高三数学一轮复习《坐标系与参数方程第二节参数方程》理.ppt

理数 课标版,第二节 参数方程,1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C上 任意一点 P的坐标x,y 都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值,由 所 确定的点P(x,y)都在 曲线C上 ,那么 叫做这条曲线的参数,教材研读,方程,变数t叫做参变数,简称 参数 . 注意:相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程 .,2.直线、圆、圆锥曲线的参数方程 (1)过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程为 (t为 参数),设M是直线l上任一点,则相应的参数t的绝对值等于M到M0的距离. (2)圆心在点M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为 (为 参数). (3)圆锥曲线的参数方程: 椭圆 + =1(ab0)的参数方程为 (为参数).,双曲线 - =1(a0,b0)的参数方程为 (为参数). 抛物线y2=2px的参数方程为 (t为参数).,1.曲线 (为参数)的对称中心 ( ) A.在直线y=2x上 B.在直线y=-2x上 C.在直线y=x-1上 D.在直线y=x+1上 答案 B 曲线 (为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该 曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线y=-2x上,故选B.,2.设曲线C的参数方程为 (为参数),直线l的方程为x-3y+2= 0,则曲线C上到直线l的距离为 的点的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 曲线C的参数方程为 (为参数),(x-2)2+(y+ 1)2=9, 圆心(2,-1)到直线l的距离d= = = . 又 3,有2个点.,3.椭圆C的参数方程为 (为参数),过左焦点F1的直线l与C相交 于A,B,则|AB|min= . 答案 解析 由 (为参数),消去参数得 + =1, 当ABx轴时,|AB|有最小值. |AB|min=2 = .,4.已知两曲线的参数方程分别为 (0)和 (tR), 则它们交点的坐标为 . 答案 1, 解析 消去参数得普通方程为 +y2=1(0y1),表示椭圆的一部分. 消去参数t得普通方程为y2= x,表示抛物线,联立两方程,可知两曲线有 一个交点,解得交点坐标为 1, .,5.(2015湖北,16,5分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin -3cos )=0,曲线C的 参数方程为 (t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|= . 答案 2 解析 直线l的直角坐标方程为y-3x=0,曲线C的普通方程为y2-x2=4. 由 得x2= ,即x= , 则|AB|= |xA-xB|= =2 .,考点一 参数方程与普通方程的互化 典例1 (1)在平面直角坐标系xOy中,若直线l: (t为参数)过椭圆 C: (为参数)的右顶点,求常数a的值; (2)求圆x2+y2-x=0的参数方程.,考点突破,解析 (1)直线l的普通方程为x-y-a=0,椭圆C的普通方程为 + =1, 椭圆C的右顶点坐标为(3,0), 直线l过(3,0),3-a=0,a=3. (2)圆的圆心为 ,半径为 ,所求圆的参数方程为 (为参数).,方法技巧 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入 消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外,消参时要 注意参数的范围. 普通方程化为参数方程时,先分清普通方程所表示的曲线类型,结合常 见曲线的参数方程直接写出.,1-1 将下列参数方程化为普通方程. (1) (为参数); (2) (t为参数).,解析 (1)由(sin +cos )2=1+sin 2=2-(1-sin 2), 得y2=2-x.又x=1-sin 20,2, 故所求的普通方程为y2=2-x,x0,2. (2)由参数方程得et=x+y,e-t=x-y, (x+y)(x-y)=1,即x2-y2=1(x1).,考点二 参数方程的应用 典例2 (2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数 方程为 (为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极 轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin =2 . (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.,解析 (1)C1的普通方程为 +y2=1. C2的直角坐标方程为x+y-4=0. (2)由题意,可设点P的直角坐标为( cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ |的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()= =,. 当且仅当=2k+ (kZ)时,d()取得最小值,最小值为 ,此时P的直角 坐标为 .,方法技巧 在求解与参数方程有关的问题时,一般是将参数方程转化为我们所熟悉 的形式,即转化为普通方程,从而利用普通方程求解. 2-1 已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参 数),直线l经过定点P(3,5),倾斜角为 . (1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程; (2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|PA|PB|的值.,解析 (1)曲线C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=16, 直线l的参数方程为 (t为参数). (2)将直线l的参数方程代入圆C的标准方程可得t2+(2+3 )t-3=0, 设t1,t2是方程的两个根, 则t1t2=-3, 所以|PA|PB|=|t1|t2|=|t1t2|=3.,考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用 典例3 (2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t 为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系 中,曲线C2:=2sin ,C3:=2 cos . (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.,解析 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程 为x2+y2-2 x=0. 联立 解得 或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)或 . (2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0. 因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2 cos ,). 所以|AB|=|2sin -2 cos |=4 . 当= 时,|AB|取得最大值,最大值为4.,方法技巧 求解涉及参数方程和极坐标方程的综合题的一般方法是分别化为普通 方程和直角坐标方程.转化后可使问题变得更加直观,这体现了化归思 想的具体运用. 3-1 (2016安徽十校3月联考)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方 程是 (t是参数,m是常数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=asin ,点M的极坐标为 ,且点M在曲线C上. (1)求a的值及曲线C的直角坐标方程; (2)若点M关于直线l的对称点N在曲线C上,求|MN|的长.,解析 (1)将点M的极坐标 代入方程=asin ,得4=asin , a=4. 由=4sin 得=2sin +2 cos , 2=2sin +2 cos ,将 代入化简得x2+y2-2 x-2y=0,曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2 x-2y=0.,(2)由x2+y2-2 x-2y=0配方得(