2016年苏州市常熟市九年级数学上期中试卷（带参考答案）

1 / 36 2016年苏州市常熟市九年级数学上期中试卷（带参考答案） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 江苏省苏州市常熟市 2016-2017学年九年级（上）期中数学试卷 (解析版 ) 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3 分，共 30分） 1下列方程为一元二次方程的是（ ） A 3x 2=0B x2 2x 3c x2 4x 1=0D xy+1=0 2样本方差的计算式 S2=（ x1 30） 2+（ x2 30） 2+（ xn 30） 2中，数字 20 和 30分别表示样本中的（ ） A众数、中位数 B方差、标准差 c样本中数据的个数、平均数 D样本中数据的个数、中位数 3当用配方法解一元二次方程 x2 3=4x时，下列方程变形正确的是（ ） A（ x 2） 2=2B（ x 2） 2=4c（ x 2） 2=1D（ x 2） 2=7 4已知 x1， x2是关于 x 的方程 x2+ax 2b=0的两实数根，且 x1+x2= 2， x1x2=1，则 ba的值是（ ） A B c 4D 1 5已知 o 的直径为 10cm，点 P不在 o 外，则 oP的长（ ） 2 / 36 A小于 5cmB不大于 5cmc小于 10cmD不大于 10cm 6下列命题中，真命题是（ ） A相等的圆心角所对的弧相等 B面积相等的两个圆是等圆 c三角形的内心到各顶点的距离相等 D各角相等的圆内接多边形是正多边形 7如图， AB 是 o 的直径，直线 PA 与 o 相切于点 A， Po交 o 于点 c，连接 Bc若 P=40 ，则 ABc 的度数为（ ） A 20B 25c 40D 50 8如图，在扇形 AoB中 AoB=90 ，正方形 cDEF 的顶点 c是的中点，点 D 在 oB上，点 E 在 oB的延长 线上，当正方形cDEF的边长为 2 时，则阴影部分的面积为（ ） A 2 4B 4 8c 2 8D 4 4 9如图， o 的半径为 4， ABc 是 o 的内接三角形，连接 oB、 oc若 BAc 与 Boc 互补，则弦 Bc的长为（ ） A 3B 4c 5D 6 10如图，等边 ABc 的周长为 6 ，半径是 1 的 o 从与AB相切于点 D 的位置出发，在 ABc 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相切于点 D 的位置，则 o 自转了3 / 36 （ ） A 2 周 B 3 周 c 4 周 D 5 周 二、填空题（本 大题共 10小题，每空 3 分，共 30 分）： 11样本 3、 0、 5、 6、 9 的极差是 12已知关于 x 的方程（ m 1） x|m|+1+（ 2m+1） x m=0是一元二次方程，则 m= 13直径为 10cm的 o 中，弦 AB=5cm，则弦 AB所对的圆周角是 14已知圆锥的母线长是 4cm，侧面展开图的面积是18cm2 ，则此圆锥的底面半径是 15一个直角三角形的两边长分别为 3， 4，则此三角形的外接圆半径是 16某楼盘 XX年房价为每平方米 8100元，经过两年连续涨价后， 2016年 房价为每平方米 12100 元设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为 x，根据题意可列方程 17某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时） 5678 人数 1015205 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 小4 / 36 时 18设 m， n 分别为一元二次方程 x2+2x 2018=0 的两个实数根，则 m2+3m+n= 19如图，给定一个半径长为 2 的圆，圆心 o 到水平直线 l的距离为 d，即 om=d我们把圆上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数记为 m如 d=0 时， l 为经过圆心 o 的一条直线，此时圆上有四个到直线 l 的距离等于 1 的点，即 m=4，由此可知：当 m=2时， d 的取值范围是 20如图，在半径为 2 的 o 中， AB=2， cD=2， AB 与 cD 交于点 E，延长 Ac、 DB交于点 F，则 F= 三、解答题（本大题共 8 小题，共 70分） 21（ 6 分）先化简，再求值：（ 1） ，其中 x 满足 x2+3x 4=0 22（ 10分）解下列方程： （ 1） x2 6x 3=0； （ 2） 3（ x 2） 2=x2 4 23（ 8 分）关于 x 的方程（ k 1） x2+2kx+2=0 （ 1）求证：无论 k 为何值，方程总有实数根 （ 2）设 x1， x2 是方程（ k 1） x2+2kx+2=0 的两个根，记5 / 36 S=x1x2 x1 x2， S 的值能为 1 吗？