2016中考数学几何综合题专题复习学案

1 / 27 2016 中考数学几何综合题专题复习学案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 几何综合题 【题型特征】以几何知识为主体的综合题 ,简称几何综合题 ,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系 ,以及特定图形的判定和性质 .一般以相似为中心 ,以圆为重点 ,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用 . 【解题策略】解答几何综合题应注意 :(1)注意观察、分析图形 ,把复杂的图形分解成几个基本图形 ,通过添加辅助线补全或构造基本图形 .(2)掌握常规的证题方法和思路 ;(3)运用转化的思想解决几何证明问题 ,运用方程的思想解决几何计算问题 .还要灵活运用其他的数学思想方法等 . 【小结】几何计算型综合问题 ,是以计算为主线综合各种几何知识的问题 .这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活 .解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系 ,在复杂的 “ 背景 ” 下辨认、分解基本图形 ,或通过添加辅助线补全或构造基本图形 ,并善于联想所学知识 ,突破思维障碍 ,合理运用方程等各种数学思想才能解决 . 【提醒】几何论证型综合题以知识上的 综合性引人注目 .值2 / 27 得一提的是 ,在近年各地的中考试题中 ,几何论证型综合题的难度普遍下降 ,出现了一大批探索性试题 ,根据新课标的要求 ,减少几何中推理论证的难度 ,加强探索性训练 ,将成为几何论证型综合题命题的新趋势 . 为了复习方便 ,我们将几何综合题分为 :以三角形为背景的综合题 ;以四边形为背景的综合题 ;以圆为背景的综合题 . 类型一 以三角形为背景的综合题 典例 1 (XX江苏泰州 )如图 ,BD是 ABc 的角平分线 ,点 E,F分别在 Bc,AB 上 ,且 DEAB, EFAc. (1)求证 :BE=AF; (2)若 ABc=60,BD=6, 求四边形 ADEF的面积 . 【技法梳理】 (1)由 DEAB,EFAc, 可证得四边形 ADEF 是平行四边形 ,ABD=BDE, 又由 BD是 ABc 的角平分线 ,易得BDE 是等腰三角形 ,即可证得结论 ; (2)首先过点 D 作 DGAB 于点 G,过点 E 作 EHBD 于点 H,易求得 DG 与 DE的长 ,继而求得答案 . 【解析】 (1)DEAB,EFAc, 四边形 ADEF是平行四边形 ,ABD=BDE. AF=DE. 3 / 27 BD 是 ABc的角平分线 , ABD=DBE. DBE=BDE. BE=DE. BE=AF. (2)过点 D 作 DGAB 于点 G,过点 E 作 EHBD 于点 H, ABc=60,BD 是 ABc 的平分线 , ABD=EBD=30. DE=BE=2. 四边形 ADEF的面积为 DEDG=6. 举一反三 1.(XX 湖 北 武 汉 ) 如图 ,RtABc中 ,AcB=90,Ac=6cm,Bc=8cm, 动点 P从点 B出发 ,在 BA边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运 动 ,同时动点 Q 从点 c 出发 ,在 cB 边上以每秒 4cm 的速度向点 B 匀速运动 ,运动时间为 t 秒 (0t2),连接 PQ. (1)若 BPQ 与 ABc 相似 ,求 t 的值 ; (2)连接 AQ,cP,若 AQcP, 求 t 的值 ; (3)试证明 :PQ的中点在 ABc 的一条中位线上 . 4 / 27 (1) (2) (第 1 题 ) 【小结】此类题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识 .注意掌握辅助线的作法 ,注意掌握数形结合思想的应用 . 