高三数学一轮复习《正弦定理和余弦定理》理.ppt

理数 课标版,第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件,1.正弦定理和余弦定理,教材研读,2.解三角形 在ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:,上表中,若A为锐角,当absin A时无解;若A为钝角或直角,当ab时无解.,3.三角形面积 设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S. (1)S= ah(h为边a上的高). (2)S= absin C= acsin B = bcsin A.,1.在ABC中,a=3,b=5,sin A= ,则sin B=( ) A. B. C. D.1 答案 B 根据 = ,有 = ,得sin B= .故选B.,2.(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a = ,c=2,cos A= ,则b= ( ) A. B. C.2 D.3,答案 D 由余弦定理得5=22+b2-22bcos A,cos A= ,3b2-8b-3=0, b=3 .故选D.,3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C= ,则 ABC的面积是 ( ) A.3 B. C. D.3,答案 C c2=(a-b)2+6即c2=a2+b2-2ab+6.由C= 及余弦定理得c2=a2+b2 -ab,由和得ab=6,SABC= absin C= 6 = ,故选C.,4.在ABC中,BC=2,AC= ,B= ,则AB= ,ABC的面积是 . 答案 3;,解析 由余弦定理,得AC2=BC2+AB2-2BCABcos ,AB=3(负值舍去), SABC= ABBCsin = .,5.已知ABC中,三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且a=1,b= ,A= 30,则c= . 答案 1或2,解析 a=1,b= ,A=30,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得1=3+c2-3c, 即c2-3c+2=0,解得c=1或c=2.,考点一 利用正弦、余弦定理解三角形,考点突破,典例1 (2015安徽,16,12分)在ABC中,A= ,AB=6,AC=3 ,点D在 BC边上,AD=BD,求AD的长. 解析 设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3 )2+62-23 6cos =18+36 -(-36)=90,所以a=3 . 由正弦定理得sin B= = = ,由题设知0B ,所以cos B= = = . 在ABD中,由正弦定理得 AD= = = = .,规律总结 (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是 两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中 含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的 正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑 两个定理都有可能用到. (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角范围的限制.,1-1 设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A= acos B. (1)求角B的大小; (2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值. 解析 (1)已知bsin A= acos B,由正弦定理得sin Bsin A= sin Acos B. 在ABC中,sin A0, 即得tan B= ,B= . (2)sin C=2sin A,由正弦定理得c=2a,结合b2=a2+c2-2accos B,及b=3,B= ,得9=a2+4a2-2a2acos , 解得a= (负值舍去),c=2a=2 .,考点二 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 典例2 设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B= asin A,则ABC的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 答案 B 解析 由已知及正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, 即sin(B+C)=sin2A,又sin(B+C)=sin A,sin A=1,A= .故选B.,方法技巧 判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中有边又有角,则 (1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理、因式分解、配方等得出边的 关系,从而判断三角形的形状. (2)化边为角:利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变形得出内角的关 系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用“ABC中,A+B+C=”这 个结论.,变式2-1 若将本例条件中的“bcos C+ccos B=asin A”改为“2sin Acos B =sin C”,试判断ABC的形状. 解析 解法一:2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,即,sin(A-B)=0,因为-A-B,所以A=B,故ABC为等腰三角形. 解法二:由条件及正弦定理得2acos B=c,再由余弦定理得2a = ca2=b2a=b,即ABC为等腰三角形.,变式2-2 若将本例条件中的“bcos C+ccos B=asin A”改为“acos A= bcos B”,试判断ABC的形状. 解析 由条件及正弦定理, 得sin Acos A=sin Bcos Bsin 2A=sin 2B, 又A、B均为ABC的内角,所以2A=2B或2A=-2B, 即A=B或A+B= . 所以ABC为等腰三角形或直角三角形.,考点三 与三角形面积有关的问题 典例3 (2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c= ,ABC的面积为 ,求ABC的周长. 解析 (1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, (2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C. (4分) 可得cos C= ,所以C= . (6分) (2)由已知,得 absin C= .,又C= ,所以ab=6. (8分),由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7. 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以a+b=5. (10分) 所以ABC的周长为5+ . (12分),规律总结 (1)求三角形ABC的面积时,常用公式S= absin C= acsin B= bcsin A,一 般根据已知角具体选择. (2)解决与面积有关的问题,一般要利用正弦定理、余弦定理进行边和 角的转化. 3-1 (2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC, ABD面积是ADC面积的2倍. (1)求 ; (2)若AD=1,DC= ,求BD和AC的长.,解析 (1)SABD= ABADsinBAD,SADC= ACADsinCAD. 因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC. 在ABC中,由正弦定理可得 =