2016绍兴市高三数学(上)期末试卷(理含答案和解释)

1 / 22 2016绍兴市高三数学 (上 )期末试卷 (理含答案和解释 ) 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX-2016 学年浙江省绍兴市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1集合 P=xR|x|3 ， Q=y|y=2x 1， xR ，则 PQ=（ ） A（ ， 3 （ 1， + ） B（ ， 3 （ 1， + ）c（ ， 1） 3 ， + ） D（ ， 1） 3 ， + ） 2命题 “xR ， sinx 1” 的否定是（ ） A xR ， sinx1B xR ， sinx 1 c x0R ， sinx01D x0R ， sinx0 1 3已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则下列不可能成立的（ ） A a2016（ S2016 SXX） =0B a2016（ S2016 SXX） =0 c（ a2016 aXX）（ S2016 SXX） =0D（ a2016 aXX）（ S2016 SXX） =0 4已知 单位向量和满足 |=|，则与的夹角的余弦值为（ ） 2 / 22 A B c D 5设 l， m， n是三条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A ， l ， nlnB ln ，ln c l ， lD ，ll 6不等式组，表示的平面区域绕着原点旋转一周所得到的平面图形的面积为（ ） A B c 3D 7过双曲线 =1（ a， b 0） 的右焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为 P，线段 oP 的垂直平分线交 y 轴于点 Q（其中 o为坐标原点）若 oFP 的面积是 oPQ 的面积的 4 倍，则该双曲线的离心率为（ ） A B c 2D 8对于函数 f（ x），若存在 x0Z ，满足 |f（ x0） | ，则称 x0 为函数 f（ x）的一个 “ 近零点 ” 已知函数 f（ x）=ax2+bx+c（ a 0）有四个不同的 “ 近零点 ” ，则 a 的最大值为（ ） A 2B 1c D 二、填空题（本大题共 7 小题，第 9,10,11,12 每空 3 分，3 / 22 第 13,14,15 题每空 4 分，共 36分） 9函数 f（ x） =2cos（ 4x+） 1的最小正周期为 ，f（） = 10已知数列 an中， a3=3， an+1=an+2，则 a2+a4= ，an= 11一个空间几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则侧视图的面积为 cm2 ，该几何体的体积为 cm3cm3 12已知正数 x， y 满足 x+y=1，则 x y 的取值范围为 ，的最小值为 13设 f（ x） =，若 x 满足 f（ x） 3 ，则 log2（）的最大值为 14正 ABc 的边长为 1， =x+y，且 0x ， y1 ， x+y ，则动点 P 所形成的平面区域的面积为 15已知函数 y=|x2 1|的图象与函数 y=kx2（ k+2） x+2的图象恰有 2 个不同的公共点，则实数 k 的取值范围为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 16 ABc 中，内角 A， B， c 所对的边分别是 a， b， c，已4 / 22 知 sinAsinB=sinctanc （ 1）求的值： （ 2）若 a=c，且 ABc 的面积为 4，求 c 的值 17如图所示的几何体中，四边形 ABcD 为梯形， ADBc ，AB 平面 BEc， EccB ，已知 Bc=2AD=2AB=2 （ ）证明： BD 平面 DEc； （ ）若二面角 A ED B 的大小为 30 ，求 Ec 的长度 18已知函数 f（ x） =x2 ax 4（ aR ）的两个零点为 x1，x2，设 x1 x2 （ 1）当 a 0 时，证明： 2 x1 0； （ 2）若函数 g（ x） =x2 |f（ x） |在区间（ ， 2）和（ 2， + ）上均单调递增，求 a 的取值范围 19已知椭圆 c 的方程是 +=1（ a b 0），其右焦点 F 到椭圆 c的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以为公差的等差数列，且该数列的三项之和等于 6 （ 1）求椭圆 c 的方程； （ 2）若直线 AB 与椭圆 c 交于点 A， B（ A 在第一象限），满足 2+= ，当 0AB 面积最大时，求直线 AB的方程 20数列 an中，已知 a1=， an+1= （ 1）证明： an an+1； （ 2）证明：当 n2 时，（） 2 5 / 22 XX-2016学年浙江省绍兴市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题 ，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1集合 P=xR|x|3 ， Q=y|y=2x 1， xR ，则 PQ=（ ） A（ ， 3 （ 1， + ） B（ ， 3 （ 1， + ）c（ ， 1） 3 ， + ） D（ ， 1） 3 ， + ） 