类型二 以 四边形为背景的综合题 典例 2 (XX安徽 )如图 (1),正六边形 ABcDEF的边长为 a,P是 Bc边上一动点 ,过 P作 PmAB 交 AF于 m,作 PNcD交 DE于点 N. (1)mPN= ; 求证 :Pm+PN=3a; (2)如图 (2),点 o 是 AD的中点 ,连接 om,oN,求证 :om=oN; (3)如图 (3),点 o 是 AD 的中点 ,oG 平分 moN, 判断四边形omGN是否为特殊四边形 ?并说明理由 . (1) 5 / 27 (2) (3) 【全解】 (1) 四边形 ABcDEF是正六边形 , A=B=c=D=E=F=120. PmAB,PNcD, BPm=60,NPc=60. mPN=180 -BPm -NPc =180 -60 -60=60. 故答案为 60. 如图 (1),作 AGmP 交 mP于点 G,BHmP 于点 H,cLPN 于点 L,DkPN 于点 k, (1) (2)如图 (2),连接 oE. (2) 四边形 ABcDEF是正六边形 ,ABmP,PNDc, Am=BP=EN. 又 mAo=NoE=60,oA=oE, 在 oNE 和 omA 中 , 6 / 27 omAoNE(SAS). om=oN. (3)如图 (3),连接 oE. (3) 由 (2)得 ,omAoNE, moA=EoN. EFAo,AFoE, 四边形 AoEF是平行四边形 . AFE=AoE=120. moN=120. GoN=60. GoN=60 -EoN,DoN=60 -EoN, GoE=DoN. oD=oE,oDN=o EG, 在 GoE 和 DoN 中 , GoENoD(ASA). oN=oG. 又 GoN=60, oNG 是等边三角形 . 7 / 27 oN=NG. om=oN,moG=60, moG 是等边三角形 . mG=Go=mo. mo=oN=NG=mG. 四边形 moNG是菱形 . 【技法梳理】 (1) 运用 mPN=180 -BPm -NPc 求解 ,作 AGmP 交 mP于点 G,BHmP 于点 H,cLPN 于点 L,DkPN于点 k,利用 mP+PN=mG+GH+HP+PL+Lk+kN 求解 ; (2)连接 oE,由 omAoNE 证明 ; (3)连接 oE,由 omAoNE, 再证出 GoENoD, 由 oNG是等边三角形和 moG 是等边三角形求出四边形 moNG是菱形 . 举一反三 2.(XX山东烟台 )在正方形 ABcD 中 ,动点 E,F 分别从D,c两点同时出发 ,以相同的速度在直线 Dc,cB上移动 . (1)如图 (1),当点 E 自 D 向 c,点 F 自 c 向 B 移动时 ,连接 AE和 DF交于点 P,请你写出 AE与 DF的位置关系 ,并说明理由 . (2)如图 (2),当 E,F分别移动到边 Dc,cB的延 长线上时 ,连接AE 和 DF,(1)中的结论还成立吗 ?(请你直接回答 “ 是 ” 或“ 否 ”, 不需证明 ) (3)如图 (3),当 E,F分别在边 cD,Bc的延长线上移动时 ,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗 ?请说明理由 . 8 / 27 (4)如图 (4),当 E,F分别在边 Dc,cB上移动时 ,连接 AE和 DF交于点 P,由于点 E,F的移动 ,使得点 P也随之运动 ,请你画出点 P 运动路径的草图 .若 AD=2,试求出线段 cP的最小值 . (1) 【小结】主要考查了四边形的综合题 ,解题的关键是恰当的作出辅助线 ,根据 三角形全等找出相等的线段 . 类型三 以圆为背景的综合题 典例 3 (XX江苏苏州 )如图 ,已知 l1l2,o 与l1,l2 都相切 ,o 的半径为 2cm,矩形 ABcD 的边 AD,AB 分别与 l1,l2重合 ,AB=4cm,AD=4cm,若 o 与矩形 ABcD沿 l1同时向右移动 ,o 的移动速度为 3cm,矩形 ABcD 的移动速度为4cm/s,设移动时间为 t(s), (1)如图 ,连接 oA,Ac,则 oAc 的度数为 ; (2)如图 ,两个图形移动一段时间后 ,o 到达 o1 的位置 ,矩形 ABcD到达 A1B1c1D1的位置 ,此时点 o1,A1,c1恰好在同一直线上 ,求圆心 o 移动的距离 (即 oo1的长 ); (3)在移动过程中 ,圆心 o 到矩形对角线 Ac 所在直线的距离在不断变化 ,设该距离为 d(cm),当 d2 时 ,求 t 的取值范围 (解答时可以利用备用图画出相关示意图 ). 