.知识经济时代与小学数学教育改革

1 / 25 .知识经济时代与小学数学教育改革 目前，按照原国家教委 1992年颁布九年义务教育全日制小学数学教学大纲编写九年义务教育小学数学教材都已基本完成。据说有关部门已开始着手准备新的课程方案的调查、研究工作，估计 1999年或 2000 年初能拿出新的课程方案和标准（教学大纲），然后着手编写新的教材。教材要先进行实验，再审查，然后推广，还要化三至四年时间。从现在算起，新的一轮教材要等 1 年左右开始进行实验，还要经过年左右才能开始推广使用。教育改革和教材编写工作的周期比较长。教育改革和教材都有超前性和滞后性的特点。就拿教材来讲，一套新教材出来的时候，使用者对教材中一些新的内容和方法都不太适应，有一种超前的感觉。用了几年以后，时代在发展，科学技术在发展，社会经济在发展，社会需求在发展，就会感到教材不太适应当前形势的需要。这就是教材的滞后性。同样，对于九年义务教育教材中某些内容和方法大家感到有些陈旧，不适应目前我国社会、科学技术、经济发展的需要，这是一种必然现象。因为世界各国几乎都有这种规律性的现象，所以一般来讲教材是十来年轮换一次。在十年期间，社会的进步、经济的发展、科学技术的迅猛发展，使教材的滞后性的特征变得更加 明显。从目前的情况来看，下一轮新教材要过年才能推广使用。到二十世纪初，我国将面临知识经济的到来，教育必将2 / 25 面临知识经济的严峻挑战。教育改革、教育观念的转变、教学内容改革、教学方法的改革和评价系统的改革一定要适应知识经济时代的要求。 一、什么是知识经济 最近江泽民同志深刻地指出： “ 科学技术突飞猛进，知识经济已见端倪，国力竞争日趋激烈。 ” 这表明我国领导人已经预见到世界将进入一个以高新技术为先导的知识经济时代，重要的发展趋势之一，就是科技和人才日益成为国家繁荣和民族振兴的决定因素和最重要资源。所以，搞清楚 什么是知识经济是一个十分重要的问题。 自人类文明史以来，从技术进步和生产力的角度来看，经济发展可以分为三个阶段：劳力经济阶段、（自然）资源经济阶段和智力经济阶段。劳力经济阶段的经济发展主要取决于劳力资源的占有和配置；（自然）资源经济阶段的经济发展主要取决于自然资源的占有和配置；智力（知识）经济阶段的经济发展主要取决于智力资源的占有和配置，即 “ 科学技术是第一生产力 ” 的经济。目前，人类正在步入一个以智力资源的占有、配置，知识的生产、分配、使用（消费）为最重要因素的经济时代。就是说人类社会将出现一种新型的经济， 即知识经济。 所谓“ 知识经济 ” ，是指区别于以前的、以传统工业为产业支柱，以稀缺自然资源为主要依托的新型的经济。知识经济在资源配置上以智力资源，无形资产为第一要素。对于自然资源通过知识、智力进行科学、合理、综合、集约的配置，主要不3 / 25 依赖于土地、石油等已经短缺的自然资源的配置。知识经济在生产中以高科技产业为支柱，高技术产业以高科技为其最重要的资源依托， “ 高科技 ” 是特指的，不是传统工业技术的简单创新。知识经济的消费（使用），应以高技术产品和通过信息产生的新知识为主。利用知识和智力开发富有自然资源创造的物质财富，将 大大超过由传统技术用稀缺自然资源所创造的财富。知识的 “ 消费 ” 应该称为 “ 使用 ” 更确切些，因为知识的 “ 消费 ” 与商品的消费特性不同，它在使用后并没有消失、转化或折旧。知识经济比较确切的定义是：以智力资源的占有、配置，以科学技术为主的知识的生产、分配和使用（消费）为最重要因素的经济。 