【考点】并集及其运算 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】解： P=xR|x|3=x|x3 或 x 3，Q=y|y=2x 1， xR=y|y 1 PQ= （ ， 3 （ 1， + ）， 故选： B 2命题 “xR ， sinx 1” 的否定是（ ） A xR ， sinx1B xR ， sinx 1 c x0R ， sinx01D x0R ， sinx0 1 6 / 22 【考点】全称命题；命题的否定 【分析】通过全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解： 全称命题否定是特称命题， 命题 “xR ， sinx 1” 的否定是： x0R ，sinx01 故 选： c 3已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则下列不可能成立的（ ） A a2016（ S2016 SXX） =0B a2016（ S2016 SXX） =0 c（ a2016 aXX）（ S2016 SXX） =0D（ a2016 aXX）（ S2016 SXX） =0 【考点】等比数列的前 n 项和 【分析】根据等比数列中的项不等于 0 的性质进行判断 【解答】解： an 是等比数列， a2016=S2016 SXX0 ，a2016 （ S2016 SXX） 0 ； 当 an的公比为 1 时， S2016 SXX=aXX+a2016=0， a2016（ S2016 SXX） =0； 当 an的公比为 1 时， a2016=aXX=aXX， （ a2016 aXX）（ S2016 SXX） =0；（ a2016 aXX）（ S2016 SXX） =0 故选 A 7 / 22 4已知单位向量和满足 |=|，则与的夹角的余弦值为（ ） A B c D 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】对条件式子两边平方求出，代入夹角公式即可 【解答】解： 和是单位向量， =1 |=| ， 2+2=2 （ 2 2），解得 = cos = 故选： c 5设 l， m， n是三条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A ， l ， nlnB ln ，ln c l ， lD ，ll 【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】运用面面平行、线面垂直的判定定理和性质定理对选项逐个分析判断 【 解 答 】 解 ： 对 于 A ， ， l ，nln 或者异面，故 A 错误； 8 / 22 对于 B， ln ， ln 或相交，故 B 错误； 对于 c，由 l 得到过直线 l的平面与平面 交于直线 a，则 la ，由 l ，所以 a ， ，故 c 正确； 对于 D， ， ll 或者 l 或者斜交，故 D 错误； 故选： c 6不等式组，表示的平面区域绕着原点旋转一周所得到的平面图形的面积为（ ） A B c 3D 【考点】简单线性规 划 【分析】作出可行域，旋转所得图形为圆环，求面积可得 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域（如图 ABc ）， 区域内的点 B（ 2， 0）到原点的距离最大为 2，区域内的点D 到原点的距离最小， 由点到直线的距离公式可得最小值为 =， ABc 绕着原点旋转一周所得到的平面图形为圆环，且内外圆半径分别为和 2， 故所求面积 S=22 （） 2= ， 故选： D 9 / 22 7过双曲线 =1（ a， b 0）的右焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为 P，线段 oP 的垂直平分线交 y 轴于点 Q（其中 o为坐标原点） 若 oFP 的面积是 oPQ 的面积的 4 倍，则该双曲线的离心率为（ ） A B c 2D 【考点】双曲线的简单性质 【分析】求出双曲线的渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为 1，可得 PF的方程，联立渐近线方程，解得交点 P 的坐标，运用中点坐标公式可得 oP的垂直平分线方程，可得 Q 的坐标，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，即可得到所求值 【解答】解：双曲线 =1的一条渐近线方程为 y=x， 右焦点 F（ c， 0）， 由题意可得直线 PF的方程为 y=（ x c）， 联立渐近线方程 y=x，可得 P（，）， 可得 oP的垂直平分线方程为 y =（ x）， 令 x=0，可得 y=，即 Q（ 0，）， 又 |PF|=b， |oP|=a， 由 oFP 的面积是 oPQ 的面积的 4 倍， 可得 c=4， 即有 b2=2a2，可得 c2=a2+b2=3a2， e=， 10 / 22 故选： B 8对于函数 f（ x），若存在 x0Z ，满足 |f（ x0） | ，则称 x0 为函数 f（ x）的一个 “ 近零点 ” 已知函数 f（ x）=ax2+bx+c（ a 0）有四个不同的 “ 近零点 ” ，则 a 的 最大值为（ ） A 2B 1c D 【考点】函数零点的判定定理 【分析】易知 a 不变时，函数 f（ x）的图象的形状不变，且四个不同的 “ 近零点 ” 