高中数学《用样本的频率分布估计总体分布》新人教A版必修.ppt

2.2 用样本估计总体 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布,【自主预习】 主题1:频率分布直方图 美国历届总统中,就任时年纪最小的是罗斯福,他于1901年就任,当时年仅42岁;就任时年纪最大的是里根,他于1981年就任,当时69岁.下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马,共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄:,57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65, 52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51, 54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48,请根据上述材料回答下列问题: 1.上述44个数据中最大值与最小值的差是多少? 提示:69-42=27.,2.若将上述数据分成下列几组,41.5,45.5),45.5,49.5),49.5,53.5),53.5, 57.5),57.5,61.5),61.5,65.5),65.5,69.5.各 组中数据个数是多少? 提示:各组数据的个数依次为2,7,8,16,5,4,2.,3.在直角坐标系中,能否将各组统计的数据直观地表示出来? 提示:可以,一般可以借助频率分布表来表示.,通过以上探究,试着总结你对数据分析的理解 频率分布表、 频率分布直方图:,(1)频率分布表的制作过程: 求极差; _; 将数据分组; _.,决定组距与组数,列频率分布表,(2)频率分布直方图: 纵轴表示_.数据落在各小组内的频 率用小长方形的_表示.各小长方形的面积总和等 于_.,频率与组距的比值,面积,1, 频率分布折线图与总体密度曲线:,(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方 形上端的_,就得到频率分布折线图. (2)总体密度曲线:随着样本容量的_,作图时所分 的组数_,组距_,相应的频率折线图会越来越 接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密 度曲线.,中点,增加,增加,减小,主题2:茎叶图 1.在统计中,如图也是一种统计方法,它叫茎叶图,那么在茎叶图中,茎是指的哪一部分?叶是指的哪一部分?,提示:在茎叶图中,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数.,2.在茎叶图中,高位与低位和茎叶图中的哪部分对应? 提示:在茎叶图中,高位与低位和茎叶图中的茎与叶对应.,总结以上探究,试着补全茎叶图的认识:,通常中间的数字表示数据的十位数;旁边的数字分别表示两组数据的个位数,中间,旁边,【深度思考】 结合教材P66引例绘制频率分布直方图应分哪几个步骤 第一步:_. 第二步:_. 第三步:_ _.,根据频率分布表确定组距与组数,依据频率分布表以及确定的矩形的大小绘制,频率分布直方图,根据频率与组距确定矩形的高，高,【预习小测】 1.没有信息的损失,所有的原始数据都可以从图中得到的统计图是 ( ) A.总体密度曲线 B.茎叶图 C.频率分布折线图 D.频率分布直方图,【解析】选B.所有的统计图中,仅有茎叶统计图完好无损地保存着所有原始数据的信息.,2.下列关于茎叶图的叙述正确的是 ( ) A.茎叶图可以展示未分组的原始数据,它与频率分布表以及频率分布直方图的处理方式不同 B.对于重复的数据,只算一个,C.茎叶图中的“叶”是“茎”十进制的上一级单位 D.制作茎叶图的程序是:第一步画出“茎”;第二步画出“叶”;第三步将“叶子”任意排列 【解析】选A.由茎叶图的定义以及茎叶图的特点可知:选项A正确.,3.如图是某试验的总体密度曲线,下列说法正确的 是 ( ),A.组距越大,频率分布折线图越接近于它 B.样本容量越小,频率分布折线图越接近于它 C.阴影部分的面积代表总体在(a,b)上取值的百分比 D.阴影部分的高度代表总体在(a,b)上取值的百分比,【解析】选C.由总体密度曲线的定义及其意义可知,选项C正确.,4.一个容量为20的样本,已知某组的频率为0.25,则该组的频数为_. 【解析】200.25=5. 答案:5,5.在已分组的数据中,每组的频数是指_,每组的频率是指_. 【解析】根据频数的概念知:每组的频数是落入该组数据的个数,每组的频率为落入该组的数据个数与数据总数的比.,答案:落入该组的数据的个数 落入该组的数据个数与数据总数的比值,【补偿训练】在样本的频率分布直方图中,共有8个小 长方形,若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长 方形的面积和的 ,且样本容量为200,求第8组的频数.,【解析】设最后一个小长方形的面积为x, 则其他7个小长方形的面积为4x,从而x+4x=1, 所以x=0.2.故第8组的频数为2000.2=40.,【互动探究】 1.画频率分布直方图时,数据的分组,组数、组距和极差有何关系?组数一般如何确定?,提示:组数k= ,如果kZ,则组数为k,否则组数为大于k的最小整数.取样容量越大,分的组数越多.当样本容量不超过100时,常分为512组.,2.同样一组数据,如果组距不同,得到的频率分布直方图也会不同吗? 提示:对于同一组数据分析时,要选好组距和组数,不同的组距与组数对结果有一定的影响.,3.频率分布直方图中,纵轴表示的是什么?在频率分 布直方图中,各小长方形的面积表示什么?它们的总 和是多少? 提示:纵轴表示的是 .各小长方形的面积代表的是该段的频率.它们的总和为1.,4.如何由频率分布直方图得到频率分布折线图? 提示:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,即得到频率分布折线图.,5.当总体中的个数比较少或样本数据不密集时,是否存在总体密度曲线?为什么? 提示:不存在,因为只有样本容量不断增加,相应的频率折线图才接近于总体密度曲线.,6.茎叶图中,“茎”和“叶”的划分是固定不变的吗? 提示:不是.可根据样本数据的特点灵活决定.,7.茎叶图中的茎与叶一般是如何排列的?重复的数据如何处理? 提示:一般来说茎是按从小到大的顺序自上而下列出;而茎的叶按数值出现的先后排列.重复的数据应重复记录,不得遗漏.,【拓展延伸】频率分布表、频率分布直方图及折线图的优、缺点 (1)频率分布表在数量表示上比较确切,但不够直观、形象,分析数据分布的总体态势不太方便.,(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据,非常直观地表明分布的形状,使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式.但是从直方图本身得不出原始数据内容,即把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.,(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势.