高三数学一轮复习《数列的概念及简单表示法》理.ppt

理数 课标版,第一节 数列的概念及简单表示法.,1.数列的定义 按照 一定顺序 排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这 个数列的 项 .,教材研读,2.数列的分类,3.数列的表示方法 数列有三种表示方法,它们分别是 列表法 、 图象法 和 解析式法 .,4.数列的通项公式 如果数列an的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子来表 示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.,5.已知数列an的前n项和Sn, 则an=,1.已知数列an的通项公式为an=n2-8n+15,则3 ( ) A.不是数列an中的项 B.只是数列an中的第2项 C.只是数列an中的第6项 D.是数列an中的第2项或第6项,答案 D 令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列an中的第2项 或第6项.,2.设aR,数列(n-a)2(nN*)是递增数列,则a的取值范围是 ( ) A.a0 B.a(n-a)2对于nN*恒成立,即得an+ 对于n N*恒成立,从而有a .,3.已知数列 , , , , ,根据前三项给出的规律,则实数对 (a,b)可能是 ( ) A.(19,3) B.(19,-3) C. D. 答案 C 由前三项可知,该数列的通项公式可能为an= (nN*). 所以 解得,4.数列an满足a1=2,an=1- (n=2,3,4,),则a12= . 答案 -1 解析 由a1=2,a2=1- = ,a3=1- =-1,a4=1- =2,可知an是周期为3的 周期数列,则a12=a34=a3=-1.,5.已知数列an的前n项和Sn=2n-3,则数列an的通项公式是 . 答案 an=,解析 当n=1时,a1=S1=2-3=-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=2n-2n-1=2n-1. 又a1=-1不适合上式, 故an=,考点一 由an与Sn的关系求通项an 典例1 已知数列an的前n项和Sn,求an的通项公式. (1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b. 解析 (1)当n=1时,a1=S1=-1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1) =4n-5, 又a1=-1也适合上式,因此an=4n-5(nN*). (2)当n=1时,a1=S1=3+b, 当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1. 当b=-1时,a1适合上式;当b-1时,a1不适合上式. 当b=-1时,an=23n-1(nN*); 当b-1时,an=,考点突破,方法技巧 已知Sn求an的三个步骤: (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n-1替换Sn中的n得出Sn-1,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当n2时an的 表达式; (3)看a1是否符合n2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式 合写;如果不符合,则应该分n=1与n2两段来写. 1-1 已知数列an的前n项和Sn=3-32n,nN*,则an= . 答案 -32n-1 解析 分情况讨论:,当n=1时,a1=S1=3-321=-3;,当n2时,an=Sn-Sn-1=(3-32n)-(3-32n-1)=-32n-1. 综合,可得an=-32n-1(nN*).,1-2 已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= . 答案 解析 Sn=2an+1, 当n2时,Sn-1=2an,an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n2), 3an=2an+1(n2), 又易知a2= , an0(n2), = (n2).,an= (n2). 当n=1时,a1=1 = , an=,Sn=2an+1=2 = .,考点二 由递推关系式求数列的通项公式 典例2 (1)已知数列an满足a1= ,an+1=an+ ,则an= ; (2)若数列an满足a1= ,an+1= an,则通项an= ; (3)若数列an满足a1=1,an+1=2an+3,则an= .,答案 (1) - (2) (3)2n+1-3 解析 (1)由条件知an+1-an= = = - , 则n2时,(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1) = + + + , 即n2时,an-a1=1- , 又a1= , n2时,an=1- + = - , 又n=1时,a1= 符合上式,an= - . (2)由an+1= an(an0),得 = , 故n2时,an= a1= = , 又n=1时,a1= 符合上式, an= . (3)设递推关系式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t), 则an+1=2an-t,则t=-3.故an+1+3=2(an+3). 令bn=an+3,则b1=a1+3=4,bn0,且 = =2.,所以bn是以4为首项,2为公比的等比数列.,所以bn=42n-1=2n+1,即an=2n+1-3.,方法技巧 由数列的递推关系求通项公式的常用方法,2-1 数列an中,a1=2,an+1=an+n+1,则an= . 答案 解析 由条件知an+1-an=n+1, 则n2时,an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)+a1=(2+3+4+n)+2=,又当n=1时,a1=2符合上式,an= .,变式2-2 若将本例(3)中的“an+1=2an+3”换为“an+1= ”,如何求 解? 解析 an+1= ,a1=1,an0, = + ,即 - = , 又a1=1,则 =1, 是以1为首项, 为公差的等差数列. = +(n-1) = + , an= (nN*).,考点三 数列的性质 典例3 (1)(2016安徽皖江名校联考)已知数列an的首项为2,且数列 an满足an+1= ,数列an的前n项和为Sn,则S2 016为( ) A.504 B.588 C.-588 D.-504 (2)(2016课标全国,15,5分)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 an的最大值为 .,答案 (1)C (2)64 解析 (1)a1=2,an+1= ,a2= ,a3=- ,a4=-3,a5=2,数列an是 以4为周期的数列,且a1+a2+a3+a4=- ,2 0164=504,S2 016=504 =- 588,故选C. (2)设an的公比为q,于是a1(1+q2)=10,a1(q+q3)=5, 联立解得a1=8,q= , an=24-n,a1a2an=23+2+1+(4-n)= = 26=64.a1a2an的最 大值为64.,方法技巧 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法: 用作差比较法,根据an+1-an的符号进行判断. 用作商比较法,根据 (an中各项都同号)与1的大小关系进行判断. 结合相应函数的图象直观判断. (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期求值. (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的方法求解.,3-1 已知数列an满足a1=1,an+1= -2an+1(nN*),则a2 018= ( ) A.1 B.0 C.2 018 D.-2 018 答案 B a1=1,an+1= -2an+1=(an-1)2,a2=(a1-1)2=0,a3=(a2-1)2=1,a4=(a3 -1)2=0,可知数列an是以2为周期的数列, a2 018=a2=0,选B.,3-2 已知数列an的通项公式为an=(n+1) ,则数列的最大项的值 为 . 答案 10 解析 解法一:由题意得an+1-an=(n+2) -(n+1) = . 当n0,即an+1an;