高三数学一轮复习《基本不等式及其应用》理.ppt

理数 课标版,第四节 基本不等式及其应用,1.基本不等式 (1)基本不等式 成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时等号成立. (3)其中 称为正数a,b的算术平均数, 称为正数a,b 的几何平均数.,教材研读,2.几个重要的不等式 (1)a2+b2 2ab (a,bR),当且仅当a=b时取等号. (2)ab (a,bR),当且仅当a=b时取等号. (3) (a,bR),当且仅当a=b时取等号. (4) + 2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.,3.利用基本不等式求最值 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=y 时,x+y有最 小 值,是 2 .(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当 x=y 时,xy有最 大 值,是 .(简记:和定积最大),判断下面结论是否正确.(请在括号中打“”或“”) (1)两个不等式a2+b22ab与 成立的条件是相同的. () (2)(a+b)24ab(a,bR). () (3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. () (4)函数y=x+ 的最小值是2. () (5)x0且y0是 + 2的充分不必要条件. (),1.若a、bR,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是 ( ) A.a2+b22ab B.a+b2 C. + D. + 2 答案 D 对A:当a=b=1时,满足ab0,但a2+b2=2ab,所以A错;对B、C:当 a=b=-1时,满足ab0,但a+b0, 0,显然B、C不对; 对D:当ab0时, + 2 =2 当且仅当 = 时等号成立 ,故选D.,2.已知f(x)=x+ -2(x0),则f(x)有 ( ) A.最大值0 B.最小值0 C.最大值-4 D.最小值-4,答案 C x0,f(x)=- -2-2-2=-4,当且仅当-x= ,即x= -1时取等号. f(x)有最大值-4.,3.若x0,y0且x+y= ,则xy的最大值为 ( ) A. B.2 C. D. 答案 D x0,y0, =x+y2 ,即 , xy . (xy)max= .,4.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 . 答案 2 解析 x2+2y22 =2 xy=2 , 当且仅当x= y时取“=”, x2+2y2的最小值为2 .,5.若利用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积 是 . 答案 25 m2 解析 设矩形场地的一边长为x m(0x10),则其邻边长为(10-x)m,面积 S=x(10-x) =25,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立,所以当矩 形场地的长与宽相等,即都为5 m时面积取到最大值,最大面积为25 m2.,考点一 利用基本不等式求最值 典例1 (1)已知a0,b0,且4a+b=1,求ab的最大值; (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值; (3)已知正数x,y满足x+2y=1,求 + 的最小值. 解析 (1)解法一:a0,b0,4a+b=1,1=4a+b2 =4 , 当且仅当4a=b= ,即a= ,b= 时,等号成立. ,ab .所以ab的最大值为 . 解法二:4a+b=1, ab= 4ab = ,考点突破,当且仅当4a=b= ,即a= ,b= (满足a0,b0)时,等号成立,所以ab的最大 值为 . (2)由x+3y=5xy(x0,y0), 得 + =5, 则3x+4y= (3x+4y) = = (13+12)=5.,当且仅当 = ,即x=2y时,“=”成立, 此时由 解得 (满足x0,y0). 故3x+4y的最小值为5. (3)因为正数x,y满足x+2y=1, 所以 + = (x+2y)=2+ + +2 =4+ + 4+2 =8, 当且仅当 = ,即x=2y时取等号.,所以 + 的最小值为8.,方法技巧 (1) 利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积 为定值,主要有两种思路:对条件使用基本不等式,建立相应的不等式 求解.对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过 添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还 有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.,1-1 (2017四川乐山一中月考)设0x ,则函数y=4x(3-2x)的最大值为 . 答案,解析 y=4x(3-2x)=22x(3-2x)2 = ,当且仅当2x=3-2x,即 x= 时,等号成立. ,函数y=4x(3-2x) 的最大值为 .,1-2 已知x ,则函数y=4x-2+ 的最大值为 . 答案 1,解析 x0, y=4x-2+ =- +3-2+3=1,当且仅当5-4x= ,即x=1时,等号成立, 故ymax=1.,1-3 设0x1,a,b为正常数,则 + 的最小值为 . 答案 (a+b)2 解析 + = x+(1-x)=a2+b2+ + a2+b2+ 2 =(a+b)2,当且仅当x= 时取等号, + 的最小值为(a+b)2.,考点二 基本不等式的实际应用 典例2 (1)(2014福建,13,4分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长 方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方 米10元,则该容器的最低总造价是 ( ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 (2)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距 离成反比,而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离成 正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元 和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千 米处.,答案 (1)C (2)5 解析 (1)设底面相邻两边的边长分别为x m,y m,总造价为T元,则xy1=4 xy=4. T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)80+202 =80+204=160(当且 仅当x=y时取等号). 故该容器的最低总造价是160元. (2)由已知可得y1= ,y2=0.8x,其中x(单位:千米)为仓库与车站之间的距 离,则费用之和y=y1+y2= +0.8x2 =8,当且仅当0.8x= ,即x=5 时,取等号.,易错警示 对于实际问题,在审题和建模时一定不可忽略对变量范围的准确挖掘, 一般地,每个表示实际意义的代数式必须取正值,由此可得变量的范围, 然后利用基本不等式求最值.,2-1 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公 园由形状为长方形的休闲区A1B1C1D1和人行道(阴影部分)组成.已知休 闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图 所示). (1)若设休闲区的长和宽的比 =x(x1),求公园ABCD所占面积S关于 x的函数S(x)的解析式; (2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?,解析 (1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米, 由a2x=4 000,得a= . 则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20) +160=80 +4 160(x1).,(2)80 +4 16080 2 +4 160=1 600+4 160= 5 760,当且仅当2 = ,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100. 所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别设计为 100米,40米.,考点三 含参问题 典例3 (1)已知不等式(x+y) 9对任意的正实数x,y恒成立,则正 实数a的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)已知正数a,b满足 + =1,若不等式a+b-x2+4x+18-m对任意实数x恒 成立,则实数m的取值范围是 ( ) A.3,+) B.(-,3 C.(-,6 D.6,+),当y= x时取等号,所以(x+y) 的最小值为( +1)2,于是( +1)2 9恒成立.所以a4,故选B. (2)因为a0,b0, + =1, 所以a+b=(a+b) =10+ + 10+2 =16(当且仅当a=4,b=12时取 等号), 由题意,得16-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立,又因为x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的 最小值为-6,所以-6-m,即m6.,答案 (1)B (2)D 解析 (1)(x+y) =1+a+ + 1+a+2 =( +1)2(x,y,a0),当且仅,易错警示 1.在应用基本不等式求最值时,要把握三个条件,即“一正各项都是 正数;二定和或积为定值;三相等等号能取得”,这三个条件缺 一不可.,2.若无明显“定值”,则常用配凑的方法,使和为定值或积为定值.当多 次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注 意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理 问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转 换是否有误的一种方法.,3-1 (2016福建四地六校联考)已知函数f(x)=x+ +2的值域为(-,0 4,+),则a的值是 ( ) A. B. C.1 D.2 答案 C 由题意可得a0,当x0时, f(x)=x+ +22 +2,当且仅当x = 时取等号;当x0时, f(x)=x+ +2-2 +2,当且仅当x=- 时取等 号.所以 解得