9 / 27 【全解】 (1)l1l2,o 与 l1,l2都相切 , oAD=45. AB=4cm,AD=4cm, cD=4cm,AD=4cm. DAc=60. oAc 的度数为 oAD+DAc=105. (2)如图位 置二 ,当 o1,A1,c1 恰好在同一直线上时 ,设 o1与 l1的切点为点 E, 连接 o1E,可得 o1E=2,o1El1, 在 RtA1D1c1 中 , A1D1=4,c1D1=4, tanc1A1D1=. c1A1D1=60. oo1=3t=2+6. (3) 当直线 Ac与 o 第一次相切时 ,设移动时间为 t1, 如图 ,此时 o 移动到 o2 的位置 ,矩形 ABcD 移动到A2B2c2D2 的位置 , 10 / 27 设 o2 与直线 l1,A2c2 分 别 相 切 于 点 F,G, 连接o2F,o2G,o2A2, o2Fl1 ,o2GA2G2. 由 (2)得 ,c2A2D2=60, GA2F=120. o2A2F=60. 在 RtA2o2F 中 ,o2F=2, 当直线 Ac与 o 第二次相切时 ,设移动时间为 t2, 记第一次相切时为位置一 ,点 o1,A1,c1 共线时为位置二 ,第二次相切时为位置三 , 由题意知 ,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等 , 【提醒】本题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识 ,利用分类讨论以及数形结合 t 的值是解题关键 . 【技法梳理】 (1)利用切线的性质以 及锐角三角函数关系分别求出 oAD=45,DAc=60, 进而得出答案 ; (2)首先得出 ,c1A1D1=60, 再利用 A1E=AA1-oo1-2=t-2,求出 t 的值 ,进而得出 oo1=3t得出答案即可 ; (3) 当直线 Ac与 o 第一次相切时 ,设移动时间为 t1, 当直线 Ac 与 o 第二次相切时 ,设移动时间为 t2,分别求出即11 / 27 可 . 举一反三 3.(XX浙江宁波 )木匠黄师傅用长 AB=3,宽 Bc=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面 ,他设计了四种方案 : 方案一 :直接锯一个半径最大的圆 ; 方 案二 :圆心 o1,o2 分别在 cD,AB 上 ,半径分别是 o1c,o2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆 ; 方案三 :沿对角线 Ac 将矩形锯成两个三角形 ,适当平移三角形并锯一个最大的圆 ; 方案四 :锯一块小矩形 BcEF拼到矩形 AFED下面 ,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆 . (1)写出方案一中圆的半径 . (2)通过计算说明方案二和方案三中 ,哪个圆的半径较大 ? (3)在方案四中 ,设 cE=x(0x1),圆的半径为 y. 求 y 关于 x 的函数表达式 ; 当 x 取何值时圆的半径最大 ,最大半径为多少 ?并说明四种 方案中哪一个圆形桌面的半径最大 . 【小结】本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容 ,题目虽看似新颖不易找到思路 ,但仔细观察每一小问都是常规的基础考点 ,所以总体来说是一道质量很高的题目 ,值得认真练习 . 12 / 27 类型一 2.(XX浙江嘉兴 )如图 ,点 c 在以 AB 为直径的半圆上 ,AB=8,cBA=30, 点 D 在线段 AB 上运动 ,点 E 与点 D 关于 Ac对称 ,DFDE 于点 D,并交 Ec的延长线于点 F.下列结论 : cE=cF; 线段 EF的最小值为 2; 当 AD=2时 ,EF与半圆相切 ; 若点 F 恰好落在上 ,则 AD=2; 当点 D 从点 A 运动到点 B 时 ,线段 EF扫过的面积是 16. 