xx届高考数学三角函数知识导航复习教案

1 / 34 XX 届高考数学三角函数知识导航复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第五章 三角函数 高考导航 考试要求重难点击命题展望 1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 . 2.理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 . 3.能利用单位圆中的三角函数线推导出， 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 y sinx， y cosx， y tanx的图象，了解三角函数的周期性 . 4.理解正弦函数、余弦函数在 0,2 上的性质 (如单调 性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等 )，理解正切函数在( ,)上的单调性 . 5.理解同角三角函数的基本关系式： sin2x cos2x 1，tanx. 6.了解函数 y Asin(x ) 的物理意义，能画出函数 y Asin(x ) 的图象，了解参数 A， ， 对函数图象变化的影响 . 7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描2 / 34 述周期变化现象的重要函数模型 . 8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了 解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换 (包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆 ). 9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 .本章重点： 1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用； 2.三角函数的图象与性质， y Asin(x ) ( 0)的性质、图象及变换； 3.用三角函数模型解决实际问题； 4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用 . 本章难点： 1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系； 2.灵活运用三角公式化简、求值、证明； 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式； 5.把实际问题转化为三角函数问题 . 三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型 .三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一 .在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的3 / 34 图象和性质以及图象变换、作图、识图等 .解三角形的问题往往与其他知识 (如立体几何、解析几何、向量等 )相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则 . 知识网络 任意角的三角函数的概念 典例精析 题型一 象限角与终边相同的角 【例 1】若 是第二象限角，试分别确定 2 、的终边所在的象限 . 【解析】因为 是第二象限角， 所以 k360 90 k360 180(kZ). 因为 2k360 180 2 2k360 360(kZ) ，故2 是第三或第四象限角，或角的终边在 y 轴的负半轴上 . 因为 k180 45 2 k180 90(kZ) ， 当 k 2n(nZ) 时， n360 45 2 n360 90 ， 当 k 2n 1(nZ) 时， n360 225 2 n360 270. 所以 2 是第一或第三象限角 . 4 / 34 【点拨】已知角 所在象限，应熟练地确定 2 所在象限 . 如果用 1 、 2 、 3 、 4 分别表示第一、二、三、四象限角，则 12 、 22 、 32 、 42 分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角 (其余略 )，熟记右图，解有关问题就方便多了 . 【变式训练 1】若角 2 的终边在 x轴 上方，那么角 是 ( ) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 c.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 【解析】由题意 2k 2 2k ， kZ ， 得 k k 2 ， kZ. 当 k 是奇数时， 是第三象限角 . 当 k 是偶数时， 是第一象限角 .故选 c. 题型二 弧长公式，面积公式的应用 【例 2】已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是 R. (1)若 60 ， R 10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值 c(c 0)，当 为多少弧度时，该扇形的面积有最 大值？并求出这个最大值 . 