如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小,那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线.,【探究总结】 知识归纳:,方法总结:数据分析的基本方法 (1)借助于图形:分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,此法可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.,(2)借助于表格:分析数据的另一方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式,此法是通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式.,【题型探究】 类型一:频率分布直方图的画法 【典例1】(2016青岛高一检测)调查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下:,171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 (1)作出频率分布表. (2)画出频率分布直方图.,【解题指南】可依据画频率分布表和频率分布直方图的步骤作出频率分布表及频率分布直方图.,【解析】(1)最低身高151cm,最高身高180cm,它们的差是180-151=29,即极差为29;确定组距为4,组数为8,列表如下:,(2)频率分布直方图如图所示.,【规律总结】绘制频率分布直方图的基本步骤 第一步,求极差(即一组数据中最大值与最小值的差). 第二步,确定组距与组数.,组距是指每个小组的两个端点之间的距离.极差、组距、组数有如下关系: 若 为整数,则 =组数; 若 不为整数,则 +1=组数.(x表示不大于x的最大整数). 第三步,分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间.,第四步,统计各组数据的频数,计算频率,填入表格中,完成频率分布表. 第五步,画频率分布直方图:画图时,应以横轴表示分组,纵轴表示频率/组距.其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积.,【巩固训练】(2016长沙高一检测)某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了n名同学进行调查.如表是这n名同学的日睡眠时间的频率分布表.,(1)求n的值.(2)若a=20,将表中数据补全,并画出频率分布直方图.,【解析】(1)由频率分布表可知n= =50. (2)补全数据如表:,频率分布直方图如图:,类型二:频率分布直方图的应用 【典例2】(1)某校为了了解高三学生的身体状况,抽取了100名女生的体重.将所得的数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图,则所抽取的女生中体重在4045kg的人数是 ( ),A.10 B.2 C.5 D.15,(2)(2015湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间0.3,0.9内,其频率分布直方图如图所示. 直方图中的a= ;,在这些购物者中,消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为 .,【解题指南】(1)先求出体重在4045kg的频率,再求人数. (2)利用频率和为1,求得a,由消费金额在区间0.5,0.9内的频率,求得消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数.,【解析】(1)选A.由图可知,频率= 组距=0.025=0.1,所以0.1100=10(人),(2)由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.1 +0.80.1+1.50.1+2.00.1+2.50.1+a0.1=1, 解得a=3,消费金额在区间0.5,0.9内的频率为 0.20.1+0.80.1+2.00.1+30.1=0.6,所以消 费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为0.6 10 000=6 000. 答案:3 6 000,【延伸探究】 1.(改变问法)典例(1)中的条件不变,试求体重超过50kg的人数? 【解析】由题图可知,体重超过50kg的频率为0.065+0.025=0.4,所以0.4100=40(人).,2.(改变问法)典例(1)中的条件不变,试估计女生体重的众数是多少?平均数是多少?,【解析】由题图可知,体重出现频率最高的为45kg 50kg,因此体重众数的估计值为 =47.5kg,她们体 重的平均值为42.50.1+47.50.5+52.50.3+ 57.50.1=49.5(kg).,【规律总结】 1.由频率分布直方图进行相关计算时需掌握的两个关 系式 (1) 组矩=频率. (2) =频率,此关系式的变形为 =样本容 量,样本容量频率=频数.,2.频率分布直方图的应用中常见的三种问题 (1)频数、频率及频率分布直方图:这类问题是高考考查的重点和热点问题.主要考查频率分布(图)表的画法、识别和运用.,(2)填表、补图、估算:填表、补图、估算是频率分布 估计总体分布的常考查形式,读懂图表、直方图,活用 公式:组距 =频率; =样本容量. (3)开放性问题:要选择适当的数据特征进行分析,根据 数据特征分析得出实际问题的结论.,【巩固训练】(2016山东高考)某高校调查了200名 学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的 频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30, 样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25), 25,27.5),27.5,30.根据直方图,这200名学生中每 周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ( ),A.56 B.60 C.120 D.140.,【解析】选D.由频率分布直方图可知,每周自习时间 不少于22.5小时的学生所占频率为2.5(0.16+0.08+ 0.04)=0.7,所以每周自习时间不少于22.5小时的学生 人数为2000.7=140.,类型三:茎叶图制作与应用 【典例3】某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下: 甲的得分:95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107; 乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101. 画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.,【解题指南】结合茎叶图的含义先画出茎叶图,再从其分布来比较说明.,【解析】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.从这个茎叶图上可以看出,乙同学的考试成绩是大致对称的,中位数是98分;甲同学的考试成绩除了一个110分外,也大致对称,中位数是88分,但分数分布相对于乙来说,趋向于低分阶段,因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学好.,【规律总结】