若能，求出此时 k 的值；若不能，请说明理由 24（ 8 分）在 o 中， AB为直径， c 为 o 上一点 （ 1）如图 ，过点 c 作 o 的切线，与 AB的延长线相交于点 P，若 cAB=28 ，求 P 的大小； （ 2）如图 ， D 为上一点，且 oD 经过 Ac 的中点 E，连接Dc 并延长，与 AB 的延长线相交于点 P，若 cAB=10 ，求P 的大小 25（ 8 分）如图，把长为 40cm，宽 30cm的长方形硬纸板，剪掉 2 个小正方形和 2 个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为 xcm（纸板的厚度忽略不计） （ 1）长方体盒子的长、宽、高分别为多少？（单位： cm） （ 2）若折成的一个长方体盒于表面积是 950cm2，求此时长方体盒子的体积 26（ 9 分）如图 1，在平面直角坐标系 xoy中， m 是 x 轴正半轴上一点， m 与 x 轴的正半轴交于 A， B 两点， A 在 B 的左侧，且 oA， oB 的长是方程 x2 12x+27=0的两根， oN是 m的切线， N 为切点， N 在第四象限 （ 1）求 m 的直径的长 6 / 36 （ 2）如图 2，将 oNm 沿 oN翻转 180 至 oNG ，求证 omG是等边三角形 （ 3）求直线 oN的解析式 27（ 9 分）如图，已知 o 的半径为 2， AB 为直径， cD 为弦 AB与 cD交于点 m，将沿 cD翻折后，点 A 与圆心 o 重合，延长 oA至 P，使 AP=oA，连接 Pc （ 1）求 cD的长； （ 2）求证： Pc 是 o 的切线； （ 3）点 G 为的中点，在 Pc 延长线上有一动点 Q，连接 QG交 AB于点 E交于点 F（ F 与 B、 c 不重合） 问 GEGF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由 28（ 12 分）平面直角坐标系中， A（ 0， 4），点 P 从原点 o开始向 x 轴正方向运动，设 P 点横坐标为 m，以点 P 为圆心，Po为半径作 P 交 x 轴另一点为 c，过点 A 作 P 的切线交 x轴于点 B，切点为 Q （ 1）如图 1，当 B 点坐标为（ 3， 0）时，求 m； （ 2）如图 2，当 PQB 为等腰三角形时，求 m； （ 3）如图 3，连接 AP，作 PEAP 交 AB 于点 E，连接 cE，求证： cE是 P 的切线； （ 4）若在 x 轴上存在点 m（ 8， 0），在点 P 整个运动过程中，7 / 36 求 mQ的最小值（直接写出答案） 2016-2017学年江苏省苏州市常熟市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3 分，共 30分） 1下列方程为一元二次方程的是（ ） A 3x 2=0B x2 2x 3c x2 4x 1=0D xy+1=0 【考点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义进行解答 【解答】解： A、该方程属于一元一次方程，故本选项错误； B、 x2 2x 3 不是方程，故本选 项错误； c、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、该方程中含有 2 个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误； 故选： c 【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0 ） 8 / 36 2样本方差的计算式 S2=（ x1 30） 2+（ x2 30） 2+（ xn 30） 2中，数字 20 和 30分别表示样本中的（ ） A众数、中位数 B方差、标准差 c样本中数据的个数、平均数 D样本中数据的个 数、中位数 【考点】方差 【分析】根据方差的计算公式中各数据所表示的意义回答即可 【解答】解：由方差的计算公式可知： 20 表示的是样本数据的数量，而 30 表示的是样本数据的平均数 故选 c 【点评】考查了方差，在方差公式： S2=（ x1） 2+（ x2） 2+ （ xn） 2中， n 表示的是样本的数量，表示的是样本的平均数 3当用配方法解一元二次方程 x2 3=4x时，下列方程变形正确的是（ ） A（ x 2） 2=2B（ x 2） 2=4c（ x 2） 2=1D（ x 2） 2=7 【考 点】解一元二次方程 -配方法 【分析】原方程变形为 x2 