xx届高考数学不等式第一轮基础知识点复习教案

1 / 12 XX 届高考数学不等式第一轮基础知识点复习教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 第七编不等式 不等关系与不等式 1.已知 -1 a 0,那么 -a,-a3,a2 的大小关系是 . 答案 -a a2 -a3 2.若 m 0,n 0且 m+n 0，则 -n， -m， m， n 的大小关系是 . 答案 m -n n -m 3.已知 a 0,-1 b 0,那么 a,ab,ab2的大小关系是 . 答案 ab ab2 a 4.设 a=2-,b=-2,c=5-2,则 a,b,c的大小关系 为 . 答案 a b c 5.设甲： m、 n 满足乙： m、 n 满足那么甲是乙的条件 . 答案必要不充分 例 1（ 1）设 x y 0,试比较 (x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小； （ 2）已知 a,b,c 正实数 ，且 a2+b2=c2,当 nN,n 2 时比较 cn与 an+bn的大小 . 2 / 12 解（ 1）方法一（ x2+y2） (x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y) x2+y2-(x+y)2 =-2xy(x-y), x y 0,xy 0,x-y 0, -2xy(x-y) 0, (x2+y2)(x -y) (x2-y2)(x+y). 方法二 x y 0,x -y 0,x2 y2,x+y 0. (x2+y2)(x -y) 0,(x2-y2)(x+y) 0, 0 = 1, (x2+y2)(x -y) (x2-y2)(x+y). (2)a,b,c 正实数 ， an,bn,cn 0, 而 =+. a2+b2=c2, 则 +=1, 0 1,0 1. nN,n 2, , , =+ =1, an+bn cn. 例 2 已知 a、 b、 c 是任意的实数，且 a b,则下列不等式恒成立的是 . (a+c)4 (b+c)4ac2 bc2 lg|b+c| lg|a+c|(a+c) (b+c) 答案 3 / 12 例 3（ 14 分）已知 -1 a+b 3 且 2 a-b 4,求 2a+3b 的取值范围 . 解设 2a+3b=m(a+b)+n(a-b), ,4 分 m=,n= -.6分 2a+3b=(a+b) -(a-b).7 分 -1 a+b 3,2 a-b 4, - (a+b) ,-2 -(a-b) -1,10 分 - (a+b)-(a-b) ,12分 即 - 2a+3b .14 分 1.（ 1）比较 x6+1与 x4+x2的大小，其中 xR; (2)设 aR, 且 a0, 试比较 a 与的大小 . 解（ 1）（ x6+1） -（ x4+x2） =x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1) =(x2-1)2(x2+1). 当 x=1 时， x6+1=x4+x2; 当 x1 时， x6+1 x4+x2. （ 2） a-= 当 -1 a 0 或 a 1 时 ,a； 当 a -1 或 0 a 1 时 ,a； 4 / 12 当 a=1 时 ,a=. 2.适当增加不等式条件使下列命题成立： （ 1）若 a b,则 acbc; (2)若 ac2 bc2,则 a2 b2; (3)若 a b,则 lg(a+1) lg(b+1); (4)若 a b,c d,则 ; (5)若 a b,则 . 解（ 1）原命题改为：若 a b 且 c0 ，则 acbc, 即增加条件 “c0”. (2)由 ac2 bc2 可得 a b,但只有 b0 时，才有 a2 b2,即增加条件 “b0”. (3)由 a b 可得 a+1 b+1,但作为真数，应有 b+1 0,故应加条件 “b -1”. （ 4）成立的条件有多种，如 a b 0,c d 0,因此可增加条件 “b 0,d 0”. 还可增加条件为 “a 0,c 0,d0”. (5)成立的条件是 a b,ab 0 或 a 0,b 0, 故增加条件为 “ab 0”. 3.设 f(x)=ax2+bx,1f( -1)2,2f(1)4, 求 f(-2)的取值范围 . 解方法一设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n 为待定系数 ), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 5 / 12 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b, 于是得 ,解得 , f( -2)=3f(-1)+f(1). 又 1f( -1)2,2f(1)4, 53f( -1)+f(1)10, 故 5f( -2)10. 方法二由 , 得 , f( -2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又 1f( -1)2,2f(1)4, 53f( -1)+f(1)10, 故 5f( -2)10. 方法三由确定的平面区域如图 . 当 f(-2)=4a-2b过点 A 时 , 取得最小值 4 -2=5, 当 f(-2)=4a-2b过点 B(3,1)时 , 取得最大值 43 -21=1 0, 5f( -2)10. 一、填空题 1.已知 a,b,c满足 c b a 且 ac 0，则下列不等式中恒成立的是（填序号） . 0 0 6 / 12 答案 2.（ XX姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数 a 满足 ab2 a ab,则实数 b 的取值范围为 . 答案（ - ， -1） 3.(XX苏、锡、常、镇三检 )已知三个不等式： ab 0，bc-ad 0,- 0(其中 a,b,c,d均为实数 ),用其中两个不等式作为条件 ,余下的一个不等式作为结论组成一个命题 ,可组成的 正确命题的个数为个 . 