直角梯形在圆锥曲线中的应用.doc

直角梯形在圆锥曲线中的应用 江西省九江市第一中学(332000)江民杰 笔者在一次偶然机会，发现一特殊的直角梯形，可以迁移至圆锥曲线，并且可以解决一类问题，现与大家分享如下： 图1结论如图1所示，直角梯形PP1Q1Q中，FKP1Q1， P1Q1的延长线与交于A点。若|AQ|AP|=|FQ|FP|， 则KF平分PKQ。 证明：由QQ1PP1可得 |AQ|AP|=|QQ1|PP1|,|FQ|FP|=|KQ1|KP1|，从而RtPP1KRtQQ1K。 P1KP=Q1KQ。又FKP1Q1，PKF=QKF，即KF平分PKQ。 下面将满足条件|AQ|AP|=|FQ|FP|的直角梯形迁移至圆锥曲线，可以得到一系列有趣的结论。 结论1过曲线y2=2px（p0）的焦点F(p2,0)作弦，准线x=p2与x轴交于K点，则KF平分PKQ。 图2分析：如图2，过P，Q分别作准线x=p2的垂线， 垂足分别为P1，Q1，由抛物线定义可知|PF|QF|=|PP1|QQ1|， 而|PF|QF|=|P1K|KQ1|，不难得到RtPP1KRtQQ1K， 故|PK|QK|=|PP1|QQ1|，|PK|QK|=|PF|QF|，PKF=QKF。 该结论说明：过抛物线焦点F的弦，存在另一个定点K，使KF平分PKQ。该结论可否改为更一般比呢？为达到研究的目的，我们对结论进行再分析。 图3再分析：当x轴时，由对称性可知，故可猜测K在x轴上； 当与x轴不垂直时，延长与准线交于A点。（如图3）假设KF平分PKQ，则有|PF|QF|=|PK|QK|，又|PF|QF|=|P1K|Q1K|，|P1K|Q1K|=|PK|QK|, 可知RtPP1KRtQQ1K，从而|PP1|QQ1|=|P1K|Q1K|。 又由PP1QQ1,知|PP1|QQ1|=|AP|AQ|，又|PF|QF|=|P1K|Q1K|,|AP|AQ|=|PF|QF|。 当直线绕F点旋转时，与准线l的交点A满足|AP|AQ|=|FP|FQ|，故准线l可以看成满足条件|AP|AQ|=|FP|FQ|的动点A的轨迹。故K点在动点A的轨迹l上，又在过F点与l垂直的垂线上。 由于整个过程未涉及抛物线的定义，故结论可以一般化。 结论2过曲线y2=2px（p0）开口内一定点R（x0，y0）的动弦，存在另一个定点K，使KR平分PKQ。 图4分析：如图4，假设存在K，使得KR平分PKQ，过K点作直线l，使lRK。分别过P,Q两点作l的垂线，垂足分别为P1，Q1。借助于结论1的再分析知K点既在满足条件|AP|AQ|=|PR|QR|的直线l上，又在过R点与l垂直的垂线上。 下面先求满足条件|AP|AQ|=|PR|QR|的动点A的轨迹l的方程。 设P（x1,y1），Q（x2,y2），R（x0，y0），A（x,y）。 由|AP|AQ|=|RP|RQ|,知|AP|PR|=|AQ|QR|。令AP=PR，则AQ=QR。 由AP=PR,知x1=x+x01+, y1=y+y01+, 由AQ=QR,知x2=xx01, y2=yy01, 又y21=2px1，y22=2px2， 将代入得（y+y0）2=2p（1+）（x+x0）， 将代入得（yy0）2=2p（1）（xx0）， -得4y0y=4p（x+x0）,即y0y=p（x+x0）, 故l的方程为y0y=p（x+x0）。 再求过R（x0，y0）与l垂直的垂线y=y0p（xx0）+y0，由 y0y=p（x+x0）， y=y0p（xx0）+y0可求出定点K的坐标。 注意到l的方程为y0y=p（x+x0）恰为R（x0,y0）为极点时相对应的极线，故K点为极线l与过R与极线l垂直的垂线的交点。以此为背景可以命制数学试题。 如xx陕西高考21：已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得弦MN长为8， （）求动圆圆心的轨迹C的方程； （）已知B（1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点，若x轴是PBQ的角平分线，求证l过定点。 答案:（1）y2=8x；（2）l过定点（1,0）（该题实际上就是结论2的逆命题） 结论2的这种分析，对于圆、椭圆、双曲线可否类比？ 结论3过曲线C：mx2+ny2=1（m,n0）开口内一定点R（x0,y0）的动弦，存在定点K，使KR平分PKQ。 分析:由于结论2的分析未涉及抛物线定义，故结论2的分析过程可以迁移到结论3中，K点既在满足条件|AP|AQ|=|PR|QR|的动点A的轨迹l上，又要满足PKl。 先求满足条件|AP|AQ|=|PR|QR|的动点A的轨迹l的方程。 设P（x1,y1），Q（x2,y2），R（x0，y0），A（x,y）。 由|AP|AQ|=|PR|QR|，知|AP|PR|=|AQ|QR|。令AP=PR，则AQ=QR。 由AP=PR，知x1=x+x01+， y1=y+y01+。 由AQ=QR，知x2=xx01 y2=yy01 又mx21+ny21=1，mx22+ny22=1。 将代入得m（x+x0）2（1+）2+n（y+y0）2（1+）2=1， 即m（x+x0）2+n（y+y0）2=（1+）2, 将代入得m（xx0）2（1）2+n（yy0）2（1）2=1, 即m（xx0）2+n（yy0）2=（1）2, -得4mx0x+4ny0y=4，即l：mx0x+ny0y=1。 故A点轨迹就是R（x0,y0）相应的极线l，故K就是过R点的l的垂线与l的交点。 新编题R（1，0）是椭圆x24+y2=1内一点，过R的动弦，是否存在K点，使KR平分PKR。若存在,求出K点；若不存在，说明理由。 分析：R（1，0）相应的极线l为1x4+y0=1，即x=4。过R点与l的垂线恰为x轴，故K点坐标为（4,0）。 综合结论1、2、3可得如