4x=3，再在两边都加上那个 22，即可得 9 / 36 【解答】解： x2 4x=3， x2 4x+4=3+4，即（ x 2） 2=7， 故选： D 【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）：先把二次系数变为 1，即方程两边除以 a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半的平方 4已知 x1， x2是关于 x 的方程 x2+ax 2b=0的两实数根，且 x1+x2= 2， x1x2=1，则 ba的值是（ ） A B c 4D 1 【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系和已知 x1+x2和 x1x2的值，可求 a、 b 的值，再代入求值即可 【解答】解： x1 ， x2 是关于 x 的方程 x2+ax 2b=0 的两实数根， x1+x2= a= 2， x1x2= 2b=1， 解得 a=2， b=， ba= （） 2= 故选： A 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 10 / 36 5已知 o 的直径为 10cm，点 P不在 o 外，则 oP的长（ ） A小于 5cmB不大于 5cmc小于 10cmD不大于 10cm 【考点】点与圆的位置关系 【分析】先求出圆的半径，再根据点与圆的位置关系即可得出结论 【解答】解： o 的直径为 10cm， o 的半径为 5cm 点 P 不在 o 外， 点 P 在圆上或圆内， oP5cm 故选 B 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键 6下列命题中，真命题是（ ） A相等的圆心角所对的弧相等 B 面积相等的两个圆是等圆 c三角形的内心到各顶点的距离相等 D各角相等的圆内接多边形是正多边形 【考点】命题与定理 【分析】利用圆周角定理，等圆的定义、三角形的内心的性11 / 36 质及正多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解： A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，是假命题； B、面积相等的两个圆的半径相等，是等圆，故正确，是真命题； c、三角形的内心到三角形各边的距离相等，故错误，是假命题； D、各角相等的圆内接多边形可能是矩形，故错误，是假命题， 故选 B 【点 评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理，等圆的定义、三角形的内心的性质及正多边形的定义，属于基础定义，难度不大 7如图， AB 是 o 的直径，直线 PA 与 o 相切于点 A， Po交 o 于点 c，连接 Bc若 P=40 ，则 ABc 的度数为（ ） A 20B 25c 40D 50 【考点】切线的性质 【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角 PAo 的度数，然后利用圆周角定理来求 ABc的度数 12 / 36 【解答】解：如图， AB 是 o 的直径，直线 PA 与 o 相切于点 A， PAo=90 又 P=40 ， PoA=50 ， ABc=PoA=25 故选： B 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理圆的切线垂直于经过切点的半径 8如图，在扇形 AoB中 AoB=90 ，正方形 cDEF 的顶点 c是的中点，点 D 在 oB上，点 E 在 oB的延长线上，当正方形cDEF的边长为 2 时，则阴影部分的面积为（ ） A 2 4B 4 8c 2 8D 4 4 【考点】扇形面积的计算；正方形的性质 【分析】连结 oc，根据勾 股定理可求 oc的长，根据题意可得出阴影部分的面积 =扇形 Boc的面积三角形 oDc的面积，依此列式计算即可求解 【解答】解： 在扇形 AoB 中 AoB=90 ，正方形 cDEF 的顶点 c 是的中点， 13 / 36 coD=45 ， oc=4 ， 阴影部分的面积 =扇形 Boc的面积三角形 oDc 的面积 =42 （ 2） 2 =2 4 故选： A 【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度 9如图， o 的半径为 4， ABc 是 o 的内接三角形，连接 oB、 oc若 BAc 与 Boc 互补，则弦 Bc的长为（ ） A 3B 4c 5D 6 【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形 【分析】首先过点 o 作 oDBc 