海伦公式的证明(精选多篇).doc

海伦公式的证明(精选多篇) 与海伦在他的著作metrica(度量论)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc=(a2+b2-c2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*(1-cos2c)=1/2*ab*1-(a2+b2-c2)2/4a2*b2=1/4*4a2*b2-(a2+b2-c2)2=1/4*(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)=1/4*(a+b)2-c2c2-(a-b)2=1/4*(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16=p(p-a)(p-b)(p-c)所以，三角形abc面积s=p(p-a)(p-b)(p-c) 海伦公式的几种证明与推广 古镇高级中学付增德 高中数学必修第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式海伦公式heronsformula：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得： s? (p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p? 12 (a?b?c)，称为半周长。 图1 c 海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据morriskline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：s= p(p?a)(p?b)(p?c) 2 2 2 = 141414 (a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a 2 = 14 (a?b)?cc14 4ab 2 2 ?(a?b) 2 2 ?b 2 2 ?c 2 ?2ab)?(a 2 2 ?b 4 2 ?c 4 2 ?2ab) 4 = ?(a 2 ?b?c) 22 2ab 2 ?2ac 2 ?2bc 22 ?a?b?c 12 absinc和余弦定理 教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s? 12 12 12 c 2 ?a 2 ?b 2 ?2abcosc的证明过程：s?absinc=ab1?cosnc= 2 ab1?( a 2 ?b 2 ?c 2 2ab ) 2 下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式s?abc? 12 aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。 如图2， b 图2 c ?x2?y2?c2 222 ?2a?c?b22 在abc中，ad为边bc上的高，根据勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?， 2a ?y?z?a?z? a ?b ?c 2a ，x?c ?y ?c ?( a ?c ?b 2a ) ? 12a 4ac 22 ?(a ?c ?b)下略。在求 22 高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，abc顶点a于对边bc上任一点d间的距离ad有下列等式确定：ab ad ?dc?ac ?bd?ad ?bc?bd?dc?bc，等式改写为 ?ab ? dcbc ?ac ? bdbc ?bc ? dcbc ? bdbc aa 22 而当点d是顶点a的正射影时,有 bddc ? abcosbaosc ? ?c?b 22 ?b?c 22 ，利用比例的性质，变形得 bdbc ? a ?c 22 ?b 2a ， dcbc ? a ?b 22 ?c 2a ，代入即求出高ad。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数 的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若a+b+c=180那么 abacbcta?ta+tan?tan?tan+tan=1， 222222 zz c 图3 如图3,在abc中，内切圆o的半径是r,则tan a2 ? rx ,tan b2 ? ry ,tan c2 ? rz ,代入恒等式 tan a2 ?tan b2 +tan a2 ?tan c2 +tan b2 ?tan c2 =1，得 r xy ? r xz ? r yz ?1，两边同乘xyz，有等式 r(x?y?z)?xyz? 又，b?c?a?(x?z)?(x?y)?(y?z)?2x，所以，x? z? a?b?c b?c?a ，同理y? a?c?b ， 。?于是abc的面积s? 12 (a?b?c)r= 12 (y?z?x?z?x?y)r=(x?y?z)r =(x?y?z)r= 14 ，把、式代入，即得s?(x?y?z)xyz (a?b?c)(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b) 三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想()，简单四边形的面积和它的四条 边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形abcd中，设四条边长分别为a,b,c,d，且p? a?b?c?d ,则s四边形=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d) 现根据猜想进行证明。 证明：如图，延长da，cb交于点e。设ea=eeb=f 1+2=1802+3=1801=3eabecd fa?e = ef?c = bd ， s?eabs四边形 abcd = bd ?b 解得：e= b(ab?cd)d ?b f= b(ad?bc)d ?b 由于s四边形abcd= d ?bb seab 将，跟b= b(dd ?b)?b 代入海伦公式公式变形，得： s四边形abcd= d?b 4eb 22 ?(e ?b ?f ) 4b d ?b b(ab?cd)(d (db 42 224 ?b) 22 = d 4b ?b) ?( b(ab?cd)(d ?b) 22 ? b(d(d 22 ?b) 22 ?b) ? b(ad?bc)(d 22 ?b) 22 ) ?b = 4b (d ?b) ?4(ab ?cd)(d 22 ?b)?(ab?cd)?(d 2222 ?b)?(ad?bc) 22 ? = 4(d ?b)1 4(ab?cd)(d 22 ?b)?ab?cd?d 2222 ?b?ad?bc 2222 = 4(d ?b)1 4(ab?cd)(d 22 ?b)?(ab 2222 ?cd 22 ?d ?b ?2db 22 ?ad 22 ?bc) 22 = 4(d ?b)1 4(ab?cd)(d 22 ?b)?b(a 2222 ?b ?d ?c)?d(d 222 ?b ?a ?c) = 4(d1 ?b) (d ?b)4(ab?cd)?(c 2222 ?d ?b ?a) 22 =4 (2ab?2cd?c ?d ?b ?a)(2ab?2cd?d 22 ?b ?a ?c) =4 a?c)?(b?d)(b?d)?(a?c) 2222 (a?b?c?d)(a?b?d?c)(a?d?c?b)(b?d?c?a) =4 =(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)所以，海伦公式的推广得证。 