知识经济的特点： （）它是促进人与自然协调、可持续发展的经济； （）它是以无形资产（即知识和智力）投入为主的经济； （）它是在世界经济一体化条件下的经济； （）它是以知识决策为导向的经济； （）它的价值体现在智力 和知识的占有，必须通过经济和社会改革，用法律体系和机构设置保障知识为分配最主要的要素，来促进“ 尊重知识，尊重人才 ” 的真正实现，引导社会价值取向的变革； （）它是在市场条件下产生和发展的，但这反过来又作用于市场经济，同时引起传统市场经济的变革，并随知识经济的发展而逐步深化； （）知识经济时代产生了新的社会组织形式 科技工业园区（高新技术产业开发4 / 25 区），它集中智力资源、信息、知识和高技术，通过现代管理实现规范化、网络化、国际化和产业化来解决高技术产业的资金、技术、市场和风险问题，创造高于传统工业几十倍的劳 动生产率； （）创新是知识经济的灵魂。 从分类学上看经济的类型，以产业结构为标准可分为： （）农业经济；（）工业经济；（）高技术经济。 从资源配置来看，可分为：（）劳力经济（经济发展主要取决于劳力资源的占有和配置）；（）资源经济（经济发展主要取决于自然资源的占有和配置）；（）智力经济（经济发展主要取决于智力资源的占有和配置，如新加坡、韩国等国家和香港地区，都没有富足的自然资源，只能靠智力资源的开发，才能实现经济的可持续发展）。 “ 知识经济 ” 是一个形象的说法，从严格的学术意义上讲，它在 产业结构上属高技术经济，在资源配置上属智力经济。经济增长更直接地取决于知识的投资，知识可以扩大传统生产要素（劳动、资本、设备和资源）的生产能力，知识还可以提供调整生产要素创造革新产品和改进生产程序的能力。以知识为基础的经济增长的新模式鼓励创新知识，在经济中传播新技术的手段。它的目标是研究和应用新技术。 二、知识经济对教育与人才的要求 知识经济时代将对人类知识和科学技术的发展、经济增长因素和方式乃至社会生活引发新的、深刻的变化。在知识经济时代，国家竞争能力和综合国力的强5 / 25 弱，主要不取决于自然资源的多少，而是 科学技术和知识更新发展水平，尤其是知识创新和技术创新的能力。知识经济的第一资源是智力资源，拥有智力资源的是人才，人才来自教育。要提高民族的创新能力归根到底要依靠提高全民教育水准，培养大批具有创造能力和创新精神的人才。这是对我国教育事业的严峻挑战。 首先，我国要加大教育发展的力度，要在人才培养模式上进行重大改革。 其次，知识经济是创新型经济，教育自身要有创新性观念和运作方式，培养具有知识创新的技术创新攻坚能力的人才，以及这些人才渴望知识、终生学习意识。教育要重视培养学生的创业精神和创业能力。 第三，教育 要有全球视野，培养具有全球眼光和国际竞争能力的人才。在知识经济的时代，人才培养的主体就是：有强大国际竞争能力的高科技产业化的复合人才群体，包括研究、开发、信息、管理、金融和市场的全套人才。这些人才必须做到 “ 四有 ” ：有使中国的高技术产业自立于世界民族之林的理想，有高尚的职业道德，有完备的知识经济知识，严守知识产权等一系列相关法规。 第四，要发展以知识经济基础的高新技术，没有人民生活水平的普遍提高，没有全民教育的普及和提高，没有专门人才的培养和长期实践，没有高级人才的合理配置，是不可能的。强调终身教育，但是关 键是基础教育，基础教育搞不好，谈不上终身教育。小学高年级要学习使用计算机。 三、关6 / 25 于小学数学课程改革 老教育家吕型伟先生在最近指出：“ 过去对课程的设计，其指导思想好象是三大类：儿童中心、学科中心、社会中心。指导思想不同，课程设计方案就不同。对儿童中心，建国以后一直是反对的，基本上是采用学科中心，有时也强调社会中心。现在提出学生发展为本，这似乎是当前国内外最流行的思想。我在想，偏重哪一个方面都不见得好，能否找到一个三者的最佳的结合点呢？ ” 这些话对于新的小学数学课程标准（或教学大纲）的制订是非常有启发的。 义务教育就是要保证每个正常儿童（特殊的有特殊教育管辖）都有平等受教育的权利。