,ro) %画高度点text(0,xn,num2str(xn),FontSize,16) %初始高度for j=1:n %按次数循环 xn=u*(1-xn)*xn; %计算下一次的相对高度(5) plot(j,xn,ro) %画高度点end %结束循环说明(1)程序执行时要用户用键盘输入参数，提供6个参数选择。(2)取第1个较大的初始高度。(3)迭代计算下一个高度。(4)取第2个较小的初始高度。在说明混沌时，将此句改写如下，使第2个高度比第1个高度大一点。e=1e-8; %小量xn=0.9+e; %取初始相对高度text(0,0,num2str(e),FontSize,16) %初始高度(5)同样迭代计算下一个高度。M2.1a图 M2.1b图图示(1)如M2.1a图所示，当参数为0.5时，如果初始相对高度取0.9，球与球拍碰撞之后高度不断降低，最终的高度为零。即使初始相对高度取0.2，球与球拍碰撞之后高度也不断降低，最终的高度为零。M2.1c图 M2.1d图(2)如M2.1b图所示，当为2时，如果初始相对高度取0.9，球第一碰撞之后高度降低，以后碰撞则高度升高，最后碰撞保持一定的高度。如果初始相对高度取0.2，则碰撞高度不断增加，最后稳定在一定的高度。高度稳定前的过程称为过渡过程或暂态过程，过渡过程与初始高度有关，但是最后高度的稳定与初始高度无关。高度值称为不动点，即重复自身轨迹的点。(3)如M2.1c图所示，当为3.25时，不论初始高度如何，经过过程期后，球最后在2个高度之中交替变化。不动点的个数随参数的增加而增加。(4)如M2.1d图所示，当为3.5时，不论初始高度如何，经过过程期后，球最后在4个高度之中交替变化，只是过渡过程稍微长一点。不动点的个数随参数的增加而进一步增加。(5)如M2.1e图所示，当为3.57时，不论初始高度如何，经过过渡期后，球最后在8个高度之中交替变化。(6)如M2.1f图所示，当为3.8时，第1个初始相对高度取0.9，第2个初始相对高度取0.2，球的高度杂乱无章地变化。(7)如M2.1g图所示，不变，第1个初始相对高度不变，第2个初始相对高度只增加10-5，以后的高度变化也迥然不同。(8)如M2.1h图所示，不变，第1个初始相对高度不变，第2个初始相对高度稍大一点(10-8)，以后的高度变化也迥然不同。这种对于初始条件十分敏感的运动称为混沌运动。M2.1e图 M2.1f图M2.1g图 M2.1h图解析(2)当参数连续变化时，同样利用(2.5)式计算高度。当迭代次数n足够多的时候，对于周期性的不动点，xn就代表稳定值x。取为自变量，取x = x为函数，可作-x曲线。算法(2)从0到4连续取值，先通过迭代算法筛去过渡值，继而用迭代算法获取迭代的结果，画出迭代图。程序M2_2.m如下。%罗基斯第模型的倍周期分岔和混沌图clear %清除变量x=0.2; %初始值(可任取)u=0:0.0001:4; %参数向量(1)n=1000; %迭代次数(2)for i=0:n %按迭代次数循环 x=u.*(x-x.2); %迭代计算消除暂态过程(3)end %结束循环figure %开创图形窗口grid on %加网格xlabel(itmu,FontSize,16) %横坐标ylabel(itx,FontSize,16) %纵坐标title(罗基斯第模型的倍周期分岔和混沌图,FontSize,16)%标题hold on %保持图像cc=bgrk; %颜色代码(4)for i=1:26 %再按迭代次数循环 x=u.*(x-x.2); %迭代一次 plot(u,x,. cc(mod(i,4)+1),MarkerSize,1)%画点图(5)end %结束循环说明(1)参数向量的间隔很小，可当作连续分布的。(2)进行1000次迭代，对于周期性运动，可筛去不稳定的点(相对高度)。(3)变量x的初值是一个数值，第一次迭代之后就变成与u同样大小的向量。x的每一个元素都代表u的对应元素的点(相对高度)，这就是用向量的好处。(4)取4种颜色符号。M2.2图(5)在循环中画点时，对于周期运动，画出的同一高度；对于混沌运动，则画不同高度。每循环4轮用同一颜色画点。图示如M2.2图所示，当参数从0到1时，高度为零；当从0到3时，高度有一个不为零的值；当 3时，高度首先有两个值，然后分岔为4个值，再分岔为8个值，这种情况称为倍周期分岔；当达到某一值时，系统进入混沌状态。混沌图还有复杂的结构。解析(3)在倍周期分岔中，分岔点划分了周期的范围。设二元函数f(,x) = (1 x)x (2.6)对于周期1不动点，当n时，有xn + 1x，xnx，x是不动点，用x表示x，可得x = f(,x) = (1 x)x (2.7)由此解得x(1) = 0，x(2) = 1 1/ (2.8)不动点x(1)与参数无关，称为平凡不动点。不动点x(2)与参数有关，称为本征不动点。由于0 xn 1，所以x(2) 1。函数对自变量的导数为 (2.9)不动点的稳定条件是|fx| 1 (2.10)对于平凡不动点，由于fx(,x(1) = fx(,0) = (2.11)可知：当 1时，x(1)是不稳定的不动点，或者说x(1)失稳。