其中正确结论的序号是 . (第 2 题 ) 类型二 3.(XX广东珠海 )如图 ,在正方形 ABcD 中 ,点 E 在边AD上 ,点 F 在边 Bc 的延长线上 ,连接 EF与边 cD相交于点 G,连接 BE与对角线 Ac相交于点 H,AE=cF,BE=EG. (1)求证 :EFAc; (2)求 BEF 大小 ; 13 / 27 . (第 3 题 ) 4.(XX浙江温州 )如图 ,在平面直角坐标系中 ,点 A,B的坐标分别为 (-3,0),(0,6).动点 P从点 o出发 ,沿 x轴正方向以每秒 1个单位的速度运动 ,同时动点 c 从 B 出发 ,沿射线Bo 方向以每秒 2 个单位的速度运动 ,以 cP,co 为邻边构造PcoD,在线段 oP延长线上取点 E,使 PE=Ao,设点 P运动的时间为 t 秒 . (1)当点 c运动到线段 oB的中点时 ,求 t的值及点 E的坐标 . (2)当点 c在线段 oB上时 ,求证 :四边形 ADEc为平行四边形 . (3)在线段 PE 上取点 F,使 PF=1,过点 F 作 mNPE, 截取Fm=2,FN=1,且点 m,N 分别在一 ,四象限 ,在运动过程中PcoD 的面积为 S. 当点 m,N中有一点落在四边形 ADEc的边上时 ,求出所有满足条件的 t 的值 ; 若点 m,N中恰好只有一个点落在四边形 ADEc的内部 (不包括边界 )时 ,直接写出 S 的取值范围 . (第 4 题 ) 14 / 27 类型三 5.(XX湖南怀化 )如图 ,E是长方形 ABcD的边 AB上的点 ,EFDE 交 Bc于点 F. (1)求证 :ADEBEF; (2)设 H是 ED上一点 ,以 EH为直径作 o,DF 与 o 相切于点G,若 DH=oH=3,求图中阴影部分的面积 (结果保留到小数点后面第一位 ,). (第 5 题 ) 6.(XX黑龙江大庆 )如图 (1),已知等腰梯形 ABcD 的周长为 48,面积为 S,ABcD,ADc=60, 设 AB=3x. (1)用 x 表示 AD和 cD; (2)用 x 表示 S,并求 S 的最大值 ; (3)如图 (2),当 S 取最大值时 ,等腰梯形 ABcD 的四个顶点都在 o 上 ,点 E和点 F分别是 AB和 cD的中点 ,求 o 的半径 R的值 . (1) (2) 15 / 27 (第 6 题 ) 参考答案 【真题精讲】 (2)如图 (1),过 P 作 PmBc 于点 m,AQ,cP 交于点 N,则有PB=5t,Pm=3t,mc=8-4t, (第 1 题 (1) NAc+NcA=90,Pcm+NcA=90, NAc=Pcm 且 AcQ=Pmc=90. AcQcmP. (3)如图 (2),仍有 PmBc 于点 m,PQ 的中点设为点 D,再作PEAc 于点 E,DFAc 于点 F, (第 1 题 (2) AcB=90, DF 为梯形 PEcQ的中位线 . Bc=8, 过 Bc的中点 R 作直线平行于 Ac, Rc=DF=4 成立 . 16 / 27 D 在过 R 的中位线上 . PQ 的中点在 ABc 的一条中位线上 . 2.(1)AE=DF,AEDF. 理由 : 四边形 ABcD是正方形 , AD=Dc,ADc=c=90. DE=cF, ADEDcF. AE=DF,DAE=cDF. 由于 cDF+ADF=90. DAE+ADF=90. AEDF; (2)是 . (3)成立 .理由如下 : 由 (1)同理可证 AE=DF,DAE=cDF, 如图 (1),延长 FD交 AE于点 G, (第 2 题 (1) 则 cDF+ADG=90, ADG+DAE=90. AEDF; (4)如图 (2): 17 / 27 (第 2 题 (2) 由于点 P 在运动中保持 APD=90, 点 P 的路径是一段以 AD为直径的弧 , 设 AD的中点为 o,连接 oc交弧于点 P,此时 cP的长度最小 , 在 RtoDc 中 ,oc=, cP=oc -oP=-1. 3.(1)方案一中的最大半径为 1. 