答案 3 4.已知函数 f(x)=log2(x+1),设 a b c 0,则 ,的大小关系为 . 答案 5.若 x y 1,且 0 a 1,则 ax ay;logax logay;x -a y-a;logxa logya. 其中不成立的有个 . 答案 3 6.已知 a+b 0，则 +与 +的大小关系是 . 答案 + 7.给出下列四个命题： 若 a b 0,则 ; 若 a b 0,则 a- b-; 若 a b 0,则 ; 7 / 12 设 a,b是互不相等的正数，则 |a-b|+2. 其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 答案 二、解答题 8.比较 aabb与 abba（ a,b为不相等的正数）的大小 . 解 =aa-bbb-a=, 当 a b 0 时， 1,a-b 0, 1； 当 0 a b 时， 1,a-b 0, 1. 综上所述，总有 aabb abba. 9.已知奇函数 f(x)在区间 (-,+) 上是单调递减函数 ,R 且 + 0,+ 0,+ 0. 试说明 f()+f()+f()的值与 0 的关系 . 解由 + 0,得 -. f(x) 在 R 上是单调减函数 ,f() f(-). 又 f(x) 为奇函数 ,f() -f(),f()+f() 0, 同理 f()+f() 0,f()+f() 0, f()+f()+f() 0. 10.某个电脑用户计划使用不超过 1000 元的资金购买单价分别为 80元、 90 元的单片软件和盒装磁盘 .根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 4 盒，写出满足上述所有不等关系的不等式 . 解设买软件 x 片、磁盘 y 盒 , 8 / 12 则 x、 y 满足关系： . 11.已知 a 0,a2-2ab+c2=0,bc a2.试比较 a,b,c的大小 . 解 bc a2 0,b,c 同号 . 又 a2+c2 0,a 0,b= 0,c 0, 由 (a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)0,b -c0. 当 b-c 0,即 b c 时 , 由得 c a2 即 (a-c)(2a2+ac+c2) 0. a 0,b 0,c 0,2a2+ac+c2 0, a -c 0,即 a c,则 a c b； 当 b-c=0,即 b=c时 , bc a2,b2 a2,即 ba. 又 a2 -2ab+c2=(a-b)2=0a=b 与 ab 矛盾 , b -c0. 综上可知 :a c b. 一元二次不等式及其解法 1.下列结论正确的是 . 不等式 x24 的解集为 x|x2 不等式 x2-9 0 的解集为 x|x 3 不等式 (x-1)2 2 的解集为 x|1- x 1+ 9 / 12 设 x1,x2 为 ax2+bx+c=0 的两个实根，且 x1 x2,则不等式 ax2+bx+c 0的解集为 x|x1 x x2 答案 2.（ XX湖南理）不等式 0 的解集是 . 答案（ -1， 2 3. （ XX 天 津 理 ） 已 知 函 数 f(x)= 则 不 等 式x+(x+1)f(x+1)1 的解集是 . 答案 x|x -1 4.在 R 上定义运算 :xy=x(1-y).若不等式 (x-a)(x+a) 1 对任意实数 x 成立 ,则 a 的取值范围是 . 答案 - a 5.(XX江苏， 4)A=x|(x-1)2 3x-7，则 AZ 的元素的个数为 . 答案 0 例 1 解不等式 (x2 -9)-3x. 解原不等式可化为 -x2+x2 -3x, 即 2x2-3x-70. 解方程 2x2-3x-7=0,得 x=. 所以原不等式的解集为 . 例 2 已知不等式 ax2+bx+c 0 的解集为 (,),且 0 ,求不10 / 12 等式 cx2+bx+a 0 的解集 . 解方法一由已知不等式的解集为 (， )可得 a 0, ，为方程 ax2+bx+c=0 的两根， 由根与系数的关系可得 a 0, 由 得 c 0, 则 cx2+bx+a 0可化为 x2+ 0, 得 =- 0, 由 得 = 0, 、为方程 x2+x+=0的两根 . 0 , 不等式 cx2+bx+a 0 的解集为 . 方法二由已知不等式解集为 (,),得 a 0, 且，是 ax2+bx+c=0 的两根 ， += -,=, cx2+bx+a 0x2+x+1 0 ()x2-(+)x+1 0(x-1)(x-1) 0 0. 0 , ,x 或 x , cx2+bx+a 0的解集为 . 例 3 已知不等式 0(aR). (1)解这个关于 x 的不等式 ; 11 / 12 (2)若 x=-a 时不等式成立 ,求 a 的取值范围 . 解 (1)原不等式等价于 (ax-1)(x+1) 0. 当 a=0时 ,由 -(x+1) 0,得 x -1; 当 a 0 时 ,不等式化为 (x+1) 0, 解得 x -1 或 x ; 当 a 0 时 ,不等式化为 (x+1) 0; 若 -1,即 -1 a 0,则 x -1; 若 =-1,即 a=-1,则不等式解集为空集 ; 若 -1,即 a -1,则 -1 x . 综上所述 , a -1 时 ,解集为 ; a=-1 时 ,原不等式无解 ; -1 a 0 时 ,解集为 ; a=0时 ,解集为 x|x -1; a 0 时 ,解集为 . (2)x= -a 时不等式成立 , 0,即 -a+1 0, a 1,即 a 的取值范围为 a 1. 例 4（ 14 分）已知 f(x)=x2-2ax+2,当 x -1， + ）时，f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围 . 解方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2, 此二次函数图象的对称轴为 x=a,2分 12 / 12 当 a( -, -1)时，结合图象知 ,f（ x)在 -1， + ）上单调递增， f(x)mi