高三数学一轮复习《函数及其表示》理.ppt

理数 课标版,第一节 函数及其表示,1.函数与映射的概念,教材研读,2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函 数的 值域 . (2)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应关系 . (3)相等函数:如果两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 完 全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据. (4)函数的表示法 表示函数的常用方法: 解析法 、 图象法 、 列表法 .,3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 对应关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由 几部分组成,但它表示的是一个函数.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)对于函数f:AB,其值域是集合B. () (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数. () (3)映射是特殊的函数. () (4)若A=R,B=(0,+), f:xy=|x|,则对应f可看作从A到B的映射. () (5)分段函数是由两个或几个函数组成的. (),1.下列所给图象是函数图象的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 B 中,当x0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是 函数图象;中,当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象;中,每 一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象,故选B.,2.下列函数中,与函数y= 定义域相同的函数为 ( ) A.y= B.y= C.y=xex D.y= 答案 D 函数y= 的定义域为x|x0,xR,与函数y= 的定义域 相同,故选D.,3.设函数f(x)= 则f(f(3)= . 答案 解析 f(3)= , f(f(3)= +1= .,4.函数f(x)= + 的定义域是 . 答案 (-1,0)(0,2 解析 要使函数有意义,需满足 解得-1x2且x0,所以函数 的定义域为(-1,0)(0,2.,5.若 有意义,则函数y=x2-6x+7的值域是 . 答案 -1,+) 解析 因为 有意义,所以x-40,即x4.,又因为y=x2-6x+7=(x-3)2-2, 所以ymin=(4-3)2-2=1-2=-1, 所以原函数的值域为-1,+).,考点一 函数的基本概念 典例1 有以下判断: f(x)= 与g(x)= 表示同一函数; 函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;,考点突破,f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数; 若f(x)=|x-1|-|x|,则f =0. 其中正确判断的序号是 .,答案 解析 对于,由于函数f(x)= 的定义域为x|xR且x0,而函数g(x) = 的定义域是R,所以二者不是同一函数;对于,若x=1不是y= f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定 义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点, 即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于, f(x)与g(t)的定义,域、对应关系均相同,所以f(x)与g(t)表示同一函数;对于,由于f = - =0,所以f =f(0)=1. 综上可知,正确的判断是.,方法技巧 函数是否为同一个函数的判断方法 (1)两个函数是否为同一函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相 同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数. (2)函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1, g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函数.,1-1 下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( ) A.y=x-1和y= B.y=x0和y=1 C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2,D.f(x)= 和g(x)= 答案 D A中两个函数的定义域不同;B中两个函数的定义域也不同,y =x0中x不能取0;C中两函数的对应关系不同,故选D.,考点二 求函数的定义域 命题角度一 求给定解析式的函数的定义域 典例2 (2017四川宜宾三中月考)函数f(x)= + 的定义域为 ( ) A.(-3,0 B.(-3,1 C.(-,-3)(-3,0 D.(-,-3)(-3,1 答案 A 解析 由题意得 解得-3x0. 所以函数f(x)的定义域为(-3,0.,命题角度二 求抽象函数的定义域 典例3 若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)= 的定义域为 . 答案 0,1) 解析 由 得0x1,即定义域是0,1).,方法技巧 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子 (运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求其解集即可.,2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域可由不 等式ag(x)b求出. (2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b上 的值域.,2-1 (2016淄博模拟)函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是 ( ) A. B. C. D. 答案 A 由题意可知 解得 所以- x1,故选A.,2-2 若函数y=f(x)的定义域是1,2 016,则函数g(x)= 的定义域是 ( ) A.0,2 015 B.0,1)(1,2 015 C.(1,2 016 D.-1,1)(1,2 015 答案 B 要使函数f(x+1)有意义,则有1x+12 016,解得0x2 01 5,故函数f(x+1)的定义域为0,2 015.所以使函数g(x)有意义的条件是 解得0x1或1x2 015.故函数g(x)的定义域为0,1)(1, 2 015.,2-3 函数f(x)= (a0且a1)的定义域为 . 答案 (0,2 解析 由 0x2,故所求函数的定义域为(0,2.,考点三 求函数的解析式 典例4 (1)已知f =x2+ ,求f(x)的解析式; (2)已知f =lg x,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式; (4)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式. 解析 (1)由于f =x2+ = -2,所以f(x)=x2-2,x2或x-2，,故f(x)的解析式是f(x)=x2-2,x2或x-2. (2)令 +1=t,得x= ,代入已知等式得f(t)=lg , 又因为x0,所以t1. 故f(x)的解析式是f(x)=lg ,x1.,(3)设f(x)=ax2+bx+c(a0), 由f(0)=0,知c=0, f(x)=ax2+bx, 又由f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1. 即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1. 所以 解得a=b= . 所以f(x)= x2+ x,xR.,(4)由f(-x)+2f(x)=2x, 得f(x)+2f(-x)=2-x，,2-,得3f(x)=2x+1-2-x. 即f(x)= . f(x)的解析式为f(x)= ,xR.,方法技巧 求函数解析式的常见方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待 定系数法. (2)配凑法:由已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的式子,然后 以x替代g(x),便得f(x)的解析式. (3)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,求f(x)的解析式时可用换元法, 即令g(x)=t,从中解出x,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取 值范围. (4)解方程组法:已知关于f(x)与f 或f(-x)的等式,可根据已知条件再构 造出一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).,3-1 已知f( +1)=x+2 ,求f(x)的解析式. 解析 解法一:设t= +1,则t1,x=(t-1)2,f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1,f(x)=x2-1(x1).,解法二:x+2 =( )2+2 +1-1=( +1)2-1,f( +1)=( +1)2-1,f(x)=x2-1(x1).,3-2 设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等实根,且f (x)=2x+2,求f(x)的解析式. 解析 设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f (x)=2ax+b=2x+2, 所以a=1,b=2, f(x)=x2+2x+c. 又因为方程f(x)=0有两个相等的实根,所以=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1.,考点四 分段函数 命题角度一 分段函数的求值 典例5 (2015课标,5,5分)设函数f(x)= 则f(-2)+ f(log212)= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 答案 C 解析 -21,f(log212)= = =6. f(-2)+f(log212)=9.,命题角度二 求参数或自变量的值或范围 典例6 已知f(x)= 若f(1)+f(a+1)=5,则a的值为 . 答案 -1 解析 易得f(1)=1(1+4)=5, f(1)+f(a+1)=5,f(a+1)=0. 当a+10,即a-1时,有(a+1)(a+5)=0, 解得a=-1或a=-5(舍去).当a+10,即a-1时, 有(a+1)(a-3)=0,解得a=-1或a=3,都不符合. 综上可知,a=-1.,易错警示 (1)在求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值属于哪个区间,再 代入相应的解析式求解.当自变量的值不确定时,要分类讨论. (2)对于分段函数,已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时,应 根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验解得的自变量的值或范围 是否符合相应段的自变量的取值范围.,4-1 已知函数f(x)的定义域为实数集R,xR, f(x-90)= 则 f(10)-f(-100)的值为 . 答案 -8,解析 f(10)=f(100-90)=lg 100=2, f(-100)=f(-10-90)=-(-10)=10,f(10)- f(-100)=2-10=-8.,4-2 已知f(