义务教育不是精英教育，是普及教育，要使教育适应儿童身心、才智各方面的发展，要为儿童服务。 义务教育是基础教育，首要的特点是基础性，内容广度、深度都是有限的，但是要有儿童各方面能力的培养和提高，它要为学生终生学习打基础，为学生参与社会生活打基础。 小学数学课程标准（教学大纲）制订要注意以下几个问题： （）课程标准（教学大纲）表达了教育行政机关对于教育过程方向性的期望和干预，因而带有法令性的成分。 （）要考虑义务教育和基础 教育的特点。 （）要按照教育行政部门对教育目的、教育内容范围、培养目标的规定。 （）必须适应社会的要求和学生成长的需要。 （）要确定数学教育内容的质量原则和数量标准。要分析数学教育内容的基本要素和教7 / 25 育功能。要正确评价已有的数学课程标准（教学大纲），同时要总结出设计未来数学课程的基本原理。 （）要使学生在学习数学的过程中认识到：人类的社会实践产生了数学，并且促进了数学的发展；而数学又服务于社会，成为人们认识世界、解决实际问题的重要工具。学习数学还有助于学习其他课程，特别是自然科学课程。 （ ）数学课程必须考虑数学的本质、数学科学的基本特征和基本规律。而不能违背数学的本质、数学科学的基本特征和基本规律。 （）数学课程内容的主要组成部分地根据数学课程目标从数学科学的基本成果中合理地精选出来的。它应该考虑数学（科学）的知识结构。并且在使数学的知识结构转化成学校数学课程的知识结构，就必须对数学的知识结构进行 “ 教学加工 ” 。就是说，必须按照教育学、教学论和心理学的有关理论，从数学科学知识中选择那些有利于学生成长又能被学生接受的最有价值的数学知识来组成数学课程内容及其逻辑体系。 （）编制数学课程（教 学大纲）时，必须研究学生不同发展阶段的认知方式、结构及其过程，研究学生的心理发展规律。还必须考虑准备学习这门课程的学生的认知结构和心理结构。 四、对小学数学教育改革的几点思考 （一）现代社会（知识经济时代）对数学需求的变化 现代社会的一个基本特点和发展趋势是定量化和定量思维。它的基本语言是数学。数学将成为 21 世纪的每一位合格的8 / 25 社会成员的素养、知识和技能的一个必备的重要组成部分。现代社会社会成员之间及其各个部分之间的联系、交往和相互作用大大增加。信息普遍出现和极端重要，与广大群众的日常生活和工作息息相关 。例如，调查研究社会需要，产品质量和产量的估计，因素的评定，效益的分析等都离不开数据的搜集和分析、统计等。 现代高科技越来越表现为一种数学技术。信息社会中数学将以技术化的方式迅速渗透到人们日常生活的各个领域，成为人们进行交流的必不可少的一种语言。办公自动化、计算机储蓄、购物、个人电脑等产业的高速发展，使各行各业日益依赖于数学。对数学的需求将发生变化，人们对具体计算的要求降低了，而对数据的采集、归纳、分析并作出解释和判断的要求提高了；对解决问题过程中逻辑推演的要求降低了，而实际问题模型化以及运用模型解释生活 现象、解决实际问题的要求提高了。 现代社会的日常生活和生产大都要使用计算机。在进一步使用计算机时，都需要建立（或运用）数学模型进行求解，就要用到数学，有时需要高深的数学修养和训练。良好的数学素养对于计算机的使用、软件的研究和计算机的设计都有重要作用。 现代社会对具体计算和逻辑推演要求的降低，对数学内容删减提出了要求。而对数据的采集、归纳、分析并作出解释和判断，实际问题模型化以及运用模型解释生活现象、解释实际问题的要求提高了，这对数学教材内容的改革9 / 25 提出了新的课题。 （二）笔算的要求到什么程度才是合适的？ 九年义务教育全日制小学数学教学大纲指出：“ 笔算加减法以三、四位数的为主，一般不超过五位数；笔算乘除法以乘数、除数是两位数的为主，一般不超过三位数乘三位数和相应的除法。四则混合运算以二、三步的为主，一般不超过四步。