【解析】 (1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓， 因为 60 3 ， R 10cm，所以 l 103cm ， S 弓 S 扇 S 1210103 12102sin60 5 / 34 50(3 32)cm2. (2)因为 c 2R l 2R R ，所以 R c2 ， S 扇 12R2 12(c2 )2 c222 4 4c221 4 4c216 ， 当且仅当 4 时，即 2( 2 舍去 )时，扇形的面积有最大值为 c216. 【点拨】用弧长公式 l |R 与扇形面 积公式 S 12lR12R2| 时， 的单位必须是弧度 . 【变式训练 2】已知一扇形的面积为定值 S，当圆心角 为多少弧度时，该扇形的周长 c 有最小值？并求出最小值 . 【解析】因为 S 12Rl，所以 Rl 2S， 所以周长 c l 2R22Rl 24S 4S， 当且仅当 l 2R 时， c 4S， 所以当 lR 2 时，周长 c 有最小值 4S. 题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用 【例 3】 (1)已知角 的终边与函数 y 2x 的图象重合，求sin ； (2)求满足 sinx32 的角 x 的集合 . 【 解析】 (1)由 交点为 ( 55， 255)或 (55， 255)， 所以 sin 255. (2) 找终边：在 y 轴正半轴上找出点 (0， 32)，过该点作平行于 x 轴的平行线与单位圆分别交于 P1、 P2 两点，连接 oP1、6 / 34 oP2，则为角 x 的终边，并写出对应的角 . 画区域：画出角 x 的终边所在位置的阴影部分 . 写集合：所求角 x 的集合是 x|2k 43x2k 3 ， kZ. 【点拨】三角函数是用角 的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题 .利用三角函数线 证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观 . 【变式训练 3】函数 y lgsinx cosx 12 的定义域为 . 【解析】 2k x2k 3 ， kZ. 所以函数的定义域为 x|2k x2k 3 ， kZ. 总结提高 1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小 . 2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如 k360 3 的错误书写 . 3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研 究和理解三角函数的一把钥匙 . 7 / 34 同角三角函数的关系、诱导公式 典例精析 题型一 三角函数式的化简问题 【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将 视为锐角后，再判断所求角的象限 . 【变式训练 1】已知 f(x) 1 x， (34 ， ) ，则 f(sin2) f( sin2) . 【解析】 f(sin2) f( sin2) 1 sin2 1 sin2 (sin cos)2 (sin cos)2 |sin cos| |sin cos|. 因为 (34 ， ) ，所以 sin cos 0， sin cos 0. 所以 |sin cos| |sin cos| sin cos sin cos 2cos. 题型二 三角函数式的求值问题 【例 2】已知向量 a (sin ， cos 2sin) ， b (1,2). (1)若 ab ，求 tan 的值； (2)若 |a| |b|， 0 ，求 的值 . 【解析】 (1)因为 ab ，所以 2sin cos 2sin ， 8 / 34 于是 4sin cos ，故 tan 14. (2)由 |a| |b|知， sin2 (cos 2sin)2 5， 所以 1 2sin2 4sin2 5. 从而 2sin2 2(1 cos2) 4，即 sin2 cos2 1， 于是 sin(2 4) 22. 又由 0 知， 4 2 4 94 ， 所以 2 4 54 或 2 4 74. 因此 2 或 34. 【变式训练 2】已知 tan 12，则 2sincos cos2等于 ( ) 【解析】原式 2sincos cos2sin2 cos2 2tan 11 tan2 85.故选 B. 题型三 三角函数式的简单应用问题 【例 3】已知 2 x 0 且 sinx cosx 15，求： (1)sinx cosx 的值； (2)sin3(2 x) cos3(2 x)的值 . 【解析】 (1)由已知得 2sinxcosx 2425，且 sinx 0cosx， 所以 sinx cosx (sinx cosx)2 1 2sinxcosx1 2425 75. 9 / 34 (2)sin3(2 x) cos3(2 x) cos3x sin3x (cosx sinx)(cos2x cosxsinx sin2x) 75(1 1225) 91125. 【点拨】求形如 sinxcosx 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求 sinxcosx 取值符号 . 【变式训练 3】化简 1 cos4 sin41 cos6 sin6. 