理论力学-力偶理论.ppt

3 力偶理论,与力一样，力偶是力学中的一个基本量。作用于刚体上的力偶不能使刚体产生移动效应，只能使刚体产生转动效应。,力偶是一种特殊的力系，没有合力，不能与单个力平衡。,但它具有可移转性、可改变性等重要性质，它对刚体的转动效应完全取决于力偶矩矢。,3.1 力偶、力偶矩矢,3.1.1 力偶的概念,如图3-1所示，作用于刚体上大小相等、方向相反的一对平行力，称为力偶（Couple），记作（F，F）。,由二力平衡公理可知，力偶不是平衡力系，它是一种特殊的力系。在力偶的作用下，刚体会产生转动效应。例如，汽车司机用双手转动方向盘，钳工用丝锥攻螺纹，电动机转子受到电磁力作用旋转等等，都是力偶作用下刚体的转动效应。,图3-1,力偶是力学中的一个基本量。,力偶没有合力。,力偶不能与单个力等效，也不能与单个力平衡。,力偶只能与力偶等效，只能与力偶平衡。,作用于刚体上的一群力偶构成力偶系（System of couples）。,力偶系可分为平面力偶系（Coplanar couple system）和空间力偶系（Three dimensional couple system）。,3.1.2 力偶矩矢,力偶（F，F）的两个力的作用线所确定的平面称为力偶作用平面(见图3-2)。两个力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶对刚体的作用效应取决于三个因素:,（1）乘积Fd； （2）力偶的转向； （3）力偶作用面的方位。,这三个因素用一个矢量表示，称为力偶矩矢，记为M。力偶矩矢的表示法如下：矢的长度按一定的比例表示力偶矩的大小Fd ；矢的方位垂直于力偶作用面；矢的指向按右手规则确定，即右手四指的指向符合力偶转向而握拳时，大拇指伸出的方向就是力偶矩矢的转向。,图3-2,对于平面力偶系，各力偶作用面相互重合，因此各力偶矩矢的方位相同。这时，力偶矩矢可用一代数量表示(见图3-3)，即,一般规定，当力偶使刚体产生逆时针的转动时，力偶矩取正号，反之则取负号。力偶矩的单位为牛米（N m），或千牛米（kN m）。,图3-3,3.1.3 力偶的等效,若两个力偶对刚体的作用效应相同，则称这二力偶等效。,两力偶的等效条件 ：力偶矩矢相等，即,(3-2),3.1.3.1 力偶的可移、可转性 在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶可在其作用面内任意移动、转动，不改变力偶对刚体的转动效应。因此，力偶对刚体的作用与其在作用面内的位置无关。 在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶可以平行地移至另一个平面内，而不改变力偶对刚体的转动效应。因此，力偶矩矢为自由矢量。,在保持力偶矩矢不变的前提下，可以任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的转动效应。可见，力偶中力的大小和力偶臂的长短都不是决定力偶效应的独立因素。,3.1.3.2 力偶的可改变性,在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶的这些变化都不会改变力偶对刚体的作用效应。因此，今后我们只关心力偶的力偶矩矢，而不过问该力偶中力的大小、方向和作用线。故在表示力偶时，只要在力偶作用面内用一带箭头的弧线表示力偶的转向，旁边标注力偶矩M的值即可，如图3-3所示。,3.2 平面力偶系的合成与平衡,3.2.1 平面力偶系的合成,设作用于刚体上同一平面内的n个力偶（F1，F1），（F2，F2），（Fn，Fn）对刚体的作用效应与力偶（FR，FR）对刚体的作用效应相同，则称力偶（FR，FR）是力偶（F1，F1），（F2，F2），（Fn，Fn）的合力偶。一般情况下，平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代数和，即,（3-3）,证明：设作用于刚体上的平面力偶系（F1，F1），（F2，F2），（Fn，Fn），其力偶臂分别为d1，d2，dn，如图3-4所示。 则各力偶的力偶矩分别为,，,，,图3-4,3.2.2 平面力偶系的平衡方程,式（3-4）称为平面力偶系的平衡方程。由于只有一个平衡方程，因此只能求解一个未知量。,平面力偶系平衡的必要与充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即,（3-4）,例 3-1 如图3-5所示机构，各杆自重不计，在两力偶作用下处于平衡。已知：M1 = 100 N m，O1A = 40 cm，O2B = 60 cm。试求力偶矩M2的大小。,解：取O1A杆为研究对象，受力如图3-5(b) 所示，,列平衡方程有,图3-5,(b),AB杆为二力构件，则有,取O2B杆为研究对象，受力如图3-5(b)所示。,列平衡方程有,3.3 空间力偶理论,3.3.1 空间力偶系的合成,一般情况下，平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代数和，即,（3-5）,在实际计算中，通常采用投影形式。,（3-6）,合力偶矩矢的大小和方向余弦,（3-7）,3.3.2 空间力偶系的平衡方程,空间力偶系平衡的充分必要条件为：合力偶对应的力偶矩矢量为零矢量。,（3-8）,空间力偶系的平衡方程,（3-8）,例 3-2 如图3-6所示，在长方体的两个对角面上分别作用二力偶 (F1，F1)。已知：F1 = 200 kN，F2 = 100 kN。试求这两个力偶的合力偶矩矢。,解：设力偶(F1，F1)，(F2，F2) 的力偶矩矢分别为M1和M2，,图3-6,取Oxyz直角坐标系，将各力偶矩矢平移到O点，如图3-6所示。则合力偶矩矢在三个直角坐标