分析如下 : 因为长方形的长宽分别为 3,2,那么直接取圆直径最大为 2,则半径最大为 1. (2)如图 (1),方案二中连接 o1,o2,过 o1 作 o1EAB 于 E,方案三中 ,过点 o分别作 AB,BF的垂线 ,交于 m,N,此时 m,N恰为o 与 AB,BF的切点 . 方案二 方案三 (第 3 题 ) 方案二 :设半径为 r. 在 Rto1o2E 中 , o1o2=2r,o1E=Bc=2,o2E=AB -Ao1-co2=3-2r, (2r)2=22+(3 -2r)2, 18 / 27 比较知 ,方案三半径较大 . (3)Ec=x, 新拼图形水平方向跨度为 3-x,竖直方向跨度为 2+x. 类似题 (1),所截出圆的直径最大为 3-x 或 2+x较小的 . 方案四时可取的圆桌面积最大 . 【课后精练】 1. 解析 :AB=Ac, B=c. ADE=B, ADE=c. ADEAcD. 故 结论正确 . 故 正确 . 易证得 cDEBAD, 由 可知 Bc=16, 设 BD=y,cE=x, 整理 ,得 y2-16y+64=64-10x, 即 (y-8)2=64-10x, 0y8,0x 故 正确 . 19 / 27 2. 解析 : 连接 cD,如图 (1)所示 . (第 2 题 (1) 点 E 与点 D 关于 Ac对称 , cE=cD. E=cDE. DFDE, EDF=90. E+F=90,cDE+cDF=90. F=cDF. cD=cF. cE=cD=cF. 结论 “cE=cF” 正确 . 当 cDAB 时 ,如图 (2)所示 . (第 2 题 (2) AB 是半圆的直径 , AcB=90. AB=8,cBA=30, cAB=60,Ac=4,Bc=4. cDAB,cBA=30, 20 / 27 根据 “ 点到直线之间 ,垂线段最短 ” 可得 : 点 D 在线段 AB 上运动时 ,cD的最小值为 2. cE=cD=cF, EF=2cD. 线段 EF的最小值为 4. 结论 “ 线段 EF的最小值为 2” 错误 . 当 AD=2时 ,连接 oc,如图 (3)所示 . (第 2 题 (3) oA=oc,cAB=60, oAc 是等边三角形 . cA=co,Aco=60. Ao=4,AD=2, Do=2. AD=Do. AcD=ocD=30. 点 E 与点 D 关于 Ac对称 , EcA=DcA. EcA=30. Eco=90. ocEF. EF 经过半径 oc的外端 ,且 ocEF, 21 / 27 EF 与半圆相切 . 结论 “EF 与半圆相切 ” 正确 . 当点 F 恰好落在上时 ,连接 FB,AF,如图 (4)所示 . (第 2 题 (4) 点 E 与点 D 关于 Ac对称 , EDAc. AGD=90. AGD=AcB. EDBc. FHcFDE. DB=4. AD=AB -DB=4. 结论 “AD=2” 错误 . 点 D 与点 E 关于 Ac对称 , 点 D 与点 F 关于 Bc对称 , 当点 D 从点 A 运动到点 B 时 , 点 E 的运动路径 Am与 AB关于 Ac 对称 , 点 F 的运动路径 NB与 AB关于 Bc对称 . EF 扫过的图形就是图 (5)中阴影部分 . 22 / 27 (第 2 题 (5) EF 扫过的面积为 16. 结论 “EF 扫过的面积为 16” 正确 . 3.(1) 四边形 ABcD 是正方形 , ADBF. AE=cF, 四边形 AcFE是平行四边形 . EFAc. (2)连接 BG, (第 3 题 ) EFAc, F=AcB=45. GcF=90, cGF=F=45. cG=cF. AE=cF, AE=cG. 在 BAE 与 BcG 中 , BAEBcG(SAS). 23 / 27 BE=BG. BE=EG, BEG 是等边三角形 . BEF=60. (3)BAEBcG, ABE=cBG. BA c=F=45, AHBFGB. (2)如图 (1),连接 cD交 oP于点 G, (第 4 题 (1) 在 PcoD 中 ,cG=DG,oG=PG, Ao=Po, AG=EG. 四边形 ADEc是平行四边形 . (3)() 当点 c 在 Bo上时 , 第一种情况 :如图 (2),当点 m 在 cE边上时 , (第 4 题 (2)