【解析】原式 1 (cos2 sin2)2 2sin2cos21 (cos2 sin2)(cos4 sin4 sin2cos2) 2sin2cos21 (cos2 sin2)2 3sin2cos2 23. 总结提高 1.对于同角三角函数基本关系式中 “ 同角 ” 的含义，只要是“ 同一个角 ” ，那么基本关系式就成立，如： sin2( 2) cos2( 2) 1 是恒成立的 . 2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单 . 两角和与差、二倍角的三角函数 典例精析 题型一 三角函数式的化简 【例 1】化简 (0 ). 【解析】因为 0 ，所以 0 2 2 ， 10 / 34 所以原式 cos. 【点拨】先从角度统一入手，将 化成 2 ，然后再观察结构特征，如此题中 sin22 cos22 cos. 【变式训练 1】化简 2cos4x 2cos2x 122tan(4 x)sin2(4 x). 【解析】原式 12(2cos2x 1)22tan(4 x)cos2(4 x) cos22x4cos(4 x)sin(4 x) cos22x2sin(2 2x) 12cos2x. 题型二 三角函数式的求值 【例 2】已知 sinx2 2cosx2 0. (1)求 tanx 的值； (2)求 cos2x2cos(4 x)sinx 的值 . 【解析】 (1)由 sinx2 2cosx2 0tanx2 2，所以tanx 221 22 43. (2)原式 cos2x sin2x2(22cosx 22sinx)sinx (cosx sinx)(cosx sinx)(cosx sinx)sinx cosxsinxsinx 1tanx 1 ( 34) 1 14. 【变式训练 2】 2cos5 sin25sin65 . 【解析】原式 2cos(30 25) sin25cos25 3cos25cos25 3. 题型三 已知三角函数值求解 11 / 34 【例 3】已知 tan( ) 12， tan 17，且 ， (0 ，) ，求 2 的值 . 【解析】因为 tan2( ) 2tan( )1 tan2( ) 43， 所以 tan(2 ) tan2( ) tan2( ) tan1 tan2( )tan 1， 又 tan tan( ) tan( ) tan1 tan( )tan 13， 因为 (0 ， ) ，所以 0 4 ， 又 2 ，所以 2 0，所以 2 34. 【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小 . 【变式训练 3】若 与 是两锐角，且 sin( ) 2sin ，则 与 的大小关系是 ( ) A. B. c. D. 以上都有可能 【解析】方法一：因为 2sin sin( )1 ，所以sin12 ，又 是锐角，所以 30. 又当 30 ， 60 时符合题意，故选 B. 方 法二：因为 2sin sin( ) sincos cossin sin sin ， 12 / 34 所以 sin sin. 又因为 、 是锐角，所以 ，故选 B. 总结提高 1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具 . (1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题； (2)对公式会 “ 正用 ” 、 “ 逆用 ” 、 “ 变形使用 ” ； (3)掌握角的演变规律，如 “2 ( ) ( )” 等 . 2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化 ，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件 . 三角恒等变换 典例精析 题型一 三角函数的求值 【例 1】已知 0 4 ， 0 4 ， 3sin sin(2 ) ， 4tan2 1 tan22 ，求 的值 . 【解析】由 4tan2 1 tan22 ，得 tan 12. 由 3sin sin(2 ) 得 3sin( ) sin( ) ， 所以 3sin( )cos 3cos( )sin sin( )cos cos( )sin ， 13 / 34 即 2sin( )cos 4cos( )sin ，所以 tan( ) 2tan 1. 又因为 、 (0 ， 4) ，所以 4. 【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向 . 【变式训练 1】如果 tan( ) 35， tan( 4) 14，那么 tan( 4) 等于 ( ) 【解析】因为 4 ( ) ( 4) ， 所以 tan( 4) tan( ) ( 4) tan( ) tan( 4)1 tan( )tan( 4) 723. 故选 c. 题型二 等式的证明 【例 2】求证： sinsin sin(2 )sin 2cos( ). 【证明】证法一： 右边 sin( ) 2cos( )sinsin sin( )cos cos( )sinsin sin( ) sin sinsin 左边 . 证法二： sin(2 )sin sinsin sin(2 ) sin sin 2cos( )sinsin 2cos( ) ， 14 / 34 所以 sin(2 )sin 2cos( ) sinsin. 【点拨】证法一将 2 写成 ( ) ，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用 “ 变更问题法 ” 证明，简捷而新颖 . 