1 = 1是一个分岔点。对于本征不动点，由于 (2.12)只有满足-1 fx 1条件的点才是稳定的，所以当1 3时，f x 3时，x才有不相等的实数解，就是产生周期2的不动点。不动点稳定条件是|fx(,x(3)fx(,x(4)| -1可得由于，必有 (2.18)当g() = 1时，解得 = 3和-1。由g() 3。因此，在2 3时，x(3)和x(4)失稳，因此3是分岔点，分岔值为x(3) = 0.440，x(4) = 0.8499 (2.19)算法(3)当迭代次数n足够多的时候，对于周期性的不动点，xn就代表稳定值x。从0到3连续取值，通过迭代算法最后获得稳定点x，可与解析解进行比较。从3到4连续取值，先通过迭代算法筛去过渡值，继续用迭代算法获取迭代的结果。程序M2_3.m如下。%罗基斯第模型的倍周期分岔图clear %清除变量x=0.2; %初始值(可任取)n=1000; %迭代次数fs=16; %字体大小u3=1+sqrt(6); %分岔参数(1)u=linspace(0,u3); %参数向量for i=0:n %按迭代次数循环 x=u.*(x-x.2); %迭代计算形成不动点end %结束循环figure %开创图形窗口plot(u,u,x,u.*(x-x.2),.) %画两支迭代曲线(点)hold on %保持图像plot(0,1,0,0,r) %画平凡不动点u=1:0.1:3; %分岔前的参数向量x1=1-1./u; %分岔前的不动点plot(u,x1,r) %画曲线u=linspace(3,u3); %分岔后的参数向量d=(u+1).*(u-3); %根的判别式x21=(1+u+sqrt(d)./(2*u); %分岔后的上支不动点x22=(1+u-sqrt(d)./(2*u); %分岔后的下支不动点plot(u,x21,r,u,x22,r) %画2倍分岔后的曲线grid on %加网格xlabel(itmu,FontSize,fs) %横坐标ylabel(itx,FontSize,fs) %纵坐标title(罗基斯第模型2倍周期分岔前后的不动点,FontSize,fs)%标题legend(迭代点,解析曲线,2) %图例axis(0,u3,0,1) %坐标范围x=0.2; %初始值(可任取)u=3.401:0.0001:4; %参数向量(2)for i=0:n %按迭代次数循环 x=u.*(x-x.2); %迭代计算消除暂态过程end %结束循环figure %开创图形窗口grid on %加网格xlabel(itmu,FontSize,fs) %横坐标ylabel(itx,FontSize,fs) %纵坐标title(罗基斯第模型的倍周期分岔和混沌图,FontSize,fs)%标题hold on %保持图像cc=bgrk; %颜色代码for i=1:26 %再按迭代次数循环 x=u.*(x-x.2); %迭代一次 plot(u,x,. cc(mod(i,4)+1),markersize,1)%画点图end %结束循环说明(1)平凡解和二倍周期分岔的范围比较宽，单独画出来比较理想。(2)多倍周期分岔和混沌的范围比较小，单独画出来比较理想。图示(1)如M2.3a图所示，用迭代法和用解析法计算的结果完全相同。在1 = 1处发生一次分岔。在2 = 3处发生2倍周期分岔，这是树枝分岔。(2)如M2.3b图所示，随着参数的增加，在2倍周期分岔后又发生4倍周期分岔，8倍周期分岔，这种连续的分岔又叫做费根包姆分岔。当周期无限增加时，就失去周期性，倍周期分岔就走向混沌。混沌之中又有分岔，最明显的是周期5和周期3分岔，每个分支又通过倍周期分岔重新走向混沌。在 3.678处，两个大分支开始相遇。相遇之前的上支与下支相似，两支又与总体相似。不仅如此，更小的局部分支都与整体相似。这种相似称为自相似。M2.3a图 M2.3b图解析(4)对于一维映射xn + 1 = f(xn) (2.20)可用初值x0和附近值x0 + x0来计算分离。作一次迭代后，距离为 (2.21)再作一次迭代后，距离为 (2.22)经过m次迭代后，距离为 (2.23)令 (2.24)则得 (2.25)李雅普诺夫指数为 (2.26)当 0时，表示轨道分离，即对值具有敏感性，代表混沌。当由负值变为正值时，表示周期性运动转向混沌。对于罗基斯蒂模型，由于xn + 1 = (1 xn)xn，(n = 0,1,2,)即 f (,xn) = (1 xn)xn (2.27)所以 (2.28)程序M2_4.m如下。%罗基斯第模型的李雅普洛夫指数clear %清除变量x=0.1; %初始值(0到1之间可任取)n=1000; %迭代次数u=linspace(0,4,1000); %参数向量(1)s=log(abs(u*(1-2*x); %第一个对数值for i=0:n %按迭代次数循环 x=u.*(x-x.2); %迭代计算 s=s+log(abs(u.*(1-2*x); %累