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极限证明(精选多篇) 极限证明 1.设f(x)在(?,?)上无穷次可微，且f(x)?(xn)(n?)，求证当k?n?1时，?x，limf(k)(x)?0x? 2.设f(x)?0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为 偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和x f(n)(x)?0?xn?3.设f(x)在(?,?)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，? ?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0 sin(f(x)?1求证limf(x)存在4.设f(x)在(a,?)上连续，且xlim?x? 5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn?xn存在并求极限值。 6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n?xn?n 7.用肯定语气叙述：limx?f?x?. 8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。an?1 t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x?a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时， 为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。 10.设limn?an?a,证明：lima1?2a2?nana?.n?2n2 11.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。 12.证明：若? af?x?dx收敛且limx?f?x?，则?0. 11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2? n 14.证明公式?k?11k?2n?c?n，其中c是与n无关的常数，limn?n?0. 15.设f?x?在a,?)上可微且有界。证明存在一个数列?xn?a,?),使得limn?xn?且limn?f?xn?0. 16.设f?u?具有连续的导函数，且limu?f?u?a?0,d?x,y?|x2?y2?r2,x,y?0 ? ?r?0?. i ?1?证明：limu?f?u?;?2?求ir?f?x2?y2?dxdy;?3?求limr2 r? d r 17.设f?x?于a,?)可导，且f?x?c?0?c为常数?,证明： ?1?limx?f?x?;?2?f?x?于a,?)必有最小值。 18.设limn?an?a,limn?bn?b,其中b?0,用?n语言证明lim ana?. n?bbn ?sn?x?19.设函数列?sn?x?的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间， 在u?x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn?sn?x0?,证明：lims?x?. x?x0 20.叙述并证明limx?f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理? ?a 23.设? f(x)=0.证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?a,?上一致连续，? 24.设a10，an?1an，证明1nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在 ?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明： 1）limn?m?hn?与limn?m?hn?都存在； 2)limn?0m?h?limn?m?hn?,limn?0m?h?limn?m?hn?; 3)f?x?在x?(本文)a处连续的充要条件是llimn?m?hn?imn?m?hn?26设?xn?满足：|xn?1?xn|?|qn|xn?xn?1|,|qn|?r?1|,证明?xn?收敛。 27.设an?a,用定义证明:limn?an?a 28.设x1?0，xn?1? 31?xn ,(n?1,2,?)，证明limxn存在并求出来。 n?3?xn ? 29.用“?语言”证明lim30.设f(x)? (x?2)(x?1) ?0 x?1x?3 x?2 ，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1 n? 1，2，?)，求证：limxn?2。 31.设fn(x)?cosx?cos2x?cosnx，求证： （a）对任意自然数n，方程fn(x)?1在0,?/3)内有且仅有一个正根； （b）设xn?0,1/3)是fn(x)?1的根，则limxn?/3。 n? 32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b)使 limf(xn)?a(n?)及limf(yn)?b(n?)，则对a，b之间的任意数?， 可找到数列xn?a，使得limf(zn)? 33.设函数f在a,b上连续，且 f?0,记fvn?f(a?v?n),?n? ?exp b?a ，试证明：n 1b lnf(x)dx(n?)并利用上述等式证明下?ab?a 式 2? ? 2? ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1) f(b)?f(a) ?k b?a 34.设f(0)?k,试证明lim a?0?b?0? 35.设f(x)连续，?(x)?0f(xt)dt，且lim x?0 论?(x)在x?0处的连续性。 f(x) ，求?(x)，并讨?a（常数） x 36给出riemann积分?af(x)dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛 i1 lim?()s。n?ni?0n ?x322 ,x?y?0?2 37.定义函数f?x?x?y2.证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。 ?0,x?y?0? n?1 b 38.设f是?0,?上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn?f?xn?rn?f?xn?0. 39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0 f?2x?f?x?a,求证：f?0?存在且等于a. x 1n 40.无穷数列?an?,bn?满足limn?an?a,limn?bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab. n?ni?1 41.设f是?0,?上具有二阶连续导数的正函数，且f?x?0,f有界，则limt?f?t?0 42.用?分析定义证明limt?1 x?31 ?x2?92 43.证明下列各题 ?1?设an?0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛； n?1 ? ?2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?nxxan收敛，试证明limnxxan?0; n? n?1 ? ?3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn?,yn?都有limn?f?xn?f?yn?0. ?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0?收敛，试证明limn?n?n?1? a?1。45.设an?0，n=1,2，an?a?0,(n?),证limn n? ? 46.设f为上实值函数，且f（1）1，f?（x）1，? limf（x）存在且小于1。 x?4 ，证明x?1）2 x2f（x） ? 47.已知数列an收敛于a，且 a?a?asn?，用定义证明sn也收敛于a n 48.若f?x?在?0,?上可微，lim n? f(x) ?0，求证?0,?内存在一个单 x?x 调数列?n，使得lim?n?且limf?(?n)?0 n? x?e?sinx?cosx?,x?0 49.设f?x?2,确定常数a,b,c,使得f?x?在?,?处处存在。 ?ax?bx?c,x?0 极限的证明 利用极限存在准则证明： (1)当x趋近于正无穷时，(inx/x2)的极限为0; (2)证明数列xn，其中a0，xo0,xn=/2,n=1,2,收敛，并求其极限。 1)用夹逼准则: x大于1时,lnx0,x20,故lnx/x20 且lnx1),lnx/x2a时,xn-x(n-1)=/2a,a为数列下界,则极限存在. 设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a. 对原始两边求极限得a=/2.解得a=a 同理可求x0a时,极限亦为a 综上,数列极限存在,且为 (一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =2函数极限的性质(3学时) 目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 数列极限的证明 x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |xn+1-a|xn-a|/a 以此类推，改变数列下标可得|xn-a|xn-1-a|/a; |xn-1-a|xn-2-a|/a; |x2-a|x1-a|/a; 向上迭代，可以得到|xn+1-a|x(1); 设x(k+1)x(k)，则 x(k+2)-x(k+1)=-(分子有理化) =/【+】0。 证明x(n)有上界。 x(1)=14， 设x(k)4，则 x(k+1)=(2+3*4)1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)x=x/tx(t1) 则： lim(x+)f(x)=lim(x+)x/tx =lim(x+)(分子分母分别求导) =lim(x+)1/(tx*lnt) =1/(+) =0 所以，对于数列n*an，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim=0 n (2)lim=3/2 n (3)lim=0 n (4)lim0.9999=1 nn个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。lim就省略不打了。 n/(n2+1)=0 (n2+4)/n=1 sin(1/n)=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了 第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n2+1)=lim(1/n)/(1+1/n2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n2)=0/1=0 lim(n2+4)/n=lim(1+4/n2)=1+lim(4/n2)=1+4lim(1/n2)=1 limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0 函数极限的证明 (一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些