【变式训练 2】已知 5sin 3sin( 2) ，求证： tan( ) 4tan 0. 【证明】因为 5sin 3sin( 2) ，所以 5sin( ) 3sin( ) ， 所以 5sin( )c os 5cos( )sin 3sin( )cos 3cos( )sin ， 所以 2sin( )cos 8cos( )sin 0. 即 tan( ) 4tan 0. 题型三 三角恒等变换的应用 【例 3】已知 ABc 是非直角三角形 . (1)求证： tanA tanB tanc tanAtanBtanc； (2)若 A B 且 tanA 2tanB，求证： tanc sin2B3 cos2B； (3)在 (2)的条件下，求 tanc 的最大值 . 【解析】 (1)因为 c (A B)， 所以 tanc tan(A B) (tanA tanB)1 tanAtanB， 所以 tanc tanAtanBtanc tanA tanB， 即 tanA tanB tanc tanAtanBtanc. (2)由 (1)知 tanc (tanA tanB)1 tanAtanB tanB115 / 34 2tan2B sinBcosBcos2B 2sin2B sin2B2(2 1 cos2B2) sin2B3 cos2B. (3)由 (2)知 tanc tanB1 2tan2B 12tanB 1tanB122 24， 当且仅当 2tanB 1tanB，即 tanB 22 时，等号成立 . 所以 tanc 的最大值为 24. 【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识 . 【变式训练 3】在 ABc 中， tanB tanc 3tanBtanc 3，3tanA 3tanB 1 tanAtanB，试判断 ABc 的形状 . 【解析】由已知得 tanB tanc 3(1 tanBtanc)， 3(tanA tanB) (1 tanAtanB)， 即 tanB tanc1 tanBtanc 3， tanA tanB1 tanAtanB 33. 所以 tan(B c) 3， tan(A B) 33. 因为 0 B c ， 0 A B ，所以 B c 3 ， A B 56. 又 A B c ，故 A 23 ， B c 6. 所以 ABc 是顶角为 23 的等腰三角形 . 总结提高 三角恒等式的证明，一般考虑三个 “ 统一 ” ： 统一角度，即化为同一个角的三角函数； 统一名称，即化为同一种三16 / 34 角函数； 统一结构形式 . 三角函数的图象和性质 典例精析 题型一 三角函数的周期 性与奇偶性 【例 1】已知函数 f(x) 2sinx4cosx4 3cosx2. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)令 g(x) f(x 3) ，判断 g(x)的奇偶性 . 【解析】 (1)f(x) 2sinx4cosx4 3cosx2 sinx2 3cosx2 2sin(x2 3) ， 所以 f(x)的最小正周期 T 212 4. (2)g(x) f(x 3) 2sin12(x 3) 3 2sin(x2 2) 2cosx2. 所以 g(x)为偶函数 . 【点拨】解决三角函数的有关性质问 题，常常要化简三角函数 . 【变式训练 1】函数 y sin2x sinxcosx 的最小正周期 T等于 ( ) B.c.2D.3 【解析】 y 1 cos2x2 12sin2x 22(22sin2x 22cos2x) 12 22sin(2x 4) 12，所以 T 22 . 故选 B. 题型二 求函数的值域 17 / 34 【例 2】求下列函数的值域： (1)f(x) sin2xsinx1 cosx； (2)f(x) 2cos(3 x) 2cosx. 【解析】 (1)f(x) 2sinxcosxsinx1 cosx 2cosx(1cos2x)1 cosx 2cos2x 2cosx 2(cosx 12)2 12， 当 cosx 1 时， f(x)max 4，但 cosx1 ，所以 f(x) 4， 当 cosx 12 时， f(x)min 12，所以函数的值域为 12， 4). (2)f(x) 2(cos3cosx sin3sinx) 2cosx 3cosx 3sinx 23cos(x 6) ， 所以函数的值域为 23， 23. 【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突 破这一难点的关键 . 【变式训练 2】求 y sinx cosx sinxcosx 的值域 . 【解析】令 t sinx cosx，则有 t2 1 2sinxcosx，即sinxcosx t2 12. 所以 y f(t) t t2 12 12(t 1)2 1. 又 t sinx cosx 2sin(x 4) ，所以 2t2. 故 y f(t) 12(t 1)2 1( 2t2) ， 从而 f( 1)yf(2) ，即 1y2 12. 所以函数的值域为 1， 2 12. 18 / 34 题型三 三角函数的单调性 【例 3】已知函数 f(x) sin(x )( 0， | )的部分图象如图所示 . (1)求 ， 的值； (2)设 g(x) f(x)f(x 4) ，求函数 g(x)的单调递增区间 . 【解析】 (1)由图可知， T 4(2 4) ， 2T 2. 又由 f(2) 1 知， sin( ) 1，又 f(0) 1，所以sin 1. 