2016年锦州市高二数学下期末试卷(理附答案和解释）

1 / 25 2016 年锦州市高二数学下期末试卷 (理附答案和解释） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 m XX-2016 学年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知 i 是虚数单位，则复数 z=在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 c第三象限 D第四象限 2已知集合 m=1，（ m2 3m 1） +（ m2 5m 6） i， N=1，3， mN=1 ， 3，则实数 m 的值为（ ） A 4B 1c 4 或 1D 1 或 6 3（ 2x+） n 展开式中第 k 项的二项式系数为（ ） A B 2n k5k c D 2n+1 k5k 1 4设函数 f（ x）（ xR ）为奇函数， f（ 1） =， f（ x+2） =f（ x） +f（ 2），则 f（ 3） =（ ） 2 / 25 A B c 1D 2 5下列值等于 1 的积分是（ ） A xdxB（ x+1） dxc 1dxD dx 6 “ 因为对数函数 y=logax 是增函数（大前提），而 y=是对数函数（小前提），所以 y=是增函数（结论） ” 上面推理的错误是 （ ） A大前提错导致结论错 B小前提错导致结论错 c推理形式错导致结论错 D大前提和小前提都错导致结论错 7已知函数 f（ x） =（ x a）（ x b）（其中 a b），若 f（ x）的图象如图所示，则函数 g（ x） =ax+b的图象大致为（ ） A B c D 8某班主任对全班 50名学生进行了作业量的调查，数据如表 认为作业量大认为作业量不大总计 男生 18927 女生 81523 总计 262450 则推断 “ 学生的性别与认为作业量大有关 ” 的把握大约为（ ） 3 / 25 附： 2= 独立性检验临界值表 P（ 2k ） A 99%B 95%c 90%D不确定 9下列命题中，正确的命题个数是（ ） 用相关系数 r 来判断两个变量的相关性时， r 越接近 0，说明两个变量有较强的相关性； 将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数后，期望改变，方差不变； 某厂生产的零件外直径 x N（ 3， 1），且 p（ 2x4 ） =，则 p（ x 4） = 用数学归纳法证明不等式 + （ n2 ， nN* ）的过程中，由 n=k递推到 n=k+1时不等式的左边增加项为 A 1 个 B 2 个 c 3 个 D 4 个 10甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A 为 “ 三个人去的景点不相同 ” ，事件 B 为 “ 甲独自去一个景点 ” ，则概率 P（ A|B）等于（ ） A B c D 11从 1， 2， 3， 4， 9， 18六个数中任取两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，得到不同的对数值有（ ） A 21B 20c 19D 17 4 / 25 12已知函数 f（ x） =lnx+tan （ 0 ）的导函数为 f（ x），若方程 f（ x） =f（ x）的根 x0小于 1，则 的取值范围为（ ） A B c D 二 、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分 .共 20分 .） 13如果质点 m 按规律 s=3+t2运动，则在一小段时间 2， 中相应的平均速度是 14用反证法证明命题 “ 若 a2+b2=0，则 a， b 全为 0（ a， b为实数） ” ，其反设为 15设 aZ ，且 0a 13，若 512016+a 能被 13 整除，则a= 16已知函数 f（ x）的定义域为（ 0， + ），且 f（ x） =2f（） 1，则 f（ x） = 三解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 17已知 i 是虚数单位， z1=x+yi（ x， yR ），且 x2+y2=1，z2=（ 3+4i） z1+（ 3 4i） （ I）求证： z2R ； （ II）求 z2的最大值和最小值 18某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为 L1=和 L2=2x，其中 x 为销售量（单位：5 / 25 辆）若该公司在这两地共销售 15 辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？ 