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归纳法证明不等式 数学归纳法证明不等式的本质 数学归纳法证明不等式的典型类型是与数列或数列求和有关的问题，凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n)?g(n)(n?n?)的形式或近似于上述形式。 这种形式的关键步骤是由n?k时，命题成立推导n?k?1时，命题也成立。为了表示的方便，我们记?左n?f(k?1)?f(k)，?右n?g(k?1)?g(k)分别叫做左增量，右增量。那么，上述证明的步骤可表述为 f(k?1)?f(k)?左k?g(k)?左k?g(k)?右k?g(k?1)例1已知an?2n?1，求证： 本题要证后半节的关键是证an1a1a2n?n?(n?n?)23a2a3an?12 2k?1?11?中k?右k即证k?2?2?12 而此式显然成立，所以可以用数学归纳法证明。 而要证前半节的关键是证 12k?1?1?左k?中k即证?k?222?1 而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。 有时，f(n)?g(n)(n?n?)中f(n),g(n)是以乘积形式出现，且f(n)?0,g(n)?0是显然成立的。此时，可记 ?左k?f(k?1)g(k?1)，?右k?f(k)g(k) 分别叫做左增倍，右增倍。那么，用数学归结法证明由n?k时，成立推导 n?k?1成立，可表述为 f(k?1)?f(k)?左k?g(k)?左k?g(k)?右k?g(k?1) 和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“0则x1 设f(x)=x-lnxf(x)=1-1/x0 则f(x)为增函数f(x)f(1)=1 则xlnx 则可知道等式成立。(运用的是定理，f(x),g(x)0.且连续又f(x)=g(x).则在相同积分区间上的积分也是=) 追问 请问这个“定理”是什么定理? 我是学数学分析的，书上能找到么? 回答 能你在书里认真找找，不是定理就是推论埃。 叫做积分不等式性 数学归纳法不等式的做题思路：1、n等于最小的满足条件的值，说明一下这时候成立，一般我们写显然成立，无须证明 2、假设n=k的时候成立，证明n=k+1的时候也是成立的，难度在这一步。(含分母的一般用放缩法，含根号的常用分母有理化。) 3、总结，结论成立，一般只要写显然成立。这题大于号应该为小于号。当n=1,12显然假设n=k-1的时候成立即1+1/2+1/3+.+1/(k-1)2(k-1)则当n=k时， 1+1/2+1/3+.+1/(k-1)+1/k2(k-1)+1/k如果有2(k-1)+1/k2k就可，只要1/k2k-2(k-1)=2(k-(k-1)=2/，即只要(k-12n 已知f(n)=1+1/2+1/3+.+1/n(n属于正整数),求证:当n1时,f(2n)n+2/2 (1)n=2时代入成立 (2)假设n=a时候成立 则n=a+1时 f(2(a+1)=f(2a)+1/(2a+1)+1/(2a+2)+1/(2a+3)+1/(2(a+1) f(2a)+1/(2(a+1)+1/(2(a+1)+1/(2(a+1)+1/(2(a+1) 后面相同项一共有2a个 所以上面又=f(2a)+2a/(2(a+1)=f(2a)+1/2 因为f(2a)(a+2)/2故上面大于/2 因此n=a时上式成立的话n=a+1也成立 1/22+1/32+1/42+1/n21-1/n(n2，nn+) “1/22”指2的平方分之1 证明：数学归纳法： 1、当n=2时有1/22=1/41-1/2=1/2 符合原命题。 2、假设当n=k时1/22+1/32+1/42+1/k21-1/k(k2，kn+)成立， 则当n=k+1时有1/22+1/32+1/42+1/k2+1/(k+1)21-1/k+1/(k+1)2=(k3+k2-1)/(k(k+1)2)(k3+k2)/(k(k+1)2)=k/(k+1)=1-1/(k+1)原命题成立 综上可得1/22+1/32+1/42+1/n21-1/n(n2，nn+)成立!。 人教版选修45不等式选讲 课题：用数学归纳法证明不等式 目标： 1、牢固掌握数学归纳法(请您继续关注：)的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。 2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。 3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。 重点、难点： 1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。 2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。 教学过程： 一、复习导入： 1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？ （1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。 （2）步骤：1）归纳奠基; 2）归纳递推。 2、作业讲评：（出示小黑板） 习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+2n=n(n+1) 如采用下面的证法，对吗？ 证明：当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。 