于 D，由垂径定理可得 Bc=2BD，又由圆周角定理，可求得 Boc 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得 oBc 的度数，利用余弦函数，即可求得答案 【解答】解：过点 o 作 oDBc 于 D， 则 Bc=2BD， ABc 内接于 o ， BAc 与 Boc 互补， Boc=2A ， Boc+A=180 ， 14 / 36 Boc=120 ， oB=oc ， oBc=ocB= （ 180 Boc ） =30 ， o 的半径为 4， BD=oBcosoBc=4=2 ， Bc=4 故选： B 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 10如图，等边 ABc 的周长为 6 ，半径是 1 的 o 从与AB相切于点 D 的位置出发，在 ABc 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相切于点 D 的位置，则 o 自转了（ ） A 2 周 B 3 周 c 4 周 D 5 周 【考点】直线与圆的位置关系；等边三角形的性质 【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数 【解答】解：圆在三边运动自转周数： =3， 15 / 36 圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360 ，即一周； 可见， o 自转了 3+1=4周 故选： c 【点评】本题考查了圆的旋转与三角形的关系，要充分利用等边三角形的性质及圆的周长公式解答 二、填空题（本大题共 10小题，每空 3 分，共 30 分）： 11样本 3、 0、 5、 6、 9 的 极差是 12 【考点】极差 【分析】根据极差的公式：极差 =最大值最小值找出所求数据中最大的值 9，最小值 3，再代入公式求值 【解答】解：由题意可知，数据中最大的值为 9，最小值为 3，所以极差为 9（ 3） =12 故答案为： 12 【点评】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值 12已知关于 x 的方程（ m 1） x|m|+1+（ 2m+1） x m=0是一元二次方程，则 m= 1 【考点】一元二次方程的定义 16 / 36 【 分析】根据一元二次方程的定义列出关于 m 的方程组，求出 m 的值即可 【解答】解： 方程（ m 1） x|m|+1+（ 2m+1） x m=0是关于 x 的一元二次方程， ，解得 m= 1 故答案为： 1 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键 13直径为 10cm的 o 中，弦 AB=5cm，则弦 AB所对的圆周角是 30 或 150 【考点】圆周角定理；含 30度角的直角三角形；垂径定理 【分析】连接 oA、 oB，根据等边三角形的性质，求出 AoB的度数，再根据圆周定理求出 c 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出 D 的度数 【解答】解：连接 oA、 oB， AB=oB=oA ， AoB=60 ， c=30 ， D=180 30=150 故答案为： 30 或 150 17 / 36 【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线是解题的关键 14已知圆锥的母线长是 4cm，侧面展开图的面积是18cm2 ，则此圆锥的底面半径是 【考点】圆锥的计算 【分析】圆锥的 侧面积 =底面周长 母线长 2 【解答】解：设底面半径为 R，则底面周长 =2R ，圆锥的侧面展开图的面积 =2R4=18 ， R= ， 故答案为： 【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解 15一个直角三角形的两边长分别为 3， 4，则此三角形的外接圆半径是 2 或 【考点】三角形的外接圆与外心 【分析】直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况： 4 为斜边长； 3 和 4 为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可 求得外接圆的半径 18 / 36 【解答】解：由勾股定理可知： 当直角三角形的斜边长为 4，这个三角形的外接圆半径为2； 当两条直角边长分别为 16和 12，则直角三角形的斜边长=5， 因此这个三角形的外接圆半径为 故答案为： 2 或 【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆 16某楼盘 XX年房价为每平方米 8100元，经过两年连续涨价后， 2016年房价为每平方米 12100 元设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为 x，根据题意可列方程 8100（ 1+x） 2=12100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】首先根据题意可得 2016 年的房价 =XX 年的房价 （ 1+增长率）， XX年的房价 =XX年的房价 （ 1+增长率），由此可得方程 【解答】解：设这两年平均房价年平均增长率为 x，根据题意得： 8100（ 1+x） 2=12100， 19 / 36 故答案为： 8100（ 1+x） 2=12100 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（ 1x ） 2=b 17某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时） 5678 人数 1015205 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 小时 【考点】加权平均数 【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算 【解答】解： = 故答案为： 【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键 18设 m， n 分别为一元二次方程 x2+2x 2018=0 的两个实20 / 36 数根，则 m2+3m+n= 2016 【考点】根与系数的关系 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到 m2= 2m+2018，则 m2+3m+n可化简为 2018+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n= 2，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解： m 为一元二次方程 x2+2x 2018=0的实数根， m2+2m 2018=0，即 m2= 2m+2018， m2+3m+n= 2m+2018+3m+n=2018+m+n， m ， n 分别为一元二次方程 x2+2x 2018=0 的两个实数根， m+n= 2， m2+3m+n=2018 2=2016 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1， x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的两根时， x1+x2=， x1x2=也考查了一元二次方程根的定义 19如图，给定一个半径长为 2 的圆，圆心 o 到水平直线 l的距离为 d，即 om=d我们把圆上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数记为 m如 d=0 时， l 为经过圆心 o 的一条直线，此时圆上有四个到直线 l 的距离等于 1 的点，即 m=4， 由此可知：当 m=2时， d 的取值范围是 1 d 3 【考点】点到直线的距离 21 / 36 【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案 【解答】解：当 d=3时， m=1； 当 d=1时， m=3； 当 1 d 3 时， m=2， 故答案为： 1 d 3 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与 d 与 r 的数量关系 20如图，在半径为 2 的 o 中， AB=2， cD=2， AB 与 cD 交于点 E，延长 Ac、 DB交于点 F，则 F= 75 【考点】圆周角定理 【分析】作辅助线，根据直径所对的圆周角是 90 ，得到直角 ABH 和直角 cDG ，利用勾股定理计算 DG 和 BH的长，得到 cGD=45 ， HAB=30 ，再利用四点共圆的性质得DcF=DGA ，再根据同弧所对的圆周角相等和三角形的内角和求出 F 的度数 【解答】解：作直径 cG、 AH，交 o 于 G、 H，连接 AG、 DG、BH， cDG=ABH=90 ， AB=2 ， cD=2， cG=AH=4， 22 / 36 由勾股定理得： DG=2， BH=2， DG=cD ， BH=AH， cGD=45 ， HAB=30 ， AHB=60 ， A 、 c、 D、 G 四点共圆， DcF=DGA=AGc+cGD=AGc+45 ， AHB=AGc+cDF ， cDF=FAB ， AHB=AGc+FAB=60 ， 在 DcF 中， F=180 DcF cDF ， =180 AGc 45 FAB ， =180 45 60 ， =75 ， 故答案为： 75 【点评】本题考查了圆周角定理和四点共圆的性质，熟知在同圆或等圆中： 直径所对的圆 周角是 90 ， 同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的对角互补；本题还运用勾股定理求边长，利用边的特殊关系得到等腰直角三角形和 30 的直角三角形，从而得出结论 三、解答题（本大题共 8 小题，共 70分） 23 / 36 21先化简，再求值：（ 1） ，其中 x 满足 x2+3x 4=0 【考点】分式的化简求值 【分析】先算括号里面的，再算除法，最后求出 x 的值代入进行计算即可 【解答】解：原式 =， 解 x2+3x 4=0得 x1= 4， x2=1 因为 x1 ， 所以当 x= 4 时，原式 = 【点评】本题考查的 是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助 22（ 10分）（ 2016 秋 常熟市期中）解下列方程： （ 1） x2 6x 3=0； （ 2） 3（ x 2） 2=x2 4 【考点】解一元二次方程 -因式分解法 【分析】（ 1）利用配方法解方程； （ 2）先变形得 3（ x 2） 2（ x+2）（ x 2） =0，然后利用因式分解法解方程 【解答】解 ：（ 1） x2 6x+9=12， 24 / 36 （ x 3） 2=12， x 3=2 ， 所以 x1=3+2， x2=3 2； （ 2） 3（ x 2） 2（ x+2）（ x 2） =0， （ x 2）（ 3x 6 x 2） =0， 所以 x1=2， x2=4 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）也考 查了配方法解一元二次方程 23关于 x 的方程（ k 1） x2+2kx+2=0 （ 1）求证：无论 k 为何值，方程总有实数根 （ 2）设 x1， x2 是方程（ k 1） x2+2kx+2=0 的两个根，记S=x1x2 x1 x2， S 的值能为 1 吗？若能，求出此时 k 的值；若不能，请说明理由 【考点】根与系数的关系；根的判别式 【分析】（ 1）分二次项系数为 0 和非 0 两种情况考虑，当 k 1=0 时，原方程为一元一次方程，解方程可得出此时方程有实数根；当 k 10 时，根据根的判别式 =b2 4ac，可25 / 36 得出 =4 （ k 1） 2+4 0，进而可得出方程有两个不相等的实数根，综上即可得出结论 （ 2）假设能，根据根与系数的关系可得出、，将 S 进行变形代入数据即可得出分式方程，解分式方程得出 k 值，经检验后即可得出结论 【解答】（ 1）证明： 当 k 1=0 即 k=1 时，方程为一元一次方程 2x=2， x=1有一个解； 当 k 10 即 k1 时，方程为一元二次方程， = （ 2k） 2 42 （ k 1） =4k2 8k+8=4（ k 1） 2+4 0， 方程有两个不相等的实数根 综合 得：不论 k 为何值，方程总有实根 （ 2） 解：假设能， x1 ， x2是方程（ k 1） x2+2kx+2=0 的两个根， ， S=x1x2 x1 x2=x1x2（ x1+x2） =1，即， 整理得： 2+2k=k 1，解得： k= 3 经检验： k= 3 是分式方程的解 S 的值能为 1，此时 k 的值为 3 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解分式方程，熟练掌握根与系数的关系以及根的判别式是解题的关键 26 / 36 24在 o 中， AB为直径， c 为 o 上一点 （ 1）如图 ，过点 c 作 o 的切线，与 AB的延长线相交于点 P，若 cAB=2 8 ，求 P 的大小； （ 2）如图 ， D 为上一点，且 oD 经过 Ac 的中点 E，连接Dc 并延长，与 AB 的延长线相交于点 P，若 cAB=10 ，求P 的大小 【考点】切线的性质 【分析】（ 1）首先连接 oc，由 oA=oc，即可求得 A 的度数，然后由圆周角定理，求得 Poc 的度数，继而求得答案； （ 2）由 AE=cE， oD为半径，可得 oDAc ，继而求得答案 【解答】解：（ 1）连接 oc， oA=oc ， A=ocA=28 ， Poc=56 ， cP 是 o 的切线， ocP=90 ， P=34 ； （ 2） AE=cE ， oD为半径， oDAc ， cAB=10 ， 27 / 36 AoE=80 ， DcA=40 ， P=DcA cAB ， P=30 【点评】此题考查了切线的性质以及等腰三角形的性质注意准确作出辅助线是解此题的关键 25如图，把长为 40cm，宽 30cm 的长方形硬纸板，剪掉 2个小正方形和 2 个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为 xcm（纸板的厚度忽略不计） （ 1）长方体盒子的长、宽、高分别为多少？