因为 | ，所以 2. (2)f(x) sin(2x 2) cos2x. 所以 g(x) ( cos2x) cos(2x 2) cos2xsin2x12sin4x. 所以当 2k 24x2k 2 ，即 k2 8xk2 8(kZ) 时 g(x)单调递增 . 故函数 g(x)的单调增区间为 k2 8 ， k2 8(kZ). 【点拨】观察图象，获得 T 的值，然后再确定 的值，体现了数形结合的思想与方法 . 【变式训练 3】使函数 y sin(6 2x)(x0 ， ) 为增函数的区间是 ( ) A.0， 3B.12 ， 712 c.3 ， 56D.56 ， 19 / 34 【解析】利用复合函数单调性 “ 同增异减 ” 的原则判定，选c. 总结提高 1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象 . 2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间 . 3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响 . 4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性 . 函数 y Asin(x )的图象和性质 典例精析 题型一 “ 五点法 ” 作函数图象 【例 1】设函数 f(x) sinx 3cosx( 0)的周期为 . (1)求它的振幅、初相 ； (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数 f(x)的图象可由 y sinx 的图象经过怎样的变换得到 . 【解析】 (1)f(x) sinx 3cosx 2(12sinx 32cosx) 2sin(x 3) ， 又因为 T ，所以 2 ，即 2，所以 f(x)2sin(2x 3) ， 所以函数 f(x) sinx 3cosx( 0)的振幅为 2，初相20 / 34 为 3. (2)列出下表，并描点画出图象如图所示 . (3)把 y sinx 图象上的所有点向左平 移 3 个单位，得到 y sin(x 3) 的图象，再把 y sin(x 3) 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变 )，得到 y sin(2x 3) 的图象，然后把 y sin(2x 3) 的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍 (横坐标不变 )，即可得到 y 2sin(2x 3) 的图象 . 【点拨】用 “ 五点法 ” 作图，先将原函数化为 y Asin(x )(A 0， 0)形式，再令 x 0， 2 ， ， 32 ，2 求出相应的 x 值及相应的 y 值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连 接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象 . 【变式训练 1】函数 的图象如图所示，则 ( ) 12， 12， 6 12， 12， 3 12， 2， 6 2， 12， 3 21 / 34 【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率 k 12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数 由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为 T 4(83 53) 4 ，故 12.将点 (53 ， 0)代 入解析式 y2sin(12x ) ，得 1253 k ， kZ ，所以 k 56 ， kZ. 结合各选项可知，选项 A 正确 . 题型二 三角函数的单调性与值域 【例 2】已知函数 f(x) sin2x 3sinxsin(x 2) 2cos2x ， xR( 0)在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 6. (1)求 的值； (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 6 个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图象，求函数 g(x)的最大值及单调递减区间 . 【解析】 (1)f(x) 32sin2x 12cos2x 32 sin(2x 6) 32. 令 2x 6 2 ，将 x 6 代入可得 1. (2)由 (1)得 f(x) sin(2x 6) 32，经过题设的变化得到函数 g(x) sin(12x 6) 32， 当 x 4k 43 ， kZ 时，函数 g(x)取得最大值 52. 令 2k 212x 62k 32 ， 22 / 34 即 4k 43 ， 4k 103(kZ) 为函数的单调递减区间 . 【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换 . 【变式训练 2】若将函数 y 2sin(3x ) 的图象向右平移4 个单位后得到的图象关于点 (3 ， 0)对称，则 | 的最小值是 ( ) A.4B.3c.4 【解析】将函数 y 2sin(3x ) 的图象向右平移 4 个单位后得到 y 2sin3(x 4) 2sin(3x 34 )的图象 . 