假设n=k时，（kn，k1）等式成立， 即2+4+6+8+2k=k(k+1) 当n=k+1时， 2+4+6+8+2k+2(k+1) n=k+1时，等式成立。 由可知，对于任意自然数n，原等式都成立。 （1）学生思考讨论。 （2）师生总结：1）不正确 2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式， 违背了数学归纳法本质：递推性。二、新知探究 明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。(出示小黑板) 例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。an=n:1,4,9,16,25,36,49,64,81,bn=2:2,4,8,16,32,64,128,256,512,（1）学生观察思考（2）师生分析 （3）解：从第5项起，anbn，即n22,nn+（n5） 证明：（1）当n=5时，有5225，命题成立。（2）假设当n=k（k5）时命题成立即k2 当n=k+1时，因为 （k+1）2=k2+2k+1k2+2k+k=k2+3kk2+k2=2k222k=2k+1所以，（k+1）22k+1即n=k+1时，命题成立。 由（1）（2）可知n22n（nn+，n5） 学生思考、小组讨论：放缩技巧：k2+2k+1k2+2k+k；k2+3kk2+k2 归纳假设：2k?1，且x?0，n?n*，n2求证：(1+x)n1+nx. 1； 例3证明:如果n(n为正整数)个正数a1,a2,?,an的乘积a1a2?an?1,那么它们的和a1?a2?ann. 三、当堂检测 1、（1）不等式2n?n4对哪些正整数n成立？证明你的结论。 （2）求满足不等式(1?1n n )?n的正整数n的范围。 2、用数学归纳法证明 2n?2?n2(n?n*) 2.3用数学归纳法证明不等式作业纸班级姓名 1、用数学归纳法证明3n(n3,nn)第一步应验证() a.n=1b.n=2c.n=3d.n=42、观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。 an=n:1,4,9,16,25,36,49,64,81,bn=2:2,4,8,16,32,64,128,256,512,k 2n 3、用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式122?132?1n?1n ?n都成立。 4、若a、b、c三个正数成等差数列，公差d?0，自然数n?2，求证：an?2bn 。 2.3用数学归纳法证明不等式 学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤; 2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式. 一、知识情景： 1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性： 10.验证n取第一个值时命题成立(即nn?时命题成立)(归纳奠基）； 20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k1时命题也成立(归纳递推）. 30.由10、20知，对于一切nn?的自然数n命题都成立！(结论） 要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉. 二、数学归纳法的应用： 例1.用数学归纳法证明不等式sinn?nsin?.（n?n?） 证明：（1）当n=1时，上式左边=sin=右边，不等式成立。 （2）假设当n=k（k1）时命题成立，即有sinkksin 当n=k+1时，sin（k+1）=sinkcos+cosksin sinkcos+cosksin =sinkcos+cosksin sink+sinksin+sin=（k+1）sin 所以当n=k+1时，不等式也成立。 由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。 例2证明贝努力（bernoulli）不等式: 已知x?r,且x?1，且x?0，n?n*，n2求证：(1+x)n1+nx. 证明：（1）当n=2时，由x0得（1+x）2=1+2x+x21+2x,不等式成立。 （2）假设n=k（k2）时，不等式成立，即有（1+x）k1+kx 当n=k+1时， （1+x）k+1=（1+x）（1+x）k（1+x）（1+kx）=1+x+kx+kx21+x+kx=1+（k+1）x所以当n=k+1时，不等式成立 由（1）（2）可知，贝努力不等式成立。 例3证明:如果n(n为正整数)个正数a1,a2,?,an的乘积a1a2?an?1, 那么它们的和a1?a2?ann. 三、当堂检测 1、（1）不等式2n?n4对哪些正整数n成立？证明你的结论。 1（2）求满足不等式(1?)n?n的正整数n的范围。n n2*2?2?n(n?n)2、用数学归纳法证明 证明：（1）当n=1时，2?2?1，不等式成立；当n=2时，2?2?2，不等式成立；当n=3时，2?2?3，不等式成立 *n?k(k?3,k?n)时不等式成立，即2k?2?k2（2）假设当 k?1k222则当n?k?1时，2?2?2(2?2)?2?2k?2?(k?1)?k?2k?3，122232 2kk?3，?2k?3?(k?3)(k?1)?0，（*） k?1222k?122?2?(k?1)?k?2k?3?(k?1)2?2?(k?1)