图4 参考文献 1七市高中选修教材编写委员会数学问题探究m北京：生活读书新知三联书店，xx：14 2王林全初等几何研究教程m广州：暨南大学出版社， 海伦公式 与海伦在他的著作metrica(度量论）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为下述推导1 cosc=(a2+b2-c2）/2ab s=1/2*ab*sinc =1/2*ab*（1-cos2c) =1/2*ab*1-(a2+b2-c2）2/4a2*b2 =1/4*4a2*b2-(a2+b2-c2）2 =1/4*（2ab+a2+b2-c2）（2ab-a2-b2+c2） =1/4*(a+b)2-c2c2-(a-b)2 =1/4*(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16 =p(p-a)(p-b)(p-c) 所以，三角形abc面积s=p(p-a)(p-b)(p-c) 证明 中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在九章算术中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=q,p为“隅”，q为“实”。以、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4a2*c2-(a2+c2-b2）/22 当p=1时，2=q, =1/4a2*c2-(a2+c2-b2）/22 因式分解得 2=1/44a2c2-(a2+c2-b2）2 =1/4(c+a)2-b2b2-(c-a)2 =1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/42p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c) =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得： s=p(p-a)(p-b)(p-c) 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦秦九韶公式”。 s=1/4a2*c2-(a2+c2-b2）/22.其中cba. 根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题： 已知四边形abcd为圆的内接四边形，且ab=bc=4,cd=2,da=6，求四边形abcd的面积 这里用海伦公式的推广 s圆内接四边形=根号下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边） 代入解得s=83 证明 在abc中a、b、c对应边a、b、c o为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长 有tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2=1 r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2）=r r=(p-a)tana/2=(p-b)tanb/2=(p-c)tanc/2 r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2） =(p-a)+(p-b)+(p-c)tana/2tanb/2tanc/2 =ptana/2tanb/2tanc/2 =r p2r2tana/2tanb/2tanc/2=pr3 s2=p2r2=(pr3）/(tana/2tanb/2tanc/2） =p(p-a)(p-b)(p-c) s=p(p-a)(p-b)(p-c) 证明：海伦公式：若abc的三边长为a、b、c，则 sabc=（abc）（abc）（abc）（abc）/4(这是海伦公式的变形，“负号“”从a左则向右经过a、b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！) 证明：设边c上的高为h,则有 (a2h2)(b2h2)=c (a2h2)=c(b2h2) 两边平方，化简得： 2c(b2h2)=b2+c2-a2 两边平方，化简得： h=(b2-(b2+c2-a2)2/(4c2) sabc=ch/2 =c(b2-(b2+c2-a2)2/(4c2)/2 仔细化简一下，得： sabc=（abc）（abc）（abc）（abc）/4 用三角函数证明！ 证明： sabc=absinc/2 =ab(1-(cosc)2)/2（1） cosc=(a2+b2-c2)/(2ab) 代入（1）式，（仔细）化简得： sabc=（abc）（abc）（abc）（abc）/4 初中数学几何定理 1。同角（或等角）的余角相等。2。对顶角相等。3。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。4。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。 5。同位角相等，两直线平行。6。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。7。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 8。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。 9。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。 10。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。 11。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。 12。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 13。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 14。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。15。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。16。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。 17。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。 18圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。 19。切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 20。切线的性质定理经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。圆的切线垂直于经过切点的半径。经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 21。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。 22。弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 23。相交弦定理；切割线定理；割线定理； 初中数学几何一般证题途径：证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等2.同一三角形中等角对等边 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等 12.两圆的内（外）公切线的长相等13.等于同一线段的两条线段相等 证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等2.同一三角形中等边对等角 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等6.同圆（或等圆）中，等弦（或同弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 8.相似三角形的对应角相等9.圆的内接四边形的外角等于内对角 10.