19已知 a b 0，求证： 20设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各 顾客之间购买商品也是相互独立的 （ I）求进入商场的 1 位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率； （ II）求进入商场的 1 位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率； （ III）用 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲，乙两种商品中的一种的人数，求 的分布列 21对于函数 f（ x），若存在 x0R ，使 f（ x0） =x0成立，则称 x0 为 f（ x）的不动点已知 f（ x） =ax2+（ b+1） x+b 1（ a0 ） （ 1）当 a=1， b= 2 时，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对任意实数 b，函数 f（ x）恒有两个相 异的不动点，求 a 的范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若 y=f（ x）图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f（ x）的不动点，且 A、 B 两点关于直线 y=kx+对称，求 b 的最小值 22已知函数 f（ x） =ax2（ 2a+1） x+2lnx（ aR ） 6 / 25 （ ）若曲线 y=f（ x）在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行，求 a 的值； （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）设 g（ x） =x2 2x，若对任意 x1 （ 0， 2，均存在x2 （ 0， 2，使得 f（ x1） g（ x2），求 a 的取值范围 XX-2016学年辽宁 省锦州市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知 i 是虚数单位，则复数 z=在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 c第三象限 D第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的运算法则及其几何意义即可得出 【解答】解：复数 z=在复平面内对应的点所在的象限为第四象限 故选： D 7 / 25 2已知集合 m=1，（ m2 3m 1） +（ m2 5m 6） i， N=1，3， mN=1 ， 3，则实数 m 的值为（ ） A 4B 1c 4 或 1D 1 或 6 【考点】复数相等的充要条件；交集及其运算 【分析】根据题意，由交集的定义可得 3m ，结合集合 m，可得（ m2 3m 1） +（ m2 5m 6） i=3，进而由复数相等的意义，可得（ m2 3m 1） =3且（ m2 5m 6） =0，解可得 m的值 【解答】解：根据题意，若 mN=1 ， 3，则 3m ， 而 m=1，（ m2 3m 1） +（ m2 5m 6） i， 则有（ m2 3m 1） +（ m2 5m 6） i=3， 即（ m2 3m 1） =3且（ m2 5m 6） =0， 解可得 m= 1， 故选： B 3（ 2x+） n 展开式中第 k 项的二项式系数为（ ） A B 2n k5k c D 2n+1 k5k 1 【考点】二项式系数的性质 【分析】直接根据二项式的性质即可求出 【解答】解：（ 2x+） n 展开式中第 k 项的二项式系数为 cnk 1， 8 / 25 故选： c 4设函数 f（ x）（ xR ）为奇函数， f（ 1） =， f（ x+2） =f（ x） +f（ 2），则 f（ 3） =（ ） A B c 1D 2 【考点】函数 奇偶性的性质 【分析】由条件利用函数的奇偶性的性质求得 f（ 1）的值，再根据 f（ 1） =f（ 1+2） = f（ 1） +f（ 2），求得 f（ 2）的值，从而求得 f（ 3） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2）的值 【解答】解：函数 f（ x）（ xR ）为奇函数， f（ 1） =， f（ x+2）=f（ x） +f（ 2）， f （ 0） =0， 且 f（ 1） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2） = f（ 1） +f（ 2）， f （ 2） =2f（ 1） =1， 则 f（ 3） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2） =+1=， 故选： B 5下列值 等于 1 的积分是（ ） A xdxB（ x+1） dxc 1dxD dx 【考点】定积分的简单应用 【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为 1 即可 9 / 25 【解答】解：选项 A， xdx=x2=，不满足题意； 选项 B，（ x+1） dx=（ x2+x） =+1=，不满足题意； 选项 c， 1dx=x=1 0=1，满足题意； 选项 D， dx=x= 0=，不满足题意； 故选 c 6 “ 因为对数函数 y=logax 是增函数（大前提），而 y=是对数函数（小前提），所以 y=是增函数（结 论） ” 上面推理的错误是（ ） A大前提错导致结论错 B小前提错导致结论错 c推理形式错导致结论错 D大前提和小前提都错导致结论错 【考点】进行简单的演绎推理 【分析】当 a 1 时，对数函数 y=logax 是增函数，当 0 a 1 时，对数函数 y=logax是减函数，故可得结论 【解答】解：当 a 1 时，对数函数 y=logax 是增函数，当0 a 1 时，对数函数 y=logax是减函数， 故推理的大前提是错误的 故选 