的最小间距为 3，对称轴在区间中间时可取到 a 的最大值，从而解得 【解答】解： a 不变时，函数 f（ x）的图象的形状不变； 记 f（ x） =a（ x k） 2+h， 四个不同的 “ 近零点 ” 的最小间距为 3， 故易知对称轴在区间中间时可取到 a 的最大值， 故不妨记 f（ x） =a（ x） 2+h， 故 f（ 1） f（ 0） 2 ， 即 a+h（ a+h） ， 故 a ， 故选 D 二、填空题（本大题共 7 小题，第 9,10,11,12 每空 3 分，11 / 22 第 13,14,15 题每空 4 分，共 36分） 9函数 f（ x） =2cos（ 4x+） 1 的最小正周期为 ， f（） = 0 【考点】余弦函数的图象 【分析】根据周期的定义和函数的值的求法即可求出 【解答】解：函数 f（ x） =2cos（ 4x+） 1 的最小正周期T=， f（） =2cos（ 4+ ） 1=2cos 1=0， 故答案为：， 0 10已知数列 an中， a3=3， an+1=an+2，则 a2+a4= 6 ，an= 2n 3 【考点】数列递推式 【分析】由数列 an中， a3=3， an+1=an+2，可得数列 an是等差数列，公差为 2，利用等差数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】解： 数列 an中， a3=3， an+1=an+2， 数列 an是等差数列，公差为 2， an=a3+2 （ n 3） =3+2（ n 3） =2n 6 a2+a4=2a3=6 故答案分别为： 6； 2n 3 12 / 22 11一个空间几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则侧视图的面积为 1 cm2，该几何体的体 积为 + cm3cm3 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】根据三视图，得出该几何体是半圆锥与直三棱锥的组合体，侧视图是底边长为 2，高为 1 的等腰三角形，求出它的面积，再求出几何体的体积 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体的左边是半圆锥，右边是直三棱锥的组合体，如图所示； 且该几何体侧视图是底边长为 2，高为 1 的等腰三角形，面积为 21=1cm2 ， 该 几 何 体 的 体 积 为 V 半 圆 锥 +V 三 棱 锥=121+211=+cm3 故答案为： 1， + 12已知 正数 x， y 满足 x+y=1，则 x y 的取值范围为 （1， 1） ，的最小值为 3 【考点】基本不等式 【分析】 根据题意，求出 x y 的表达式，利用 0 x 1即可求出 x y 的取值范围； 13 / 22 把 1=x+y代人，利用基本不等式即可求出它的最小值 【解答】解： 正数 x， y 满足 x+y=1， y=1 x， y= 1+x， x y=2x 1； 又 0 x 1， 0 2x 2， 1 2x 1 1， 即 x y 的取值范围为（ 1， 1）； =+=1+1+2=1+2=3 ， 当且仅当 x=y=时取 “=” ； 的最小值为 3 故答案为：（ 1， 1）， 3 13设 f（ x） =，若 x 满足 f（ x） 3 ，则 log2（）的最大值为 log2 【考点】对数函数的图象与性质；分段函数的应用 【分析】先求出满足 f（ x） 3 的 x 的范围，再求出 t=的范围，结合对数函数的图象和性质，可得答案 【解答】解：当 x0 时，由 2 x 13 得： x 2， 当 x 0 时，由 3 得： x9 ， 故 t=1+ ， 1） （ 1， ， 14 / 22 故 log2（）的最大值为 log2， 故答案为： log2 14正 ABc 的边长为 1， =x+y，且 0x ， y1 ， x+y ，则动点 P 所形成的平面区域的面积为 【考点】平面向量的基本定理及其意义 【分析】可分别以边 AB， Ac所在的直线为 x， y 轴，建立坐标系，从而可以得出 P 点坐标为（ x， y），然后过 B， c 分别作 Ac， AB的平行线并交于点 D，这样根据条件便可找到点 P所在的平面区域，根据图形便可求出该平面区域的面积，即得出动点 P 所形成的平面区域的面积 【解答】解：分别以边 AB， Ac 所在的直线为 x 轴， y 轴建立如图所示坐标系：分别以边 AB， Ac所在的直线为 x 轴， y轴建立如图所示坐标系： 以向量为一组基底，则 P 点坐标为 P（ x， y）； 分别过 B， c 作 Ac， AB的平行线并交于点 D； 0x ， y1 ； 点 P 所在的平面区域为平行四边形 AcDDB内部； 又； P 点所在区域在图中阴影部分； 动点 P 所形成平面区域面积为 15 / 22 故答案为： 15已知函数 y=|x2 1|的图象与函数 y=kx2（ k+2） x+2的图象恰有 2 个不同的公共点，则实数 k 的取值范围为 k0 或 k=1或 k4 【考点】二次函数的性质 【分析】函数 y=kx2（ k+2） x+2=（ kx 2）（ x 1）的图象与函数 y=|x2 1|的图象有 1 个交点（ 1， 0），分类讨论，即可得出结论 【解答】解：函数 y=kx2（ k+2） x+2=（ kx 2）（ x 1）的图象与函数 y=|x2 1|的图象有 1 个交点（ 1， 0） 当 k 0，函数 y=|x2 1|的图象与函数 y=kx2（ k+2） x+2的图象有另外 