这些要求比以前的 “ 大纲 ” 都降低了不少。目前，对笔算的看法可以说是五花八门。有的说笔算没有什么用；有的说笔算只要学到乘数、除数是一位数乘、除法就可以了；有的说应该保持九年义务教育全日制小学数学教学大纲对笔算的程度和要求。笔者认为，笔算到底有没有用？学生学习笔算到什么程度才是合适的？这些问题都要进行调查研究后才能作出适当的结论。第一，笔算对学生今后的继续学习是否有用；第二，今后若干年（大概十年左右）科学技术、经济、社会环境发展的趋势和程度如何；第三，我国各地科学技术、经济发达的程度、文化教育发展是非常不平衡的。对于笔算的要求是否就 “ 一刀切 ” 等还是要慎重考虑的。 （三）怎样看待目前教材中的应用题？ 目前，对教材中的应用题责难甚多，以不同方式和不同语言批判应用题的形式和内容已成为一种时髦。当然，目前教材中的应用题部分内容是脱离学生生活实际，给出条件是充分的（原来有部分多余条件的题目，个别条件不 够的题目，后来被删掉了），结果是唯一的，这些都是有缺陷的。 但10 / 25 是，应该怎样正确认识应用题呢？ 北京师范大学严士健教授在中国数学教育改革要面向 21 世纪（课程 教材 教法 1994 年第 10 期）一文中指出： “ 将实际问题归结为数学问题（即建模）与求解过程，可以说是与数学问题同时产生的，小学算术课本中的应用题也可以说是它的雏形。 ” 应用题是将条件纯化或简化的实际问题或实际问题的模拟。严士健教授又指出： “ 将实际问题化成可以处理的但又对原来的问题有用的数学问题（即建模），寻找创造适当的解决问题的数学方法（包括计算 方法），有时还需要对问题作解释和讨论（特别是解不唯一时更需要）。如何使学生获得能力不是很简单的，它比使学生获得数学知识更难，应该认真地研究。 ” 小学数学中的应用题和实际问题之间既有密切的联系又有明显的差别。例如，要求做某一扇窗子的窗帘所需用布料的面积。在小学数学的应用题中，只要给出窗子的长和宽的长度，就可以求出做窗帘所用布料的面积。而在实际生活中，不仅要先量出窗子的长和宽的长度，还要考虑美观、实用（窗帘布的长要超过窗子的长，窗帘布的宽要超过窗子的宽），还要考虑布料的幅宽是不是够窗子的宽度。如果不够的话则要算出 需用几个幅宽等。在这里已经可以应用题和实际问题之间的差别：（）应用题的条件是预先给出的，实际问题的条件是要自己去寻找的；（）应用题的情境是纯化或简化的，而实际问题的情境要顾及的情况比较11 / 25 多；（）应用题的结果是唯一的，求出做窗帘用布面积是能遮盖窗子的最小用布的面积；实际问题的结果是多种多样的，有时是无穷多的。如果，我们在教学中有意识地经常将应用题和相应的实际问题进行比较，就可以使学生能清楚地看到两者之间的联系和差别。这样能增强学生将所学知识应用于实际问题兴趣和意识。 在当前的教材中，应用题的内容占了相当 大的篇幅和份量。应用题的教学内容和呈现方式如何改革？应用题的改革是否得当？可以说在一定程度上决定了小学数学改革的成败。这是放在我们面前的一个重大问题。 （四） “ 问题解决 ” 是不是小学数学教育改革唯一正确的方案？ 在数学教育领域中，对问题解决的理解主要存在两种观点：第一种观点是，问题作为一种日常练习，解决问题等同于算法的操练。它把问题解决看作是巩固知识和获取新的技能的一种手段，通过问题来引入、复习、巩固和评估数学知识。这样的问题主要是为了说明某个算法。通过做一系列练习，使学生获得一些新的技能。第二种观点是， 问题指非常规的问题，学生必须探索、联系、逻辑地推理并有效地利用数学方法解决这些问题，问题解决的核心是让学生数学地思维，它把问题解决看作在新的情境下的数学思维，通过解决一系列非常规的问题，使学生的数学能力得到增强，而不仅仅是获得新的技能。 