A 7已知函数 f（ x） =（ x a）（ x b）（其中 a b），若 f（ x）10 / 25 的图象如图所示，则函数 g（ x） =ax+b的图象大致为（ ） A B c D 【考点】指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系 【分析】根据题意，易得（ x a）（ x b） =0的两根为 a、 b，又由函数零点与方程的根的关系，可得 f（ x） =（ x a）（ x b）的零点就是 a、 b，观察 f（ x） =（ x a）（ x b）的图象，可得其与 x 轴的两个交点分别在区间（ ， 1）与（ 0， 1）上，又由 a b，可得 b 1， 0 a 1；根据函数图象变化的规律可得 g（ x） =aX+b的单调性即与 y 轴交点的位置， 分析选项可得答案 【解答】解：由二次方程的解法易得（ x a）（ x b） =0的两根为 a、 b； 根据函数零点与方程的根的关系，可得 f（ x） =（ x a）（ x b）的零点就是 a、 b，即函数图象与 x 轴交点的横坐标； 观察 f（ x） =（ x a）（ x b）的图象，可得其与 x 轴的两个交点分别在区间（ ， 1）与（ 0， 1）上， 又由 a b，可得 b 1， 0 a 1； 在函数 g（ x） =ax+b 可得，由 0 a 1 可得其是减函数， 又由 b 1 可得其与 y 轴交点的坐标在 x 轴的下方； 分析选项可得 A 符合这两点， BcD均 不满足； 故选 A 11 / 25 8某班主任对全班 50名学生进行了作业量的调查，数据如表 认为作业量大认为作业量不大总计 男生 18927 女生 81523 总计 262450 则推断 “ 学生的性别与认为作业量大有关 ” 的把握大约为（ ） 附： 2= 独立性检验临界值表 P（ 2k ） A 99%B 95%c 90%D不确定 【考点】独立性检验的应用 【分析】根据表中所给的数据，代入求观测值的算式，求出观测值，把所求的观测值同临界值进行比较，得到 “ 学生的性别与认为作业量大有关 ” 的把握 【解答】解： 根据表中数据得到 k2= ， 推断 “ 学生的性别与认为作业量大有关 ” 的把握大约为95% 故选： B 12 / 25 9下列命题中，正确的命题个数是（ ） 用相关系数 r 来判断两个变量的相关性时， r 越接近 0，说明两个变量有较强的相关性； 将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数后，期望改变，方差不变； 某厂生产的零件外直径 x N（ 3， 1），且 p（ 2x4 ） =，则 p（ x 4） = 用数学归纳法证明不等式 + （ n2 ， nN* ）的过程中，由 n=k递推到 n=k+1时不等式的左 边增加项为 A 1 个 B 2 个 c 3 个 D 4 个 【考点】命题的真假判断与应用 【分析】 根据相关系数 r 的性质进行判断， 根据期望和方差的定义和性质进行判断， 根据正态分布的性质进行求解 比较当 n=k和 n=k+1时，左边项的变化进行判断 【解答】解： 两个变量之间的相关系数， r 的绝对值越接近于 1，表示两个变量的线性相关性越强， r 的绝对值越接近于 0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故 不正确； 将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数后，期望改变，方差不变，正确，故 正确， 13 / 25 某厂生产的零件外直径 x N（ 3， 1），且 p（ 2x4 ） =，则 p（ 3x4 ） =，则 p（ x 4） =+=，故 正确， 用数学归纳法证明不等式 + （ n2 ， nN* ）的过程中， 当 n=k时，左边为 + ， 当 n=k+1时，左边为 +=+ （ +）， 故左边增加的项是 +，故 错误， 故正确的是 ， 故选： B 10甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A 为 “ 三个人去的景点不相同 ” ，事件 B 为 “ 甲独自去一个景点 ” ，则概率 P（ A|B）等于（ ） A B c D 【考点】条件概率与独立事件 【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论 【解答】解：甲独自去一个景点，则有 3 个景点可选，乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，可能性为 22=4 所以甲独自去一个景点的可能性为 322=12 因为三个人去的景点不同的可能性为 321=6 ， 所以 P（ A|B） = 14 / 25 故选： c 11从 1， 2， 3， 4， 9， 18六个数中任取两个不同的数分别作为一个对数的底数和真 数，得到不同的对数值有（ ） A 21B 20c 19D 17 【考点】排列、组合及简单计数问题；对数的运算性质 【分析】分构成的对数式含 1，不含 1 两种情况讨论，注意重复情况 【解答】解：当构成的对数式含有 1 时，得到的对数值为 0； 当构成的对数式不含 1 时，有 =20 种，其中 log23=log49，log24=log39， log32=log94， log42=log93，重复 4 个，有20 4=16个； 综上，可以得到 1+16=17 种不同的对数值， 故选： D 