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函数极限的证明(精选多篇) 函数极限的证明 (一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =2函数极限的性质(3学时) 目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 函数极限证明 记g(x)=lim(1/n)，n趋于正无穷; 下面证明limg(x)=maxa1,.am,x趋于正无穷。把maxa1,.am记作a。 不妨设f1(x)趋于a;作ba=0,m1; 那么存在n1,当xn1,有a/mn2时，0ni时，0n,有 (a/m)n=f1(x)n=f1(x)n+.fm(x)n所以a/m0,存在0,使当|x-x0|时,有|f(x)-a| 而|x-x0|即为x属于x0的某个邻域u(x0;) 又因为有任意性,故可取=1,则有:|f(x)-a|0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x2=limitedsinx2/x2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)=(x2+y2)/(|x|+|y|)*sin(1/x) 显然有y-0,f-(x2/|x|)*sin(1/x)存在 当x-0,f-(y2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x-0,y-0时 由|sin(1/x)|=1得|f|=(x2+y2)/(|x|+|y|) 而x2+y2=x2+y2+2*|x|y|=(|x|+|y|)2 所以|f|0,y-0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5 (一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 函数极限的性质证明 x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |xn+1-a|xn-a|/a 以此类推，改变数列下标可得|xn-a|xn-1-a|/a; |xn-1-a|xn-2-a|/a; |x2-a|x1-a|/a; 向上迭代，可以得到|xn+1-a|x(1); 设x(k+1)x(k)，则 x(k+2)-x(k+1)=-(分子有理化) =/【+】0。 证明x(n)有上界。 x(1)=14， 设x(k)4，则 x(k+1)=(2+3*4)1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)x=x/tx(t1) 则： lim(x+)f(x)=lim(x+)x/tx =lim(x+)(分子分母分别求导) =lim(x+)1/(tx*lnt) =1/(+) =0 所以，对于数列n*an，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim=0 n (2)lim=3/2 n (3)lim=0 n (4)lim0.9999=1 nn个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。lim就省略不打了。 n/(n2+1)=0 (n2+4)/n=1 sin(1/n)=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了 第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n2+1)=lim(1/n)/(1+1/n2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n2)=0/1=0 lim(n2+4)/n=lim(1+4/n2)=1+lim(4/n2)=1+4lim(1/n2)=1 limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0 习题1?3 1.根据函数极限的定义证明: (1)lim(3x?1)?8;x?3 (2)lim(5x?2)?12;x?2 x2?4?4;(3)limx?2x?2 1?4x3 (4)lim?2. x?2x?12 1证明(1)分析|(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|,要使|(3x?1)?8|?,只须|x?3|?.3 1证明因为?0,?,当0?|x?3|?时,有|(3x?1)?8|?,所以lim(3x?1)?8.x?33 1(2)分析|(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|,要使|(5x?2)?12|?,只须|x?2|?.5 1证明因为?0,?,当0?|x?2|?时,有|(5x?2)?12|?,所以lim(5x?2)?12.x?25 (3)分析 |x?(?2)|?.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)?|x?2|?|x?(?2)|,要使?(?4)?,只须x?2x?2x?2 x2?4x2?4?(?4)?,所以lim?4.证明因为?0,?,当0?|x?(?2)|?时,有x?2x?2x?2 (4)分析1?4x3111?4x31?2?,只须|x?(?)|?.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|,要使2x?12x?1222 1?4x3111?4x3 ?2?,所以lim证明因为?0,?,当0?|x?(?)|?时,有?2.12x?12x?122x?2.根据函数极限的定义证明: (1)lim1?x3 2x3 sinxx?1;2(2)limx?x?0. 证明(1)分析 |x|?1 1?x32x311?x3?x3?22x3?12|x|3,要使1?x32x3?11?,只须?,即322|x|2?. 证明因为?0,?x?(2)分析 sinxx?0? 12? ,当|x|?x时,有1x 1?x32x311?x31?,所以lim?. x?2x322 1x ?,即x? sinxx |sinx|x ?,要使 sinx 证明因为?0,?x? ?2 ,当x?x时,有 xsinxx ?0?,只须 ? . ?0?,所以lim x? ?0. 3.当x?2时,y?x2?4.问?等于多少,使当|x?2| 解由于x?2,|x?2|?0,不妨设|x?2|?1,即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2|x?2|?5|x?2|?0.001,只要 |x?2|? 0.001 ?0.0002,取?0.0002,则当0?|x?2|?时,就有|x2?4|?0.001.5 x2?1x?3 4.当x?时,y? x2?1x2?3 ?1,问x等于多少,使当|x|x时,|y?1|0, x? x? ?x1?0,使当x?x1时,有|f(x)?a|?;?x2?0,使当x?x2时,有|f(x)?a|?. 取x?maxx1,x2,则当|x|?x时,有|f(x)?a|?,即limf(x)?a. x? 8.根据极限的定义证明:函数f(x)当x?x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 证明先证明必要性.设f(x)?a(x?x0),则?0,?0,使当00,?10,使当x0?10,使当x0 取?min?1,?2,则当0|x?x0| |f(x)?a