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用好圆的知识优化解题过程 安徽省枞阳县宏实中学(246700)吴利华江保兵 数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法,用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。而圆的应用一直又是数形结合中的热门话题，本文结合笔者的解题经历，谈谈用圆的相关知识解决数学难题的方法，供大家参考。 1.发现隐藏的圆 例1（xx年浙江高中数学夏令营测试题）已知ti(i=1,2,3)为实数，则三条直线xcosti+ysinti=1围成的正三角形面积的最大值为。 分析：我们知道，过圆(xa)2+(yb)2=r2(r0)上的一点P(x0,y0)的切线方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2，所有的切线构成的直线系M为(xa)+(yb)=r2+2，其中,为参数。 反之，也可由直线系M找到隐藏的圆方程。在本题中，这三条直线隐藏着一个圆，它的方程为x2+y2=1，又因为三条直线围成的三角形为正三角形，故它们所对应的图形有二种，分别为图1所示。显然这时Smax=SABC=33。 图1 无独有偶，我们再来看看下面这道题，分析与解答的过程留给读者。 （xx年高考江西理科题）设有直线系M:xcos+(y2)sin=1(02)，对于下列四个命题： A。M中所有直线均经过一个定点； B。存在定点P不在M中的任何一条直线上； C。对于任意整数n(n3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上； D。M中直线所能围成的正三角形面积都相等。 其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）。 例2（阿波罗尼斯圆）满足条件AB=2,AC=2BC的ABC的面积的最大值是。 解：以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。 设C(x,y)，由AC=2BC，得(x+1)2+y2=2(x1)2+y2，化简得(x3)2+y2=8(y0)?|y|max=22，(SABC)max=22。 评析：本题若用常规方法求解，使用余弦定理、正弦定理和面积公式，再利用函数的单调性求解，则计算过程非常复杂。本题解题的关键是找出隐藏在问题中间的圆阿波罗尼斯圆。一般地，若动点M与相异两定点A(x1,y1),B(x2,y2)的距离之比为常数(0,1)，则动点M的轨迹为圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。 2.运用四点共圆 例3（xx年全国高考题）设向量a、b、c满足|a|=|b|=1，ab=12，=60，则|c|的最大值等于（）。 A.2B.3C.2D.1 解：在平面上任选一点A，作AB=a，AC=b，AD=c。由题意知CDB=60，BAC=120，由平几知识，A、B、C、D四点共圆，c所对应线段AD为四边形ABCD外接圆的一条弦，它的最大值为圆的直径2。如图2所示。 本题可作一个简单的推广：设向量a、b、c满足|a|=m,|b|=n，=，=，则|c|的最大值等于2R。（其中2R是四边形ABCD外接圆的直径） 图2图3 例4（xx年安庆市重点中学联考题）已知点F1(0,3),F2(0,3)，动点H满足|HF1|=2|HF2|。记动点H的轨迹为曲线C，过A(1,0)的动直线l与曲线C相交于P、Q两点，M是的中点，l与直线m:x+5y+7=0相交于N。 （1）求曲线C的方程； （2）探索AMAN是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。 分析：由题意曲线C为一个阿波罗尼斯圆x2+(y5)2=16，不妨设它的圆心为C，连接AC交直线m于D点，则ACND,于是N 、D、C、M四点共圆，由相交弦定理知|AM|AN|=|AC|AD|，所以AMAN=6，与直线l的倾斜角无关。如图3所示。 评析：本题如果按照常规的解析方法处理，也能解决问题，但运算量过大。运用四点共圆的知识，不但能简化运算过程，而且突出试题的本质。 3.巧妙构圆 例5（xx年全国高中数学联赛贵州预赛题） 已知函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(xR且x0)，若实数a,b使得f(x)=0有实根，求a2+b2的最小值。 解：设t为函数f(x)=0的实根，则t2+at+1t2+at+b=0，设a2+b2=r2。 把代数式t2+at+1t2+at+b=0变形为(t+1t)a+b+t2+1t2=0，它表示以a,b为变量的直线方程，而a2+b2=r2表示以a,b为变量的圆的方程，直线和圆至少有一个交点，所以 rt2+1t2(t+1t)2+1=mm+322+3=25 (m=t2+1t2)，所以a2+b245，经检验，等号可以取得，即a2+b2的最小值为45。 注：运用同样的技巧，可以解决下面两道试题： 1.设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)xa2(a,bR,a0)在3,4上至少有一个零点，求a2+b2的最小值。（xx年全国高中数学联赛浙江预赛题）。 2.关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一个实根，求a2+b2的最小值。（xx年全国高中数学联赛湖北预赛题）。 例6（xx年内蒙古自治区高中数学联赛预赛）已知|a|=|b|=2,|c|=1,(ac)(bc)=0 ，求|ab|的取值范围。 解：建立平面直角坐标系，设c=(m,n),ac=(a,0),bc=(0,b)，则m2+n2=1,a=(a+m,n),b=(m,n+b),ab=(a,b)，(a+m)2+n2=4,m2+(n+b)2=4，得到(a+m)2+n2+m2+(n+b)2=8，a2+b2+2am+2bn6=0，做到这一步，怎么办了？从形式上看，a2+b2+2am+2bn6=0表示以m,n为变量的直线方程，而m2+n2=1表示以m,n为变量的单位圆，直线和圆至少有一个交点，所以 |a2+b2+2a0+2b06|4a2+4b21，解得71a2+b27+1，|ab|=a2+b271,7+1。 评析：本题解题的关键是对向量的坐标处理，在解题的过程中要理解m2+n2=1的几何本质：它是一个实实在在的单位圆，并理解这个单位圆m2+n2=1对直线a2+b2+2am+2bn6=0的制约作用。 美国数学家斯蒂恩曾说过：“如果能够发现一个特定的问题隐藏的几何图形，那么思维就整体地把握了问题，而且能创造性地思索问题的解法。”舍弃问题中的干扰因素，用圆来揭示问题的本质关系，是解题的需要，也是优化知识结构、训练思维、提高数学素养的需要，这也是素质