12已知函数 f（ x） =lnx+tan （ 0 ）的导函数为 f（ x），若方程 f（ x） =f（ x）的根 x0小于 1，则 的取值范围为（ ） A B c D 【考点】利用导数研究函数的单调性 【分析】由于 f （ x） =， f （ x0） =， f （ x0） =f（ x0），可得 =lnx0+tan ，即 tan= lnx0，由 0 x0 1，可得15 / 25 lnx0 1，即 tan 1，即可得出 【解答】解： f （ x） =， f （ x0） =， f （ x0） =f（ x0）， =lnx0+tan ， tan= lnx0， 又 0 x0 1， 可得 lnx0 1，即 tan 1， （，） 故选： A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分 .共 20分 .） 13如果质点 m 按规律 s=3+t2运动，则在一小段时间 2， 中相应的平均速度是 【考点】定积分 【分析】根据平均速度的计算公式进行计算即可 【解答】解： 质点 m 按规律 s=s（ t） =3+t2运动， 在一小段时间 2， 中相应的平均速度 v=， 故答案为： 14用反证法证明命题 “ 若 a2+b2=0，则 a， b 全为 0（ a， b为实数） ” ，其反设为 a， b 不全为 0 【考点】反证法与放缩法 【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设 16 / 25 【解答】解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立， 所以用反证法证明命题 “ 若 a2+b2=0，则 a， b 全为 0（ a， b为实数） ” ，其反设为 a， b 不全为 0， 故答案为： a， b 不全为 0 15设 aZ ，且 0a 13，若 512016+a 能被 13 整除，则a= 12 【考点】整除的定义 【分析】由于 512016+a=（ 52 1） 2016+a，按二项式定理展开，根据题意可得 （ 1） 2016+a 能被 13 整除，再由 0a 13，确定出 a 的值 【解答】解： 512016+a=（ 52 1） 2016+a =522016+52XX （ 1 ）1+52XX（ 1） 2+ （ 1） 2016+a， 除最后两项外，其余各项都有 13 的倍数 52， 故由题意可得 （ 1） 2016+a 能被 13整除， 0a 13， a=12 ， 故答案为： 12 16已知函数 f（ x）的定义域为（ 0， + ）， 且 f（ x） =2f17 / 25 （） 1，则 f（ x） = + 【考点】函数解析式的求解及常用方法 【分析】根据 f（ x） =2f（） 1，考虑到所给式子中含有 f（ x）和 f（），用代替 x 代入 f（ x） =2f（） 1，解关于入f（ x）与 f（）的方程组，即可求得 f（ x） 【解答】解：考虑到所给式子中含有 f（ x）和 f（），故可考虑利用换元法进行求解 在 f（ x） =2f（） 1，用代替 x， 得 f（） =2f（ x） 1，将 f（） = 1 代入 f（ x） =2f（）1 中，可求得 f（ x） =+ 故答案为： + 三解答题（解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 17已知 i 是虚数单位， z1=x+yi（ x， yR ），且 x2+y2=1，z2=（ 3+4i） z1+（ 3 4i） （ I）求证： z2R ； （ II）求 z2的最大值和最小值 【考点】复数代数形式的混合运算 【分析】（ ）求出 z1的共轭复数，再代入计算即可证明， （ ）设 u=6x 8y，代入 x2+y2=1 消去 y 得，根据判别式法即可求出 【解答】解：（ ）证明 z1=x+yi ， 1=x yi（ x， yR ）， 18 / 25 z1+1=2x ， z1 1=2yi z2= （ 3+4i） z1+（ 3 4i） 1， =3（ z1+） +4i（ z1 1） =6x+8yi2=（ 6x 8y） R （ ）解 x2+y2=1 ， 设 u=6x 8y，代入 x2+y2=1消去 y 得 64x2+（ 6x u） 2=64 100x2 12ux+u2 64=0 xR ， 0 144u2 4100 （ u2 64） 0 u2 1000 10u10 z2 的最大值是 10，最小值是 10 18某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为 L1=和 L2=2x，其中 x 为销售量（单位：辆）若该公司在这两地共销售 15 辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？ 