美国的数学课程回顾指导中，对问题解决的分年级要求如下：（综合12 / 25 80 年代末和 90 年代初的数学课程文献） 幼儿园到四年级：问题解决提供了学习大多数数学概念和技能的框架，许多良好的问题解决的情境从儿童的生活情境中发展出来，并由学生或教师提出问题，在解决问题过程中，许多策略和 技术得到应用。 五到八年级：学会问题解决是学习数学的主要原因，问题解决是运用已经获得的知识到新的不熟悉的情境中，解文字题是解决问题的一种形式，但学生也应该解决非常规的问题。解决问题的策略包括提问、画表、试误、传译和解释的结果、画表、试误的方法。学生必须了解解决问题的不同途径，必须用多种方法经验解决问题。 笔者认为，我国教材中的应用题相当于 “ 问题解决 ” 的第一种观点及其题型，这是中低年级必须要学习的内容。对于 “ 非常规问题 ” ，它是培养学生能力很好的方法和途径。在今后的小学数学课程标准（教学大纲）中 “ 问题解决 ” 的非常规问题要占多大的份量？问题的情境和事理如何符合学生的生活实际？难度到什么程度？都是必须认真研究的课题。 （五）统计初步知识如何加强 统计是将人们的生活和生产中获得的大量数据（信息），这些数据（信息）从表面上看没有什么规律性，通过数学方法进行整理和分析以后就会呈现出一定的规律性。这说明现实世界中事物的联系和发展过程是非常复杂的，在表面上偶然性在起作用的地方，这种偶然性又始终是受事物内部隐藏着的必然性所支配的。这种13 / 25 必然性可以利用收集到的数据运用数理统计中的定理或定律进行统计推断，找到这事物整体的某种规 律性。因此，统计思想和方法在人们日常生活与科研生产中应用日益广泛。 在小学数学教材中，统计初步知识的内容还是显得少了一些。为了使学生能更好联系实际，就应该稍微增加一些统计知识。例如，提出一些适合于学生日常生活实际的问题，让学生寻找条件，收集数据，加以整理、分析筛选出有用的，去掉无用的数据，组成合适的条件来解决这些问题等。 （六）几何初步知 识如何进行改革 几何知识是数学科学的重要组成部分，它的内容包括数学中的空间形式及其关系。在小学数学中，它的主要内容有：平面几何图形和立体几何图形的认识，平面几何图形之间的相互关系，立体几何图形之间的相互关系，平面几何图形和立体几何图形的求积。笔者认为应该重视平面几何图形和立体几何图形认识、平面几何图形之间相互关系和立体几何图形之间相互关系的教学。 目前的九年义务教育小学数学教材中。几何知识在一、二年级有些几何图形的直观认识，这是比以前改进之处。但是，平面几何图形只有两个图形的认识和一个图形的求积。立体几 何图形只有一个图形的认识和求积。几何知识显得比较贫乏。 实际上，几何内容与儿童生活实际的联系是十分紧密的，特别是两、三个平面几何图形组合的认识与识别，两个立体几何图形组合的认识和识别，在儿童生14 / 25 活实际中经常会看到和用到的。另外，其它一些平面和立体几何图形，如菱形、圆台、棱柱、棱台等，在日常生活中是常见的，也是有用的。 目前义务教育教材中，几何知识比较少，单纯求积计算的迹象比较明显。怎样来改变这种状况，也是小学数学教育改革一个重要课题。 （七）在小学数学教学中应该怎样理论联系实际 在教学新知识时，应该从 学生的生活实际和学生熟悉的生产实际引入，让学生通过观察、操作、测量、画图等实践活动，使学生能了解所学知识的实际背景，再把它们抽象出来，获得相应的数学知识、方法、法则等。然后把实际背景和相应的数学知识进行对比，理解两者之间的联系与差别。还要告诉学生，这些数学知识、方法和法则等与日常生活、其他课程以及周围的现实的广泛的联系，要求他们同时主动去观察这些联系以及如何应用这方面的工作很重要，能使学生学习知识、巩固知识和技能时，能对学习过程有一个反思的过程。 