1 个不同于（ 1， 0）的交点； 由 1 x2=kx2（ k+2） x+2，（ x 1） （ k+1） x 1=0， x=1时， k=0，方程有唯一的根 1， 满足函数 y=|x2 1|的图象与函数 y=kx2（ k+2） x+2的图象 恰有 2 个不同的公共点； k 0 时，由图象可得 k=1或 k4 满足题意， 综上所述， k0 或 k=1或 k4 故答案为： k0 或 k=1或 k4 16 / 22 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 16 ABc 中，内角 A， B， c 所对的边分别是 a， b， c，已知 sinAsinB=sinctanc （ 1）求的值： （ 2）若 a=c，且 ABc 的面积为 4，求 c 的值 【考点】余弦定理；正弦定理 【分析】（ 1）利用 sinAsinB=sinctanc，根据正、余弦定理，即可求的值： （ 2）若 a=c，求出 b， sinc，利用 ABc 的面积为 4，求 c的值 【解答】解：（ 1） sinAsinB=sinctanc ， ab= ， a2+b2=3c2 ， =3 ； （ 2） a=c ， a2+b2=3c2， b=c ， cosc= ， sinc= ， ABc 的面积为 4， cc=4 ， 17 / 22 c=4 17如图所示的几何体中，四边形 ABcD 为梯形， ADBc ，AB 平面 BEc， EccB ，已知 Bc=2AD=2AB=2 （ ）证明： BD 平面 DEc； （ ）若二面角 A ED B 的大小为 30 ，求 Ec 的长度 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】（ ）推导出 ABEc ， EcBc ，从而 Ec 平面 ABcD，进而 EcBD ，由勾股定理得 BDDc ，由此能证明 BD 平面DEc （ ）以 B 为原点，在平面 BcE 中过 B 作 Bc的垂线为 x 轴，Bc 为 y 轴， BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 Ec 【解答】证明：（ ） AB 平面 BEc， ABEc ， 又 EcBc ， ABBc=B ， Ec 平面 ABcD， BD 平面 ABcD， EcBD ， 由题意知在梯形 ABcD中，有 BD=Dc=， BD2+Dc2=Bc2 ， BDDc ， 又 EccD=c ， BD 平面 DEc 解：（ ）如图，以 B 为原点，在平面 BcE中过 B 作 Bc的垂线为 x 轴， 18 / 22 Bc为 y 轴， BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 =a 0，则 B（ 0， 0， 0）， E（ a， 2， 0）， A（ 0， 0， 1）， c（ 0， 2， 0）， D（ 0， 1， 1）， =（ 0， 1， 0）， =（ a， 1， 1）， 设面 AED的法向量为 =（ x， y， z）， 则，令 x=1，得 =（ 1， 0， a）， 设面 BED的法向量为 =（ x1， y1， z1）， 则，令 x1=2，得 =（ 2， a， a）， 二面角 A ED B 的大小为 30 ， cos30= ，解得 a=1（ a= 1，舍）， Ec=1 18已知函数 f（ x） =x2 ax 4（ aR ）的两个零点为 x1，x2，设 x1 x2 （ 1）当 a 0 时，证明： 2 x1 0； （ 2）若函数 g（ x） =x2 |f（ x） |在区间（ ， 2）和（ 2， + ）上均单调递增，求 a 的取值范围 【考点】二次函数的性质 【分析】（ 1）使用求根公式解出 x1，利用 a 的范围和不等式的性质得出； （ 2）求出 g （ x），令 g （ x） 0，结合函数图象讨论 a19 / 22 的范围， 【解答】解：（ 1）令 f（ x） =0解得 x1=， x2= =a， 0 a 0， =a+4， = 2 2 x1 0 （ 2） g（ x） =x2 |x2 ax 4|， g （ x） =2x |2x a|， g （ x）在区间（ ， 2）和（ 2， + ）上均单调递增，g （ x） 0，即 2x |2x a|，（ x 2） 当 a=0时，显然不成立， 若 a 0，作出 y=2x和 y=|2x a|的函数图象如图： 0 ，解得 0 a8 若 a 0，作出 y=2x和 y=|2x a|的函数图象如图： 有图象可知 2x |2x a|，故 g （ x） 0 不成立，不符合题意 综上， a 的取值范围是（ 0， 8 19已知椭圆 c 的方程是 +=1（ a b 0），其右焦点 F 到椭圆 c的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以为公差的等差数列，且该数列的三项之和等于 6 （ 1）求椭圆 c 的方程； （ 2）若直线 AB 与椭圆 c 交于点 A， B（ A 在第一象限），满20 / 22 足 2+= ，当 0AB 面积最大时，求直线 AB的方程 【考点】椭圆的简单性质 【分析】（ 1）由于右焦点 F 到椭圆 c 的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以为公差的等差数列，可得此三项分别为：a c， a， a+c，且 a=a c+， 可得： c，又该数列的三项之和等于 6，可得 3a=6， b2=a2 c2解出即可得出