立体几何中的向量方法(全).ppt

3.2.1 立体几何中的向量方法 方向向量与法向量,A,P,、直线的方向向量,直线的向量式方程,换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量.,一、方向向量与法向量,2、平面的法向量,l,平面 的向量式方程,换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量.,例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 直线OA的一个方向向量坐标为_ 平面OABC 的一个法向量坐标为_ 平面AB1C 的一个法向量坐标为_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求平面EDB的一个法向量.,A,B,C,D,P,E,解：如图所示建立空间直角坐标系.,设平面EDB的法向量为,练习,设 分别是平面,的法向量,根据下列条件,判断,的位置关系.,垂直,平行,相交,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.,用向量方法解决几何问题,3.2.2 立体几何中的向量方法 平行关系,m,l,一. 平行关系：,例1.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.,已知 直线l与m相交,例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形, PD底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的 中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE/FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG.,证 ：如图所示, 建立 空间直角坐标系.,/,AE与FG不共线，,立体几何法呢？,M,N,例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,解1 立体几何法,连结AC交BD于点G，再连结GE.,A,B,C,D,P,E,解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG,A,B,C,D,P,E,解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,设平面EDB的法向量为,A,B,C,D,P,E,解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,解得 x,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是A1C1中点. 求证:BC1面AB1D.,练习题,O,立体几何法呢？,例 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形, PD底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中点，PF=FG=GC . 求证：面AEF/面BDG.,A,B,C,D,P,G,F,E,立体几何呢？,O,3.2.3 立体几何中的向量方法 垂直关系,二、垂直关系：,l,m,l,A,B,C,例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD 的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.,证1 立体几何法,MN就是异面直线AB与CD的公垂线，,故异面直线AB与CD的距离就是MN.,例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD 的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.,MNAB, 同理 MNCD.,证2 向量法,例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB, MNCD.,证3 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.,x,y,Z,x,y,练习 棱长为a 的正方体 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：,z,x,y,证明：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.,A,B,C,D,P,E,F,证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.,A,B,C,D,P,E,F,证2：立体几何法,证明：设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，,所以,x,证明2：立体几何法,P,E是AA1中点，,例3 正方体,平面C1BD.,证明：,E,求证：平面EBD,设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系,平面C1BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面EBD的一个法向量是,平面C1BD.,平面EBD,证明2：立体几何法,E,E是AA1中点，,例3 正方体,平面C1BD.,求证：平面EBD,O,3.2.4 立体几何中的向量方法 夹角问题,夹角问题：,l,m,l,m,1.异面直线所成角,2、二面角,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,2、二面角,夹角问题：,P,P,A,l,夹角问题：,l,l,2、线面角,解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以 与 所成角的余弦值为,解2 立体几何法,例：,的棱长为 1.,解1 建立直角坐标系.,例：,的棱长为 1.,解2 立体几何法,P,例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点，作EFPB交PB于点F. (1)求证：PA/平面EDB; (2) (3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,A,B,C,D,P,E,F,(3) 解 建立空间直角坐标系，设DC=1.,例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点，作EFPB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D 的大小。,A,B,C,D,P,E,F,平面PBC的一个法向量为：,解2 如图所示建立 空间直角坐标系，设DC=1.,平面PBD的一个法向量为：,G,例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点，作EFPB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,解3 立体几何法：设DC=1，,练习,的棱长为 1.,解1 建立直角坐标系.,平面ABD1的一个法向量为,平面CBD1的一个法向量为,的棱长为 1.,解2 立体几何法,P,3.2.4 立体几何中的向量方法 距离问题,(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则,距离问题：,(2) 点P与直线l的距离为d , 则,距离问题：,距离问题：,(3) 点P与平面的距离为d , 则,d,d,距离问题：,(4) 平面与的距离为d , 则,例1 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,解：如图1，,所以,答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 倍。,练习.(P107.2)如图，60的二面角的棱上 有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的 两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB4,AC6， BD8，求CD的长.,解1,练习.(P107.2)如图，60的二面角的棱上 有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的 两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB4,AC6， BD8，求CD的长.,解2 立体几何法,P,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.,点E到直线A1B的距离为,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.,解2 立体几何法,面积法,P,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.,等体积法,解2,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.,解1:D1C面A1BE D1到面A1BE的距离即为 D1C到面A1BE的距离.,仿上例求得D1C到 面A1BE的距离为,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.,等体积法,解2,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.,解1:面D1CB1面A1BD D1到面A1BD的距离即 为