重视知识的应用，不仅使学生掌握一种技能，而且有助于培养学生 正确认识数学乃至科学发展道路，认识它们从根本上说来源于实际，它们是人类认识世界的工具。如果不重视理论联系实际，会使学生认为所学的数学知识与日常生活及他们具有的其他知识和经验的联系太少。学生的思想中应付考试是学习数学的重要目的；几乎没有将数学应用于实际的意识，也许他们认为数学本来在生活和日常工作中就没有用。以后，对15 / 25 于数学与其他科学的联系与应用问题也很少感兴趣。另外由于在校时简单地应用数学的训练太少，实际上也不会将可以用数学帮助解决的实际问题化成数学问题加以解决，将来会给工作造成很大的损失。 在小学数学教学中 应在知识引入和掌握知识、方法、法则、定律后，怎样使学生能很好地联系实际，并将所学的知识应用于实际。如何处理得恰当，这是教学中的新问题，也是编写新教材作者所面临的重大挑战。 （八）关于课堂教学改革创新的问题 课堂教学优化、创新，其依据之一是教材内容的编排方式，使一般教师能按照教材编排体系、方式进行教学。但是，教材的编排体系、方式一旦固定下来，在短时间内是还会改变的。所以教学时，还要教师发挥聪明才智，创造新的有效的课堂教学形式。 加强教学中的实践性。 数学知识来源于实际，所以，数学教学要尽可能的接近 学生的现实生活与社会生活。在教学中，要按照教材安排的内容，精心加以设计和加工，加强教学中的实际操作环节，使学生体验到数学知识来源于实际，又在实际生活中都有用处。所以，让学生进行数学活动，学生通过数学活动主动积极地获取知识，将感性的实际活动与内心的感受、体验结合起来。例如： 对于重量单位千克的认识，先通过原来克的计重量单位在计量大的物品的重量时不方便，需要引入新的计量单位。在建立千克的重量观念时，要通过学生的活动：称千克沙子、挂16 / 25 面等，让学生掂一掂，体验 1 千克的份量有多重。同样的重量，由于物体的形态不一样， 掂的时候感觉会不一样，但是重量的本质是一样的。再让学生用不同重量的物体分别掂一掂，感受两者之间的差别，这样，把外在的操作活动与内在的感受、体验结合起来，使学生对 1 千克的重量的观念更清晰、准确。再让学生称重量为千克的鸡蛋。要求学生在秤鸡蛋的重量接近千克时，要商量一些对策，怎样能称得又快又准。在实际操作过程中，他们能用以大换小或以小换大等方法，比较快而准地称出重量为千克的鸡蛋。还可以再让学生称一些水果、蔬菜等物品。在这节数学活动课中，学生都能主动、积极地参与教学过程，都能认真、热烈地商量称东西的策略；他们 的情绪兴奋、激动，他们的思维积极、开放。同时，使学生认识到千克这个计量单位在实际生活中的用途，体现了数学知识的实践性。 在教学中要着重体现数学思想与数学方法。 数学思想是指人们按照现实世界的空间形式和数量关系所形成的数学理论和数学知识，并运用这些数学理论与知识来进行活动和处理问题。它是对数学知识和数学理论的系统的本质的认识。 数学方法是以数学理论和知识为工具，为进行科学研究、解决实际问题提供思路和途径；用数学语言表达事物的状态、关系和过程，提供推导、运算和分析的逻辑顺序和手段及其操作原则。它提供了 简洁而精确的形式化的语言，提供了计算、数17 / 25 量和图形进行分析的方法，提供了进行逻辑推理的手段。 数学思想和数学方法是贯穿在数学知识、法则、公式、定律之中的。它是人们通过思维活动后得到的理性认识，形成的一种观念性的结果。它比数学知识、法则、公式、定律更重要。在小学数学中同样贯穿着数学思想和数学方法。例如： 在教学圆面积计算公式时，要让学生回顾平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的推导过程，使学生认识到几何图形的割补、拼接的思想方法，是推导几何面积计算公式的基本方法与途径。