（单位： cm） （ 2）若折成的一个长方体盒于表面积是 950cm2，求此时长方体盒子的体积 【考点】一元二次方程的应用 【分析】（ 1）根据所给出的图形可直接得出长方体盒子的长、宽、高； （ 2）根据图示，可得 2（ x2+20x） =3040 950，求出 x的值，再根据长方体的体积公式列出算式，即可求出答案 【解答】解：（ 1）长方体盒子的长是：（ 30 2x） cm； 28 / 36 长方体盒子的宽是（ 40 2x） 2=20 x（ cm） 长方体盒子的高是 xcm； （ 2）根据图示，可得 2（ x2+20x） =3040 950， 解得 x1=5， x2= 25（不合题意，舍去）， 长方体盒子的体积 V=（ 30 25 ） 5 （ 20 5）=20515=1500 （ cm3） 答：此时长方体盒子的体积为 1500cm3 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方体的表面积和体积公式，关键是根据图形找出等量关系列出方程，要注意把不合题意的解舍去 26如图 1，在平面直角坐标系 xoy 中， m 是 x 轴正半轴上一点， m 与 x 轴的正半轴交于 A， B 两点， A 在 B 的 左侧，且 oA， oB的长是方程 x2 12x+27=0 的两根， oN是 m 的切线， N 为切点， N 在第四象限 （ 1）求 m 的直径的长 （ 2）如图 2，将 oNm 沿 oN翻转 180 至 oNG ，求证 omG是等边三角形 （ 3）求直线 oN的解析式 【考点】圆的综合题 【分析】（ 1）首先解一元二次方程的得出 oA， oB 的长，进29 / 36 而得出 om的长； （ 2）利用翻折变换的性质得出 mN=GN=3， oG=om=6，进而得出答案； （ 3）首先求出 cm的长，进而得出 cN的长，即可得出 oc的长，求出 N 点坐标，即可得出 oN 的解析式 【解答】解：（ 1）解方程 x2 12x+27=0， （ x 9）（ x 3） =0， 解得： x1=9， x2=3， A 在 B 的左侧， oA=3 ， oB=9， AB=oB oA=6， om 的直径为 6； （ 2）由已知得： mN=GN=3， oG=om=6， om=oG=mN=6 ， omG 是等边三角形 （ 3）如图 2，过 N 作 Ncom ，垂足为 c， 连结 mN，则 mNoN ， omG 是等边三角形 cmN=60 ， cNm=30 ， cm=mN=3= ， 在 RtcmN 中， cN=， 30 / 36 ， N 的坐标为， 设直线 oN的解析式为 y=kx， ， ， 直线 oN的解析式为 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及勾股定理和等边三角形的性质等知识，根据已知得出 N 点坐标是解题关键 27如图，已知 o 的半径为 2， AB 为直径， cD 为弦 AB与 cD 交于点 m，将沿 cD 翻折后，点 A 与圆心 o 重合，延长oA至 P，使 AP=oA，连接 Pc （ 1）求 cD的长； （ 2）求证： Pc 是 o 的切线； （ 3）点 G 为的中点，在 Pc 延长 线上有一动点 Q，连接 QG交 AB于点 E交于点 F（ F 与 B、 c 不重合）问 GEGF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由 【考点】圆的综合题 【分析】（ 1）连接 oc，根据翻折的性质求出 om， cDoA ，31 / 36 再利用勾股定理列式求解即可； （ 2）利用勾股定理列式求出 Pc，然后利用勾股定理逆定理求出 Pco=90 ，再根据圆的切线的定义证明即可； （ 3）连接 GA、 AF、 GB，根据等弧所对的圆周角相等可得BAG=AFG ，然后根据两组角对应相等两三角相似求出AGE 和 FGA 相 似，根据相似三角形对应边成比例可得 =，从而得到 GEGF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可 【解答】（ 1）解：如图，连接 oc， 沿 cD翻折后，点 A 与圆心 o 重合， om=oA=2=1 ， cDoA ， oc=2 ， cD=2cm=2=2=2 ； （ 2 ） 证 明 ： PA=oA=2 ， Am=om=1 ， cm=cD= ，cmP=omc=90 ， Pc=2 ， oc=2 ， Po=2+2=4， Pc2+oc2= （ 2） 2+22=16=Po2， Pco=90 ， Pc 是