往复曲线运动中自然坐标系的应用

1 / 4 往复曲线运动中自然坐标系的应用 往复曲线运动中自然坐标系的应用 严非男，陈俊，皇甫泉生 （上海理工大学理学院，上海 200093） 摘要：本文分析了往复曲线运动（以单摆为例）中自然坐标系单位矢量正方向的选取，给出了弧坐标的定义，使单摆小球的切向动力学方程得到了统一的表示，并使角位移与弧坐标 s的正负规定相一致，解决了学生学习中的困惑。 关键词：自然坐标系；单位矢量；单摆 多年来，对于自然坐标系中单位矢量的规定，人们不断探讨，提出了各种规则 1-3，在不同场合的应用中各有利弊 4-6。往复曲线运动，是理工科高校大学物理教学中常见的一种质点运动的方式，因为其轨迹已知，此时采用自然坐标系分析质点的运动比较方便。按照普通物理教材 2中自然坐标系切向单位矢量的规定（与质点速度方向同向），分析单向的曲线运动时，图像非常清晰，学生易于理解和接受。但是，笔者在教学实践中发现，分析往复曲线运动（例如，单摆运动）时，不少学生往往对切向合力的正负心存疑惑，不甚理解。本文认为，在这种情况下，根据文献 1中的规则，并进一步明确弧坐标的定义以及速度和加速度的表达式，可以使切向动力学方程得到统一 的表示，较好地解决2 / 4 学生的困惑，同时加深学生对自然坐标系的认识。 一、问题的提出 以单摆为例。如图 1 所示，设 l 为摆线的长度， m 为小球的质量。小球在重力和绳子拉力的作用下，做小角度往复圆弧运动。摆线竖直位置为系统的平衡位置，由此起算，规定逆时针方向的角位移为正，反之为负 7。在自然坐标系中，重力的切向分量与反向，根据牛顿运动定律得： 当很小时， sin，所以 这是一个典型的简谐振动方程，其振动表达式为 式中 m为角振幅，为初相位，它们由初始条件决定；为振动的圆频率。因此 ，单摆在摆角很小时，做角谐振动。 在上述推算中，方程（ 1）中切向力前面的负号是关键所在，但是学生也往往就对这个负号感到困惑。按照教材 上的规定 2，自然 二、自然坐标系中单位矢量的取向，弧坐标的定义、速度和加速度的表达式 本文认为，根据文献 1中的规则，并进一步明确弧坐标的定义以及速度和加速度的表达式，可以使得方程（ 1）普遍成立，并使方程（ 1）中的正负与弧坐标 s 的正负规3 / 4 定相一致，从而较好地解决学生的困惑。 依据文献 1，自然坐标系的法向单位矢量指向曲线的凹侧，切向单位矢量逆时针转动 /2与重合，如图 3 所示。也就是说， 的方向不必随着小球的运动不断地变换。 以轨迹上的平衡位置 O点作为参考点，小球在轨迹上的位置用 O点至小球所在点的弧长 s 来确定， s称为弧坐标，为代数量，规定为与同方向一侧为正值，与反方向一侧为负值。显然， s=l （ 4） 因此， s 和的正负值的规定是相一致的，不会产生矛盾。由平衡位置起算，逆时针方向的角位移为正，此时，s 也为正；反之，两者都为负值。 三、单摆切向动力学方程的普遍性 按照上述的取向规定和弧坐标的定义，再来分段讨论单摆的切向动力学方程，将发现方程（ 1）是普遍成立的。 四、结论 本文分析了往复曲线运动（以单摆为例）中自然坐标系单位矢量正方向的选取，并进一步给出了弧坐标的定义，4 / 4 使单摆小球的切向动力学方程得到了统一的表示，并使角位移的正负与弧坐标 s的正负规定相一致，较好地解决了学生的困惑，加深了学生对自然坐标系的认识和理解。 参考文献： 1马长占。对自然坐标系中的符号规则一文的异议 J.大学物理， 1988，（ 5）： 9-11. 2程守洙，江之永。普通物理学上册 M.第六版。北京：高等教育出版社， xx： 14-16. 3周衍柏。理论力学教程 M.第 3 版。北京：高等教育出版社， 2016： 80. 4陈洛恩，陈时锦，杨红，李梅。自然坐标系浅析J.云南师范大学学报（自然科学版）， 1999， 19（ 5）： 73-76. 5马淑红，王天兴，焦照勇。坐标轴正方向选取对力学问题求解的影响 J.高师理科学刊， 2016， 34（ 3）： 62-65. 6尹海峰，曾春花，岳莉，陈广萍。自然坐标系单位矢量的 新认识 J.铜仁学院学报， 2016， 16（ 4）： 138-