数学新学案同步课件选修北师大版：空间向量与立体几何章末复习.ppt

章末复习,第二章 空间向量与立体几何,学习目标 1.梳理本章知识，构建知识网络. 2.巩固空间向量的有关知识. 3.会用向量法解决立体几何问题.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.空间中点、线、面位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则,a,a0,kv，kR,ab,ab0,v0,2.用向量法解决立体几何问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论.,关键点如下： (1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程. (2)点的坐标，向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标，直线的方向向量，平面的法向量，这是最核心的问题. (3)几何问题与向量问题的转化.平行，垂直，夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.,思考辨析 判断正误 1.向量a，b的夹角a，b与它们所在直线所成的角相等.( ),3.若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.( ),题型探究,类型一 空间向量的概念及运算,例1 (1)给出下列命题： 向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量，一定是共线向量； 有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为 A.2 B.3 C.4 D.1,答案,解析,解析 为假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的； 为真命题； 为假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反； 为假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.,(2)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2. 给出以下结论：,答案,解析,其中正确结论的序号是_.,反思与感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.,跟踪训练1 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.,解答,a2b2c22(abbcca),解答,b2a2acbc1，,类型二 空间向量法证明平行与垂直,例2 已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在DB，D1C上，且 DED1F,证明,因此EF平面BB1C1C.,反思与感悟 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要转化为其坐标运算，再借助于坐标的有关性质求解(证).,跟踪训练2 如图所示，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAAB 证明：平面PQC平面DCQ.,证明,证明 如图所示，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.,又DQDCD，DQ，DC平面DCQ， 故PQ平面DCQ，又PQ平面PQC， 平面PQC平面DCQ.,类型三 空间向量法求空间角,例3 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，P是AA1的中点. (1)求平面PBC1将三棱柱分成的两部分的体积之比；,解答,解 以AB的中点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设三棱柱的底面边长为a，高为b，,因为AB1BC1，,则平面PBC1分三棱柱另一部分几何体的体积为 V ,所以平面PBC1将三棱柱分成两部分的体积之比为11.,所以 ,(2)求平面PBC1与平面ABC夹角的正切值.,解答,取平面ABC的法向量为n2(0,0,1).,反思与感悟 利用坐标法求平面间的夹角的余弦值的步骤,设n1，n2分别是平面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图.用坐标法的解题步骤如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系. (2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.,跟踪训练3 如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC2，E，F分别在AC和AB上，且EFCB.将它沿EF折起，且平面AEF平面EFBC，且四棱锥AEFBC的体积为2.,(1)求EF的长；,解答,解 因为EFCB，ACB90， 所以CEEF，AEEF. 又平面AEF平面EFBC， 平面AEF平面EFBCEF，AEEF， AE平面AEF， 所以AE平面EFBC. 设EFx，由于EFBC，AC4，BC2，在图1中，,(2)当EF的长度为1时，求直线AC与平面ABF夹角的正弦值.,解答,解 以E为坐标原点，EF，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz， 因为EF1，则A(0,0,2)， B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(1,0,0).,设平面ABF的法向量n(x，y，z)，,令z1，则x2，y1，,所以n(2，1,1)，设直线AC与平面ABF的夹角为，,达标检测,答案,1.已知空间向量a，b，c两两夹角为60，其模都为1，则|ab2c|等于,1,2,3,4,5,解析,解析 |ab2c|2 |a|2|b|24|c|22ab4ac4bc 1212412211cos 60411cos 60411 cos 605，,答案,1,2,3,4,5,2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为,解析,1,2,3,4,5,解析 不妨设CACC12CB2， 则A(2,0,0)，B(0,0,1)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，,1,2,3,4,5,3.已知在三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC夹角的正弦值为,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 如图，以A为坐标原点，分别以AB，AS所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，易知S(0,0,3)，,设平面SBC的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,所以当为直线AB与平面SBC的夹角时，,答案,解析,1,2,3,4,5,4.已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，其中tR，则|ba|的最小值为 _.,解析 ba(1t,2t1,0)， |ba|2(1t)2(2t1)2025t22t2,1,2,3,4,5,5.已知点B(1,0,0)，C(1,1,1)，D(0,1,1)，若点E的坐标为(2,1，m)，且点B，C，D，E四点共面，实数m的值为_.,1,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 B(1,0,0)，C(1,1,1)，D(