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浅谈倒奇函数和倒偶函数 李磊 （安徽理工大学化学工程学院，安徽淮南23xx） 关键词奇偶；倒代换；积分函数；互为倒数区间 1定义 形如F（x）=F（1/x）或F（x）=-F（1/x）的函数叫做倒偶函数和倒奇函数。若F（x）=F（1/x）则F（x）为倒偶函数；若F（x）=-F（1/x）则称F（x）为倒奇函数。 2在初等函数中倒置函数的常见例子 F（x）=C，F（x）=logx分别为倒偶函数和倒奇函数。 证明：F（x）=C,F（1/x）F（x）=C为倒偶函数 F（x）=logx=logxF（1/x）=-logx=-F(x)F（x）=logx为倒奇函数。 而F（x）=x，xn，sinx，cosx，tanx，arcsinx，arctanx都不是倒置函数。 3倒置函数的一般表示及其证明 4函数与奇偶函数的对比 4.1奇偶函数与倒置函数的写法 偶函数必满足F（-x）=F（x），倒偶函数必满足F（x）=F（1/x） 奇函数必满足F（-x）=-F（x），倒奇函数必满足F（x）=-F(1/x) 4.2倒偶函数的特殊极值点与偶函数的特殊极值点的比较 倒偶函数的写法由上述推导可得出F（x）=（x)+（1/x）对F（x）求导求导可得F(x)=(x)-1/x2（1/x）F（1）=（1）-（1)=0x=1必为驻点。那么x=1是否为极值点呢？x=1必为极值点。 证明：F(1)=()-（-)而F（1-）=(1-)-（1+)=-(1+)-（1-）=-F（1）由此可见F（x）和F（1/x）必异号。0在（1-，1）和（1,1-）上F(x)的正负号发生了变化，故而得F（1）必为极大值或极小值，进而得x=1必为极值点。 而F（x)为偶函数则可写成F(x)=f(x)+f(-x)进而有F(x）=f(x)-f(-x),F(0）=f(0)-f(0)=0故而x=0必为驻点。F(0+)=f(0+)-f(0-),而F(0-)=f(0-)-f(0+)=-（f(0+)-f(0-)），由此可见由此可见F（0+）和F（0-）必异号。0在（-，0）和（0,）上F(x)的正负号发生了变化，故而得F（0）必为极大值或极小值，进而得x=1必为极值点。 4.3积分证明奇偶性与积分证明正负倒置性的比较 5应用 6应用拓展 由上述探讨知，倒奇函数和倒偶函数有着与奇偶函数性质上极为相似的地方。在教材上以及在其他书上很少见到，但这类函数却十分普遍。用途上十分少见但确实对一些互为倒数区间上的定积分起到作用。 参考文献 朱白.对称区间上奇偶函数的定积分性质的推广J.和田师范专科学校学报:汉文综合版,xx,51(2):188-188. 同济大学应用数学系.高等数学M.5版.北京:高等教育出版社,xx. 费为银,王传玉,项立群,万上海.高等数学M.合肥:中
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