等于同一角的两个角相等 证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行 3.平行四边形的对边平行4.三角形的中位线平行于第三边 5.梯形的中位线平行于两底6.平行于同一直线的两直线平行7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平等行于第三边 证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角 4.邻补角的平分线互相垂直5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条 6.两条直线相交成直角则两直线垂直 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上 8.利用勾股定理的逆定理9.利用菱形的对角线互相垂直 10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦11.利用半圆上的圆周角是直角 证明线段的和差倍分 1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等 2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段 3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等 4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段 5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等） 证明角的和差倍分 1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同2.利用角平分线的定义 3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 证明线段不等 1.同一三角形中，大角对大边2.垂线段最短 3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大 5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小6.全量大于它的任何一部分 证明两角的不等 1.同一三角形中，大边对大角2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角 3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大 4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大5.全量大于它的任何一部分 证明比例式或等积式 1.利用相似三角形对应线段成比例2.利用内外角平分线定理 3.平行线截线段成比例4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理 5.与圆有关的比例定理：相交弦定理、切割线定理及其推论 6.利用比利式或等积式化得 证明四点共圆 1.对角互补的四边形的顶点共圆2.外角等于内对角的四边形内接于圆 3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧） 4.同斜边的直角三角形的顶点共圆5.到顶点距离相等的各点共圆 二、空间与图形 a：图形的认识： 1：点，线，面 点，线，面：图形是由点，线，面构成的。面与面相交得线，线与线相交得点。点动成线，线动成面，面动成体。 展开与折叠：在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。n棱柱就是底面图形有n条边的棱柱。 一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。 3视图：主视图，左视图，俯视图。 多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。 弧，扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。圆可以分割成若干个扇形。 2：角 线：线段有两个端点。将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。经过两点有且只有一条直线。比较长短：两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 角的度量与表示：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。 角的比较：角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 平行：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 3：相交线与平行线 角：如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。同角或等角的余角/补角相等。对顶角相等。同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行，反之亦然。 4：三角形 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。三角形三个内角的和等于180度。三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形。直角三角形的两个锐角互余。三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形中，连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。 图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。全等三角形：全等三角形的对应边/角相等。条件：sss/aas/asa/sas/hl。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。 5：四边形 平行四边形的性质：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。平行四边形的对边/对角相等。平行四边形的对角线互相平分。 平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形/一组对边平行且相等的四边形/两组对边分别相等的四边形/定义。 菱形：一组邻边相等的平行四边形是菱形。领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。 矩形与正方形：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的对角线相等，四个角都是直角。对角线相等的平行四边形是矩形。正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。一组邻边相等的矩形是正方形。 梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。两条腰相等的梯形叫等腰梯形。一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之亦然。 多边形：n边形的内角和等于（n-2）180度。多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度） 平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。 中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 b：图形与变换： 1：图形的轴对称 轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 轴对称图形：角的平分线上的点到这个角