因为该函数的图象关于点 (3 ， 0)对称，所以 2sin(33 34 ) 2sin(4 ) 0， 故有 4 k(kZ) ，解得 k 4(kZ). 当 k 0 时 ， | 取得最小值 4 ，故选 A. 题型三 三角函数的综合应用 【例 3】已知函数 y f(x) Asin2(x )(A 0， 0,0 2) 的最大值为 2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点 (1,2). (1)求 的值； (2)求 f(1) f(2) f(XX). 【解析】 (1)y Asin2(x ) A2 A2cos(2x 2) ， 23 / 34 因为 y f(x)的最大值为 2，又 A 0， 所以 A2 A2 2，所以 A 2， 又因为其图象相邻两对称轴间的距离为 2， 0， 所以 1222 2，所以 4. 所以 f(x) 22 22cos(2x 2) 1 cos(2x 2) ， 因为 y f(x)过点 (1,2)，所以 cos(2 2) 1. 所以 2 2 2k (kZ) ， 解得 k 4(kZ) ， 又因为 0 2 ，所以 4. (2)方法一：因为 4 ， 所以 y 1 cos(2x 2) 1 sin2x ， 所以 f(1) f(2) f(3) f(4) 2 1 0 1 4， 又因为 y f(x)的周期为 4,XX 4502. 所以 f(1) f(2) f(XX) 4502 XX. 方法二：因为 f(x) 2sin2(4x ) ， 所以 f(1) f(3) 2sin2(4 ) 2sin2(34 ) 2， f(2) f(4) 2sin2(2 ) 2sin2( ) 2， 所以 f(1) f(2) f(3) f(4) 4， 又因为 y f(x)的周期为 4,XX 4502. 所以 f(1) f(2) f(XX) 4502 XX. 【点拨】函数 y Acos(x ) 的对称轴由 x k ，可得 x k ，两相邻对 称轴间的距离为周期的一半，24 / 34 解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决 . 【变式训练 3】已知函数 f(x) Acos2x 2(A 0， 0)的最大值为 6，其相邻两条对称轴间的距离为 4，则 f(2)f(4) f(6) f(20) . 【解析】 f(x) Acos2x 2 A1 cos2x2 2Acos2x2 A2 2，则由题意知 A 2 6， 22 8，所以A 4， 8 ，所以 f(x) 2cos4x 4，所以 f(2) 4，f(4) 2， f(6) 4， f(8) 6， f(10) 4， 观察周期性规律可知 f(2) f(4) f(20) 2(4 2 4 6) 4 2 38. 总结提高 1.用 “ 五点法 ” 作 y Asin(x ) 的图象，关键是五个点的选取，一般令 x 0， 2 ， ， 32 ， 2 ，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整 x 的取值，以便列表时能使 x 在给定的区间内取值 . 2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母 x 本身而言的，无论沿 x 轴平移还是伸缩，变化的总是x. 3.在解决 y Asin(x ) 的有关性质时，应将 x 视25 / 34 为一个整体 x 后再与基本函数 y sinx 的性质对应求解 . 正弦定理和余弦定理 典例精析 题型一 利用正、余弦定理解三角形 【例 1】在 ABc 中， AB 2， Bc 1， cosc 34. (1)求 sinA 的值； (2)求的值 . 【解析】 (1)由 cosc 34 得 sinc 74. 所以 sinA BcsincAB 1742 148. (2)由 (1)知， cosA 528. 所以 cosB cos(A c) cosAcosc sinAsinc 15232 7232 24. 所以 ( ) 1 12cosB 1 12 32. 【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识 . 【变式训练 1】在 ABc 中，已知 a、 b、 c 为它的三边，且三角形的面积为 a2 b2 c24，则 c . 【解析】 S a2 b2 c24 12absinc. 所以 sinc a2 b2 c22ab cosc.所以 tanc 1， 又 c(0 ， ) ，所以 c 4. 题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题 26 / 34 【例 2】设 ABc 是锐角三角形， a、 b、 c 分别是内角 A、 B、c 所对的边长，并且 sin2A sin(3 B)sin(3 B)sin2B. (1)求角 A 的值； (2)若 12， a 27，求 b， c(其中 b c). 【解析】 (1)因为 sin2A (32cosB 12sinB)(32cosB 12sinB) sin2B 34cos2B 14sin2B sin2B 34，所以 sinA 32.又 A 为锐角，所以 A 3 . (2)由 12 可得 cbcosA 12. 由 (1)知 A 3 ，所以 cb 24. 由余弦定理知 a2 c2 b2 2cbcosA，将 a 27 及 代入得c2 b2 52. 2 ，得 (c b)2 100，所以 c b 10. 因此， c， b 是一元二次方程 t2 10t 24 0 的两个根 . 又 b c，所以 b 4， c 6. 