高三数学一轮复习《任意角和蝗制及任意角的三角函数》理.ppt

理数 课标版,第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数,1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成是平面内的一条射线绕着它的 端点 从一个 位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类 (3)所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k,教材研读,360,kZ.,2.弧度制及相关公式 (1)定义:把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧 度记作rad. (2)公式,3.任意角的三角函数,判断下面结论是否正确.(请在括号中打“”或“”) (1)小于90的角是锐角. () (2)三角形的内角必是第一、第二象限角. () (3)不相等的角终边一定不相同. () (4)点P(tan ,cos )在第三象限,则角的终边在第二象限. () (5) ,则tan sin . () (6)为第一象限角,则sin +cos 1. (),1.已知角的终边过点P(-1,2),则sin = ( ) A. B. C.- D.- 答案 B |OP|= = (O为坐标原点),所以sin = = .,2.若角同时满足sin 0且tan 0,则角的终边一定落在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 由sin 0,可知的终边可能位于第三象限或第四象限,也可 能与y轴的非正半轴重合.由tan 0,可知的终边可能位于第二象限或 第四象限,故的终边只能位于第四象限.,3.已知圆的一条弦的长等于半径长,则这条弦所对的圆心角的大小为 弧度. 答案 解析 弦长等于半径长, 该弦与两半径构成的三角形为正三角形. 故该弦所对的圆心角的大小为 .,4.在-7200范围内所有与45角终边相同的角为 . 答案 -675和-315 解析 所有与45角有相同终边的角可表示为45+k360(kZ), 则令-72045+k3600, 得-765k360-45,解得- k- , 从而k=-2或k=-1,可得所求角为-675和-315.,典例1 (1)设集合M= ,N= ,那么 ( ) A.M=N B.MN C.NM D.MN= (2)终边在直线y= x上的角的集合是 . (3)已知角的终边在第二象限,则 的终边在第 象限. 答案 (1)B (2) (3)一或三 解析 (1)M= =,-45,45,135,225, N= =,-45,0,45,90,135,180,225,显,考点一 角的集合表示及象限角的判断,考点突破,然有MN.故选B. (2)在(0,)内终边在直线y= x上的角是 , 终边在直线y= x上的角的集合为 . (3)因为角的终边在第二象限,所以 +k2+k2,kZ,所以 +k +k,kZ. 所以当k=2m(mZ)时, +m2 +m2,此时 的终边在第一象限; 当k=2m+1(mZ)时, +m2 +m2,此时 的终边在第三象限.,综上, 的终边在第一或第三象限.,方法技巧 (1)给出一个角,判断该角为第几象限角的方法是:先将此角化为k360+ (0360,kZ)的形式,即找出与此角终边相同的角(0360), 再由角终边所在的象限来判断此角是第几象限角. (2)已知的终边所在的象限,求 或n(nN*)的终边所在的象限的方法 是:将的范围用不等式(含有k(kZ)表示,然后两边同除以n或乘n,再对 k进行讨论,得到 或n(nN*)的终边所在的象限.,1-1 (2017四川宜宾一中月考)若sin tan 0,且 0,则角是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案 C 由sin tan 0可知sin ,tan 异号,从而可判断角为第二或 第三象限角.由 0可知cos ,tan 异号,从而可判断角为第三或第 四象限角.综上可知,角为第三象限角.,变式1-2 本例(3)中,若把第二象限改为第三象限,则结果如何? 解析 由角终边在第三象限,可知+2k +2k,kZ,所以 +k +k,kZ. 当k=2m(mZ)时, +2m +2m, 此时 的终边在第二象限; 当k=2m+1(mZ)时, +2m +2m, 此时, 的终边在第四象限. 综上可知, 的终边在第二或第四象限.,典例2 (1)已知扇形周长为10,面积是4,则扇形的圆心角的大小为 . (2)如图,已知扇形的圆心角=120,弦AB长12 cm,则该扇形的弧长l= cm. 答案 (1) (2) 解析 (1)设圆心角是,半径是r,考点二 扇形的弧长与面积公式,则 或 (舍), 故扇形的圆心角的大小为 . (2)设扇形的半径为r cm,如图. 由sin 60= ,得r=4 ,l=|r= 4 = cm.,方法技巧 解决有关扇形的弧长和面积问题的常用方法及注意事项 (1)解决有关扇形的弧长和面积问题时,要注意角的单位,一般将角度化 为弧度. (2)求解扇形面积的最值问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配 方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三 角形.,2-1 扇形弧长为20 cm,圆心角为100,则该扇形的面积为 cm2. 答案 解析 由弧长公式l=|r,得,r= = cm,S扇形= lr= 20 = cm2.,变式2-2 在本例(1)中,若去掉条件中的“面积是4”,则扇形的半径和 圆心角取何值时,扇形面积最大? 解析 设圆心角是,半径是r,则2r+r=10. 所以扇形的面积S= r2= r(10-2r)=r(5-r) =- + , 当且仅当r= 时,扇形面积S最大,且Smax= ,此时=2. 所以当r= ,=2时,扇形面积最大.,考点三 三角函数的定义 典例3 已知角的终边经过点P(- ,m)(m0)且sin = m,试判断角 所在的象限,并求cos 和tan 的值. 解析 由题可得,r= ,sin = = m. 又m0,m= .故角是第二或第三象限角. 当m= 时,r=2 ,点P的坐标为(- , ), 故根据三角函数的定义可得cos = =- ,tan = =- . 当m=- 时,r=2 ,点P的坐标为(- ,- ). 故根据三角函数的定义可得cos = =- ,tan = = . 综上可知,cos =- ,tan =- 或cos =- ,tan = .,易错警示 利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边 上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.若题 目中已知角的终边在一条直线(非坐标轴)上,则要注意在终边上任取一 点有两种情况(点所在象限不同).,3-1 如图,在平面直角坐标系xOy中,角的终边与单位圆(圆心为O)交 于点A,点A的纵坐标为 ,则cos 的值为 ( ),A. B.- C. D.- 答案 D 因为点A的纵坐标yA= ,且点A在第二象限,又因为圆O为单位 圆,所以点A的横坐标xA=- ,由三角函数的定义可得cos =- .,3-2 已知角的顶点与原点重合