2016八年级数学上册第一章知识点汇总鲁教版

1 / 15 2016八年级数学上册第一章知识点汇总鲁教版 m 2016 八年级数学上册第一章知识点汇总鲁教版 分式知识点 1.分式的定义：如果 A、 B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子叫做分式。 2.分式有意义、无意义的条件： 分式有意义的条件：分式的分母不等于 0;分式无意义的条件：分式的分母等于 0。 3.分式值为零的条件： 分式 AB=0的条件是 A=0，且 B0. (首先求出使分子为 0 的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为 0.当分母的值不为 0 时，就是所要求的字母的值。 ) 4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘 (或除以 )一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 用式子表示为 (其中 A、 B、 c 是整式 )， 5.分式的通分： 和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母2 / 15 的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点： (1)“ 各分母所有因式的最高次幂 ” 是指凡出现的字母 (或含字母的式子 )为底数的幂选取指数最大的 ; (2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数 ; (3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。 6.分式的约分： 和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。 (1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分 ;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母 分解因式，然后再约分 ; (2)找公因式的方法： 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式 ; 3 / 15 当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。 7.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用式子表示是： 分式的乘除混合运算统一为乘法运算。 分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序 ，有括号先算括号里面的 ; 分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号 ; 分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式 (分式的分子、分母没有公因式 )或整式的形式。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。 用式子表示是： (其中 n 是正整数 ) 分式的加减法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用式子表示为： abcb=acb 异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。 用式子表示为： abcd=adbdbcbd=adbcb d 4 / 15 注意： (1)“ 把分子相加减 ” 是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略 ; (2)异分母分式相加减， “ 先通分 ” 是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性 ; (3)运算时顺序合理、步骤清晰 ; (4)运算结果必须化成最简分式或整式。 分式的混合运算 : 分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式 或最简分式。 8.整数指数幂： (1) (2)a-n=1an(n 是正整数， a0) ， (3)同底数的幂的乘法： ; (4)幂的乘方： ; (5)积的乘方： ; (6)同底数的幂的除法： (a0); (7)商的乘方： ;(b0) 9.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式5 / 15 方程。 分式方程的解法： (1)解分式方程的基本思想方法是：分式方程 - 整式方程 . (2)解分式方程的一般方法和步骤： 去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的 基本性质 ; 解这个整式方程 ; 检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于 0 的解是原方程的解，使最简公分母等于 0 的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。 注意： 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项 ; 解分式方程必须要验根，千万不要忘了 ! 列分式方程解应用题的步骤是： (1)审：审清题意 ;(2)找 :找出相等关系 ;(3)设：设未知数 ;(4)列：列出分式方程 ;(5)解：解这个分式方程 ;(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意 ;(7)答：写出答案。 10.科学记数法：把一个数表示成的形式 (其中， n 是整数 )的记数方法叫做科学记数法 . 用科学记数法表示绝对值大于 1的数时，应当表示为 a10n6 / 15 的形式 ,其中 1 a 10,n 为原整数部分的位数减 1; 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数时 ,则可表示为a10 -n 的形式，其中 n 为原数第 1 个不为 0 的数字前面所有 0 的个数 (包括小数点前面的那个 0)， 1 a 10. 一、分式的定义： 一般地，如果 A， B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 二、与分式有 关的条件 分式有意义：分母不为 0(B?0) 分式无意义：分母为 0(B?0) 分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0(?A叫做分式， A 为分子， B 为分母。 B?A?0) ?B?0 ?A?0?A?0 或 ?)B?0B?0? ?A?0?A?0 或 ?) ?B?0?B?0 分式值为正或大于 0：分子分母同号 (? 分式值为负或小于 0：分子分母异号 (? 分式值为 1：分子分母值相等 (A=B) 分式值为 -1：分子分母值互为相反数 (A+B=0) 三、分式的基本性质 (1)分式的分子和分母同乘 (或除以 )一个不等于 0 的整式，7 / 15 分式的值不变。字母表示： AA?cAA?c?， ?，其中 A、 B、 c 是整式， c?0。 BB?cBB?c (2)分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即： A?A?AA?B?BB?B 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 c?0这个限制条件和隐含条件 B?0。 四、分式的约分 1.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2.步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3.两种情形： 分式的分子与分 母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约 去分子分母相同因式的最低次幂。 分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4.