【考点】函数模型的选择与应用 【分析】先根据题意，设甲销售 x 辆，则乙销售（ 15 x）辆，再列出总利润 y 的表达式，是一个关于 x 的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可 19 / 25 【解答】解：设甲地销售 x辆，则乙地销售 15 x辆， 0x15 ， 则该公司能获得的最大利润 y= +2（ 15 x） = +30， 当 x=时， S 取最大值 又 x 必须是整数，故 x=10，此时 Smax=（万元） 即甲地销售 10 辆，则乙地销售 5 辆时，该公司能获得的最大利润为万元 19已知 a b 0，求证： 【考点】基本不等式 【分析】可以看出中间项为 0，可采用做商比较法或做差比较法 【解答】解： 又 = a b 0， ，所以上式大于 1， 故成立， 同理可证 20设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的 （ I）求进入商场的 1 位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率； 20 / 25 （ II）求进入商 场的 1 位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率； （ III）用 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲，乙两种商品中的一种的人数，求 的分布列 【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】（ ）记 A 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲种商品， B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品， c表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， D 表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种 c=A+B由此能求出进入商场的 1 位顾 客购买甲，乙两种商品中的一种的概率 （ ） =，由此利用对立事件概率计算公式能求出进入商场的 1 位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率 P（ D） （ ） B（ 3，），由此能求出 的分布列 【解答】（本小题满分 12分） 解：（ ）记 A 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲种商品， B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品， c 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， D 表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品21 / 25 中的一种 c=A+B 进入商场的 1 位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率： P（ c） =P（ A+B） =P（ A） +P（ B）=P（ A） P（） +P（） P（ B） =+= （ ） =， P（） =P（ ） =P（） P（） = ， 进入商场的 1 位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率P（ D） =1 P（） = （ ） B（ 3，）， P（ =0 ） =， P（ =1 ） = ， P（ =2 ） = ， P（ =3 ） = 的分布列为 0123 21对于函数 f（ x），若存在 x0R ，使 f（ x0） =x0成立，则称 x0 为 f（ x）的不动点已知 f（ x） =ax2+（ b+1） x+b 1（ a0 ） 22 / 25 （ 1）当 a=1， b= 2 时，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对任意实数 b，函数 f（ x）恒有两个相异的不动点，求 a 的范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若 y=f（ x）图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f（ x）的不动点，且 A、 B 两点关于直线 y=kx+对称，求 b 的最小值 【考点】二次函数的性质； 二次函数的图象；函数与方程的综合运用 【分析】（ 1）转化为直接解方程 x2 x 3=x即可 （ 2）转化为 ax2+bx+b 1=0有两个不等实根，转化为 b24a（ b 1） 0 恒成立，再利用二次函数大于 0 恒成立须满足的条件来求解即可 （ 3）利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直找到 a， b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得 【解答】解：（ 1） a=1 ， b= 2 时， f（ x） =x2 x 3， f（ x） =xx2 2x 3=0x= 1， x=3 函数 f（ x）的不动点为 1 和 3； （ 2）即 f（ x） =ax2+（ b+1） x+b 1=x有两个不等实根， 转化为 ax2+bx+b 1=0有两个不等实根，须有判别式大于 0恒成立 即 b2 4a（ b 1） 0= （ 4a） 2 44a 23 / 25 00 a 1， a 的取值范围为 0 a 1； （ 3）设 A（ x1， x1）， B（ x2， x2），则 x1+x2=， A， B 的中点 m 的坐标为（，），即 m（，） A 、 B 两点关于直线 y=kx+对称， 又因为 A， B 在直线 y=x上