【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力 . 【变式训练 2】在 A Bc 中， a、 b、 c 分别是 A、 B、 c 的对边，且满足 (2a c)cosB bcosc. (1)求角 B 的大小； 27 / 34 (2)若 b 7， a c 4，求 ABc 的面积 . 【解析】 (1)在 ABc 中，由正弦定理得 a 2RsinA， b 2RsinB， c 2Rsinc， 代入 (2a c)cosB bcosc， 整理得 2sinAcosB sinBcosc sinccosB， 即 2sinAcosB sin(B c) sinA， 在 ABc 中， sinA 0,2cosB 1， 因为 B 是三角形的内角，所以 B 60. (2)在 ABc 中，由余弦定理得 b2 a2 c2 2accosB (a c)2 2ac 2accosB， 将 b 7， a c 4 代入整理，得 ac 3. 故 SABc 12acsinB 32sin60 334. 题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用 【例 3】 (XX 陕西 )如图所示， A， B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点 .现位于 A 点北偏东 45 ， B点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60 且与 B点相距 203海里的 c点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里 /小时，则该救援船到达 D 点需要多长时间？ 【解析】由题意知 AB 5(3 3)(海里 )， DBA 90 60 30 ， DAB 90 45 45 ，所以 ADB 180 (45 30) 105. 28 / 34 在 DAB 中，由正弦定理得 DBsinDAB ABsinADB ， 所以 DB 53(3 1)3 12 103(海里 ). 又 DBc DBA ABc 30 (90 60) 60 ， Bc 203 海里， 在 DBc 中，由余弦定理得 cD2 BD2 Bc2 2BDBccosDBc 300 1200 210320312 900， 所以 cD 30(海里 )，则需要的时间 t 3030 1(小时 ). 所以，救援船到达 D 点需要 1 小时 . 【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是： (1)根据题意，抽象地构造出三角形； (2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系； (3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解； (4)给出结论 . 【变式训练 3】如图，一船在海上由西向东航行，在 A 处测得某岛 m 的方位角为北偏东 角，前进 mkm 后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 角，已知该岛周围 nkm 范围内 (包括边界 )有暗礁，现该船继续东行，当 与 满足条件 时，该船没有触礁危险 . 【解析】由题可知，在 ABm 中，根据正弦定理得 Bmsin(9029 / 34 ) msin( ) ，解得 Bm mcossin( ) ，要使船 没 有 触 礁 危 险 需 要 Bmsin(90 ) mcoscossin( ) n.所以 与 的关系满足mcoscos nsin( ) 时，船没有触礁危险 . 总结提高 1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一 种内在联系，如证明两内角 A B 与 sinA sinB 是一种等价关系 . 2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形 (如因式分解、配方 )求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解 . 3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解 . 三角函数的综合应用 典例精析 题型一 利用三角函数的性质解应用题 【例 1】如图， ABcD 是一块边长为 100m 的正方形地皮，其中 AST 是一半径为 90m 的扇形小山，其余部分都是平地 .一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P在上，相邻两边 cQ、 cR 分别落在正方形的边 Bc、 cD 上，求矩形停车场 PQcR 面积的最大值和最小值 . 30 / 34 【解析】如图，连接 AP，过 P 作 PmAB 于 m. 设 PAm ， 02 ， 则 Pm 90sin ， Am 90cos ， 所以 PQ 100 90cos ， PR 100 90sin ， 于是 S 四边形 PQcR PQPR (100 90cos)(100 90sin) 8100sincos 9000(sin cos) 10000. 设 t sin cos ，则 1t2 ， sincos t2 12. S 四边形 PQcR 8100t2 12 9000t 10000 4050(t 109)2 950(1t2).