高三数学一轮复习《数列求和》理.ppt

理数 课标版,第四节 数列求和,1.求数列的前n项和的方法 (1)公式法 (i)等差数列的前n项和公式 Sn= = na1+ .,教材研读,(ii)等比数列的前n项和公式 当q=1时,Sn= na1 ; 当q1时,Sn= = .,(2)分组转化法 把数列的每一项转化成几项之和,使所求和转化为几个等差、等比数列 之和,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差再求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法,把数列分别正着写和倒着写再相加,倒序相加法是对等差数列求和公式 的推导过程的推广. (5)错位相减法 适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,错 位相减法是对等比数列求和公式的推导过程的推广.,(6)并项求和法 求一个数列的前n项和时,可将数列的项合并求解,这种方法称为并项求 和.形如an=(-1)nf(n)的类型,可采用两项合并求和.例如:Sn=1002-992+982- 972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.,2.常见的裂项公式 (1) = - ; (2) = ; (3) = - .,1.数列an的通项公式是an= ,前n项和为9,则n等于 ( ) A.9 B.99 C.10 D.100 答案 B an= = - ,Sn=a1+a2+an=( - )+ ( - )+( - )+( - )= -1,令 -1=9,得n=99,故选B.,考点突破,2.数列an的前n项和为Sn,若an= ,则S5等于 ( ) A.1 B. C. D. 答案 B an= = - ,S5=a1+a2+a5=1- + - + - = .,3.设数列an是首项为1的等比数列,若 是等差数列,则 + + 的值等于 ( ) A.2 012 B.2 013 C.3 018 D.3 019 答案 C 设数列an的公比为q,由等差数列的定义可得 + = ,则 + = , 解得q=1,则an=1, 从而 + = ,故 + + =2 012 =3 018.,4.数列an的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S17= . 答案 9,解析 S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+(-14 +15)+(-16+17)=1+1+1+1=9.,5.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则它的前n项和Sn= .,答案 2n+1-2+n2,解析 Sn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+(2n+2n-1)=(21+22+2n)+1+3+5+ +(2n-1)= + =2n+1-2+n2.,考点一 分组转化法求和 典例1 (2016北京,15,13分)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2= 3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求an的通项公式; (2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和. 解析 (1)等比数列bn的公比q= = =3, (1分) 所以b1= =1,b4=b3q=27. (3分) 设等差数列an的公差为d. 因为a1=b1=1,a14=b4=27, 所以1+13d=27,即d=2. (5分) 所以an=2n-1(nN*). (6分),考点突破,(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. (8分) 从而数列cn的前n项和 Sn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1 = + =n2+ . (13分),规律总结 分组转化求和的常见类型 (1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组求和法求an 的前n项和. (2)若an= 且数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分 组求和法求和.,1-1 (2016烟台模拟) + + + + = . 答案 - +1 解析 因为 =n+ ,所以 + + + + = + + + + =(1+2+3+n)+ = + = - +1.,考点二 并项法求和 典例2 已知数列an的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3), 则S15+S22-S31的值是 ( ) A.13 B.-76 C.46 D.76 答案 B,解析 S15=1-5+9-13+(413-3)-(414-3)+(415-3)=7(-4)+57=29,S22=1-5+9-13+(421-3)-(422-3)=11(-4)=-44，,S31=1-5+9-13+(429-3)-(430-3)+(431-3)=15(-4)+121=61，,S15+S22-S31=29-44-61=-76. 故选B.,规律总结 并项求和的解题思路 并项求和常见的有首末并项、隔项并项、分段并项、类周期并项,求解 时要注意观察通项的结构特点,根据特点采用相应方法求解. 2-1 若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10= ( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 答案 A 记bn=3n-2,则数列bn是以1为首项,3为公差的等差数列,所 以a1+a2+a9+a10=(-b1)+b2+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+(b10-b9)=53= 15.故选A.,考点三 裂项相消法求和 典例3 (2015课标,17,12分)Sn为数列an的前n项和.已知an0, +2an= 4Sn+3. (1)求an的通项公式; (2)设bn= ,求数列bn的前n项和. 解析 (1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3. 可得 - +2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)= - =(an+1+an)(an+1-an). 由an0,可得an+1-an=2. 又 +2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3. 所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1. (6分),(2)由an=2n+1可知 bn= = = . 设数列bn的前n项和为Tn,则 Tn=b1+b2+bn = = . (12分),易错警示 利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一 项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.有些情况下,裂项时需要调整前 面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.,3-1 已知数列的前四项是 , , , ,则该数列的前n项和 为 . 答案 - 解析 由题意可知通项an= = , 所以此数列的前n项和 Sn= + + + +,= = - .,变式3-2 若本例(2)的条件变为b1= ,n2时,bn=(-1)n-1 ,求数列bn 的前n项和Tn. 解析 当n2时, bn=(-1)n-1 =(-1)n-1 , 当n=1时,b1= 也满足上式. 当n为偶数时,Tn= - + -+ - , 所以Tn=1- = .,当n为奇数时,Tn= - + - + , 所以Tn=1+ = . 综上,Tn=,考点四 错位相减法求和 典例4 (2016山东,18,12分)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等 差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列bn的通项公式; (2)令cn= ,求数列cn的前n项和Tn. 解析 (1)由题意知,当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5. 当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5. 设数列bn的公差为d. 由 即 可解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1.,(2)由(1)知cn= =3(n+1)2n+1. 又Tn=c1+c2+cn, 得Tn=3222+323+(n+1)2n+1, 2Tn=3223+324+(n+1)2n+2, 两式作差,得-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2 =3 =-3n2n+2. 所以Tn=3n2n+2.,方法技巧 (1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前 n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn 的公比,然后作差求解; (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”, 以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.,4-1 (2017广东广雅中学期中)已知an0,且apaq=2p+q(p,qN*)成立. (1)求数列an的通项公式; (2)若bn=nan(nN*),求数列bn的前n项和Sn. 解析 (1)对于任意正整数p,q都有apaq=