最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数 . 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式 . 3)如果分子、分母是多项式 ,则应先把分子、分母分解因式 ,8 / 15 然后判断公因式 . 五、分式的通分 1.定义：把几个异分母的分式分别化成与 原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 (依据：分式的基本性质 !) 2.最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 通分时，最简公分母的确定方法： 1.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数 . 2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式 . 3.如果分母是多项式 ,则应先把每个分母分解因式 ,然后判断最简公分母 . 3.“ 两大类三类型 ” 通分 “ 两大类 ” 指的是：一是分母是单项式 ;二是分母是多项式 “ 两大类 ” 下的 “ 三类型 ” ： “ 二、三 ” 型， “ 二，四 ” 型，“ 四、六 ” 型 1)“ 二、三 ” 型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是他们的乘积 ; 2)“ 二，四 ” 型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母 ; 9 / 15 3)“ 四、六 ” 型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母既要有独特的因式， 也应包括相同的因式 4.通分的方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是分母单项式，那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分 ;如果分母是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。 六、分式的四则运算与分式的乘方 分式的乘除法法则： aca?c?bdb?d acada?d 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为： ?bdbcb?c 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： an?a? 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为： ?nb?b? 分式的加减法则： 1)同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为： naba?b?ccc acad?bc?bdbd2)异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为： 3)两种类型：一是分式间的加减 ;二是整式与分式的加减 (整式的分母为 1) 10 / 15 注意：整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。 注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对 有无错误或分析出错的原因。 加减后得 出的结果一定要化成最简分式 (或整式 )。 七、整数指数幂 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指 数幂一样适用。即： am?an?am?nam n?nn?amn?ab?anbnam?an?am?n(a?0)1an?a?n0?na?na?0)a?1(a?0)(任何不等于零的数的零次幂都等于 1)ab?b? 其中 m， n 均为整数。 八、分式方程 1.分式方程：指含分式，且分母中含有未知数的方程 2.解分式方程的步骤： (1)能化简的先 化简 (2)去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 (产生11 / 15 增根的过程 ) (3)解整式方程，得到整式方程的解。 (4)检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根 ;如果最简公分母不为 0，则是原方程的解。 注意：产生增根的条件是 是得到的整式方程的解 ; 代入最简公分母后值为 0。 九、列分式方程 基本步骤：审，设，列，解，答 (跟一元一次不等式组的应用题解法一样 ) 审 仔细审题，找出等量关系。 设 合理设未知数。 列 根据等量 关系列出方程 (组 )。 解 解出方程 (组 )。注意检验 答 答题。 分数的加减法 1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形 .约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言 ;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来 . 2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变 . 12 / 15 3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备 . 4.通分的依据：分式的基本性质 . 5.通分的 关键：确定几个分式的公分母 . 通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 . 6.类比分数的通分得到分式的通分： 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分 . 7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。 8.异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减 . 9.同分母分式相加减，分母不变，只 须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号 . 10.对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为 1 的分式，以便通分 . 11.异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化 . 13 / 15 12.作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式 . .行程问题：基本公式：路程 =速度 ×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 . b.数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法 .c.工程问题基本公式： 工作量 =工时 ×工效 .d.顺水逆水问题 v 顺水 =v静水 +v水 .v逆水 =v静水 -v 水 .14植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形 : 株数 =段数 =全长 ÷株距全长 =株距 ×株数株距 =全长 ÷株数 全长 =株距 ×株数株距 =全长 ÷株数 15盈亏问题 (盈 +亏 )÷两次分配量之差 =参加分配的份数 (大盈 -小盈 )÷两次分配量之差 =参加分配的 份数 (大亏 -小亏 )÷两次分配量之差 =参加分配的份数 16相遇问题 相遇路程 =速度和 ×相遇时间 第 2 页共 2 页 如果在非封闭线路的两端都要植树 , 如果在非封闭线路的两端都不要植那 : 株数 =段数 +1=全长 ÷株距 -1 全长 =株距14 / 15 ×(株数 -1)株距 =全长 ÷(株数 -1)如果在非封闭线路的一端要植树 ,另一端不要植树 ,那就这样 : 树 ,那么 : 株数 =段数 -1=全长 ÷株距 -1 全长 =株距×(株数 +1)株距 =全长