高三数学一轮复习《函数模型及应用》理.ppt

理数 课标版,第九节 函数模型及应用,1.几种常见的函数模型,教材研读,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大. () (2)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a0,b0,b1)增长速度越来,越快的形象比喻. () (3)幂函数增长比直线增长更快. (),1.如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的 速度注入其中,注满为止.用容器下面所对的图象表示该容器中水面的 高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水 面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出 来,中的增长应该是匀速的,故下面的图象不正确;中的增长速度是 越来越慢的,正确;中的增长速度是先快后慢再快,正确;中的增长速 度是先慢后快再慢,也正确,故只有是错误的.选A.,2.(2016山东济宁模拟)某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递 减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是 ( ) A.减少7.84% B.增加7.84% C.减少9.5% D.不增不减 答案 A 设某商品原来价格为a,依题意得:,a(1+0.2)2(1-0.2)2=a1.220.82=0.921 6a, (0.921 6-1)a=-0.078 4a, 所以四年后的价格与原来价格比较,减少7.84%.,3.(2016山东淄博模拟)某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行 程不超过100 km,票价是0.5元/km,如果超过100 km,超过100 km的部分 按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系 式是 . 答案 y= 解析 由题意可得y=,4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形 的面积最大,则隔墙的长度为 .,答案 3 解析 设隔墙的长度为x,矩形的面积为S, 则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18, 当x=3时,S取最大值.,考点一 一次函数与二次函数模型 典例1 牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际 蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增 长量y只与实际蓄养量x只和空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k0). (1)写出y关于x的函数关系式; (2)求羊群年增长量的最大值; (3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围. 解析 (1)根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率 为 ,故空闲率为1- ,由此可得y=kx (0xm).,考点突破,(2)对原二次函数配方, 得y=- (x2-mx)=- + .,故当x= 时,y取得最大值 . (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长 量的和小于最大蓄养量,所以00,所以0k2.,易错警示 一次函数与二次函数模型问题的3个注意点 (1)二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定 要注意函数的定义域,否则极易出错; (2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; (3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题. 变式1-1 若本例牧场中羊群的最大蓄养量为10 000只,实际蓄养量为 8 000只,比例系数k=1,则此时的年增长量为多少? 解析 由例题知y=kx (0xm),将m=10 000,x=8 000,k=1代入计算 可得y=18 000 =1 600.故此时羊群的年增长量为1 600只.,1-2 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进 行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元) 与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y= x2-200x+80 000, 且每处理一吨二氧化碳得到价值为100元的可利用化工产品.该单位每 月能否获利?如果能获利,求出每月最大利润;如果不能获利,则需要国家 每月至少补贴多少元才能使该单位不亏损? 解析 设获利(或补贴)的钱数为S元, 则S=100x-y=100x- =- x2+300x-80 000,=- (x-300)2-35 000, 因为400x600, 所以当x=400时,S有最大值-40 000. 故该单位不能获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能使该单位不亏 损.,考点二 对勾函数模型 典例2 (2016山东泰安模拟)某养殖场需定期购买饲料,已知该场每天 需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用 平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.求该场多少天购 买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 解析 设该场x(xN*)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y元.,因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.03=6(元),所以x天 饲料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+6=(3x2-3x)元.,从而有y= (3x2-3x+300)+2001.8= +3x+357417,当且仅当 =3x, 即x=10时,y有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的 总费用最少.,方法技巧 应用对勾函数模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= “相加”而 成的. (2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+ 的模型,有时则是将所 列函数关系式转化为含“ax+ ”的形式. (3)利用模型f(x)=ax+ 求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最 值时的条件.,2-1 (2016四川绵阳模拟)利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之 间,年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y = -30x+4 000,则每吨平均成本最低时的年产量为 ( ) A.240吨 B.200吨 C.180吨 D.160吨 答案 B 依题意,得每吨平均成本为 = + -30(x0),则 2 -30=10, 当且仅当 = ,即x=200时取等号, 因此,当每吨平均成本最低时,年产量为200吨.,考点三 指数函数与对数函数模型 典例3 (1)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司20 15年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上 一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份 是 (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)( ) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 (2)(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位: )满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该 食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食 品在33 的保鲜时间是 小时.,答案 (1)B (2)24 解析 (1)设x年后研发资金超过200万元,则130(1+12%)x2001.12x xlg 1.12lg 0.05x0.19x3.8,故该公司全年投入的研发资金 开始超过200万元的年份是2019年. (2)依题意有192=eb,48=e22k+b=e22keb, 所以e22k= = = ,所以e11k= 或- (舍去), 于是该食品在33 的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3eb= 192=24(小时).,规律总结 应用指数函数模型的关注点 (1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题 中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模 型来解决. (2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断,先设定模型,再将 已知的有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.,3-1 (2016广东湛江模拟)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一 个细微的小孔慢慢地漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)