把新几何图形通过割补、拼接等方法变换成 已学过的几何图形，利用已知的面积计算公式推演出新的几何图形的面积计算公式。在而圆的面积计算公式推导过程比较复杂，割补和拼接的方法也比较特殊。因此，教学以教师演示为主。教师把几个完全一样的圆分别平均分成、等分，再分别拼接成近似的长方形。让学生看到，把圆平均分得越细，拼成的图形越接近于长方形（因为边的弧度越来越小）。教师再说明把圆平均分的份数越来越多，近似的长方形几乎就是所需要的长方形了。然后，让学生将圆的半径、圆周长跟长方形的长宽进行比较，由长方形的面积计算公式推出圆的面积计算公式。在这样的教学 过程中，比较明显地渗透了极限的思想。 在教学中要注意知识之间的联系和关系。 数学是人类在长期的历史进程中生产劳动和社会实践中积累起来的关于客观世界的空间形式和18 / 25 数量关系的认识的升华。数学知识是客观世界与空间形式在人类认识中的反映。随着科学技术发展和人类对客观世界认识的深化，数学的研究对象也越来越广泛，它包括客观现实存在的任何形式和关系，只要这些形式和关系客观上能独立于它们的内容，既能完全撇开具体内容，而又能十分精确地表达它们的概念，又能保留丰富的联系，还能给纯逻辑的发展理论奠定基础。从另外的一个角度来 讲，数学研究的对象包括：数量关系、数量形式、空间关系和空间形式。 在小学数学教学中，也隐含了这些思想。例如，在讲比的意义时，先让学生回忆以前学过的两个数之间有哪些关系：一个数比另一个多几、一个数比另一个少几、一个数是另一个数的几倍、一个数是另一个的几分之几。然后，教师再引出两个数之间的一种新的关系：两个数之间的比。两个数之间的关系可以说是数学中最简单的关系之一。但是，它的内涵却很丰富，它们之间有五种关系，其中有比多少的关系、倍数关系、运算关系和数量之间的关系。我们在教学时，要让学生理解所学数学知识丰富的内 涵，要建立新、旧知识之间的内在联系，新知识的学习和理解要建立在原有的知识基础之上。这样的学习过程可以使学生所学的知识容易形成知识系统。又如，长方形周长的计算公式是：（长宽） 。应该怎样教学才能把计算公式与几何图形有机地联系起来？有一位教师是这样教学的：利用投影片出示长方形的图形，19 / 25 并指出其长和宽，再把长方形的周长分解成两个长与宽，然后把一个长和宽与另一个长和宽合并起来，就得到长方形的周长。教师把长方形周长的计算公式与图形的合并过程结合起来，使学生对计算公式和空间观念能够有更清晰更准确的理解，使所学的知识掌 握得更好。教师的教学艺术和教学创新的领域是十分广阔的，从不同的角度去理解或思考，就会以不同方式或状态出现，很难用一种模式把它们框住。 （九）在教学中要注意数学意识的培养 数学意识是指数学思想和数学方法在学生的认知结构中固定下来以后，能主动地用数学思想方法来考虑问题或进行思维的习惯，也就是通常说的具有 “ 数学头脑 ” 。在小学数学教学中应该培养的数学意识主要有以下几种： 计算意识。遇到问题能够自觉地从数量上进行观察和思考，形成一种量化的思维习惯。这是最基本的一种数学意识，它最初产生于人类的计数活动。任何事 物都有质和量两个方面的规定性，并且存在由量变到质变的过程。从数量角度考虑问题，往往更容易认识事物。培养计算意识，也可以说是培养良好的 “ 数感 ” 。 计算能力是小学数学教学必须培养的一种主要能力。它包括口算、笔算、估算等方面的能力。在小学数学教学中，学生计算能力的培养和形成，是有目的有步骤地长期培养训练的结果，是在学习整数、小数和分数的四则计算中逐步形成的。这些计算，从整个义务教育的数学教学来看，主要是小学的20 / 25 学习任务。它们在日常生活和生产劳动中用得最多，在进一步学习中是学习其他计算的基础，就是小学生在学习过程中也是十分必需的。因此，必须使学生切实掌握，并形成一定的计算能力，以终身受益。