高三数学一轮复习《一元二次不等式及其解法》理.ppt

理数 课标版,第二节 一元二次不等式及其解法,1.“三个二次”的关系,教材研读,2.(x-a)(x-b)0和(x-a)(x-b)0型不等式的解集,口诀:大于取两边、小于取中间.,判断下面结论是否正确.(请在括号中打“”或“”) (1)若不等式ax2+bx+c0. () (2)不等式 0的解集是-1,2. () (3)若方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集 为R. (),1.函数f(x)= 的定义域为 ( ) A.0,3 B.(0,3) C.(-,03,+) D.(-,0)(3,+),答案 A 要使函数f(x)= 有意义,则3x-x20,即x2-3x0,解得0 x3.,2.不等式 0的解集为 ( ) A.x|x1或x3 B.x|1x3 C.x|1x3 D.x|1x3 答案 C 由 0,得 解得1x3.,3.若集合A=x|ax2-ax+10=,则实数a的取值集合是 ( ) A.a|0a4 B.a|0a4 C.a|0a4 D.a|0a4,答案 D a=0时,满足条件;a0时,由题意知a0且=a2-4a0,得0a 4,所以0a4,故选D.,4.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+40的解集为 .(用区间表示) 答案 (-4,1),解析 不等式-x2-3x+40等价于x2+3x-40,解得-4x1.,5.若不等式ax2+bx+20的解集为 ,则a+b= . 答案 -14 解析 由题意知x1=- ,x2= 是方程ax2+bx+2=0的两个根,则 解得 (经检验知满足题意). a+b=-14.,考点一 一元二次不等式的解法 典例1 解下列不等式: (1)19x-3x26;(2)8x-116x2; (3)0x2-x-24;(4)ax2-(a+1)x+10.,考点突破,解析 (1)解法一:原不等式可化为3x2-19x+60,函数y=3x2-19x+6的图象开口向上且与x轴有两个交点 和(6,0), 所以原不等式的解集为 .,解法二:原不等式可化为3x2-19x+60, 即(3x-1)(x-6)0,所以 (x-6)0, 所以原不等式的解集为 .,(2)8x-116x216x2-8x+10(4x-1)20, 对于任意的xR,原不等式都成立,原不等式的解集为R . (3)原不等式等价于 利用数轴(如图)可知,原不等式的解集为x|-2x-1或2x3.,(4)原不等式可变形为(ax-1)(x-1)1; 当a0时,原不等式可变形为a (x-1)0.,若a0,x1. 若a0,则 (x-1)1时,原不等式的解集为 ; 当a=1时,原不等式的解集为; 当0a1时,原不等式的解集为 .,综上,当a1; 当0a1时,原不等式的解集为 ;,当a=1时,原不等式的解集为; 当a1时,原不等式的解集为 .,规律总结 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)判:计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没有实根(无实根 时,不等式解集为R或). (3)求:求出对应的一元二次方程的根. (4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.,2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 (1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是 大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式与 0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大 小关系,从而确定解集形式.,1-1 解下列不等式: (1)-4x2+12x-90; (2) -1.,解析 (1)由题知4x2-12x+90, 变形得(2x-3)20,即 0,x , 即不等式的解集为 . (2)将原不等式移项通分得 0, 等价于 所以原不等式的解集为 .,1-2 求不等式12x2-axa2(aR)的解集. 解析 12x2-axa2, 12x2-ax-a20,即(4x+a)(3x-a)0. 令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=- ,x2= . 当a0时,- ,不等式的解集为 . 综上所述,当a0时,不等式的解集为 ; 当a=0时,不等式的解集为x|xR且x0;,当a0时,不等式的解集为 .,考点二 一元二次不等式恒成立问题 命题角度一 形如f(x)0或f(x)0(xR)恒成立,求参数范围 典例2 已知不等式mx2-2x-m+10.是否存在实数m,使对所有的实数x不 等式恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 解析 不存在.理由如下:,设f(x)=mx2-2x-m+1.,不等式mx2-2x-m+10恒成立,即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.,当m=0时,f(x)=1-2x,令1-2x ,不满足题意;,当m0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解, 即 此方程组无解. 综上,不存在满足题意的m.,命题角度二 形如f(x)0或f(x)0(xa,b)恒成立,求参数范围 典例3 (2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+ 1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是 . 答案 解析 要满足f(x)=x2+mx-10对于任意xm,m+1恒成立, 只需 即 解得- m0.,命题角度三 形如f(x)0或f(x)0(参数ma,b)恒成立,求x的范围 典例4 对任意m-1,1,函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的 取值范围.,解析 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4. 由题意知在-1,1上,g(m)的值恒大于零, 解得x3. 故当x3时,对任意的m-1,1,函数f(x)的值恒大于零.,方法技巧 一元二次不等式恒成立问题的求解思路 (1)形如f(x)0或f(x)0或f(x)0或f(x)0(参数ma,b)的不等式确定x的范围时,要注意变 换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.,2-1 (2017四川宜宾一中期末)不等式x2-2x+5a2-3a对任意实数x恒成 立,则实数a的取值范围为 ( ) A.-1,4 B.(-,-22,+) C.(-,-14,+) D.-2,5,答案 A x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以要使x2-2x+5a2-3a对任 意实数x恒成立,只需a2-3a4,解得-1a4.,2-2 若不等式x2+(a-6)x+9-3a0在|a|1时恒成立,则x的取值范围是 . 答案 (-,2)(4,+),解析 将原不等式整理为关