对于大数目与四则混合运算还是应该利用计算器为好。在计算教学中，应该注重算理和算法的教学，使学生知其然，又能知其所以然。要培养学生成为懂得算理和算法、又会使用计算工具的主人，而不能把学生训练成计算工具。 对于计算能力的要求是：计算正确、迅速（即根据计算内容的不同情况达到适当的熟练程度），方法合理、灵活。在这个要求中，正确（对）是迅速（快）和合理灵活（巧）的前提；离开了正确，也就失去了迅速的意义。而计算方法的合理、灵活，它不仅可以提高 计算的速度，还有助于减少差错，从而保证计算的正确。 口算是不借助任何工具，依靠思维和语言进行计算并得出结果的一种计算方法，具有快速、灵活的特点。在小学数学中，最基本的口算是以内进位加法和退位减法，表内乘法和相应的除法，它们的教学要求是：每分做十二、三道题，最多是每分做十四、五道题；准确率应达到百分之九十五。这些口算是日常生活的工作中最常用的计算，也是学习其他计算的基础。因此，准确率是第一位的，速度是第二位的。小学生学习口算是为今后数学和其他学科的学习打基础的，而不是为了比赛或干别的什么用的。 估算是 在日常生活、测量21 / 25 中无法也没有必要进行精确计算或判断时所采取的计算方法，是对数量关系和空间形式合理的概算和推断。估算并不是近似计算，它是表示对人们所要得到的理想结果的接近程度。进行估算的过程具有一定的逻辑性和条理性，需要运用一些合理的推理和判断等策略。培养学生具有一定的估算能力，能提高学生对运算和测量结果有概括性的认识，能提高学生处理、解决实际问题的能力。在今后的小学数学教育改革中，如何安排有关估算的内容是一个十分重要的问题。 抽象意识是指面对一些事物时，很快就能指出事物本质解决问题的思维 习惯。从抽 象的程来看可以把它分为三个层次： （）面对复杂的现象，有意识地区分主次因素，透过表面现象看本质； （）面对众多的事物，有意识地找普遍规律，抓住共性抽象概括； （）自觉建立数学模型的习惯。 抽象意识是由数学的抽象性特点决定的。培养抽象意识有助于提高思维性、抽象概括能力和利用数学模型解决问题的能力。 抽象就是抽出事物的本质属性（或特征）与非本质属性（或特征）区分开，舍弃其中非本质的方面，抽取出本质属性或特征等规定性的过程。概括就是在抽象的基础上，把抽取出来的那些本质属性、特征等一般规定，将同类属 性归结在一起，形成关于对象的一般规定的综合的认识；进而把这种认识推广到同类事物，把握同类事物的共同性和一般性。抽象和概括的统一过程是抽象22 / 25 思维的基本过程。数学中的数、形、式等都是抽象概括的结果。对小学生来说，特别要注意在一定的感性认识基础上再加以适当的抽象概括，不然容易产生死记硬背、生搬硬套的现象。但是，也不能停留在具体形象上，老是不加以抽象概括。现以分数的意义教学为例，如果学生缺乏从丰富的感性认识的基础上抽象概括出分数的意义，过早地给出条文（实际上是教师代替学生抽象概括），学生即使背得滚瓜烂熟，也仍然不解其 意，以致出现 “+=” 的错误。反之，如果一直停留在具体形象的感性认识上，那么，当比较与的大小时，有的学生因联想到个苹果总是比个西瓜小的具体事例，以致得出 “ 谁大谁小不一定 ” 的错误结论。因此，培养学生的抽象概括能力，要注意把握抽象概括的时机和程度，要给予帮助和引导，而不是包办代替。 如何把握抽象概括的时机和程度，要注意以下三个问题： （）要注意抽象程度的阶段性。例如长方体认识低年级是从对实物的观察中看出长方体有 6个面，而且是长方形（也可能有两个面是正方形），相对的面的面积相等，相对的棱长度相等。在高年级时， 从实物抽象出长方体的几何图形，再从几何图形中得到长方体以上这些几何特征。 （）必须注意与具体事物相联系。就是说，必须从多个有代表性的实例中抽象概括出一般原理，还要举出典型事例加以说明。如对数 5、 9