xx届高考数学平面向量知识导航复习教案

1 / 15 XX 届高考数学平面向量知识导航复习教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第四章 平面向量 高考导航 考试要求重难点击命题展望 1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景； (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； (3)理解向量的几何表示 . 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； (3)了解向量线性运算的 性质及其几何意义 . 3.平面向量的基本定理及其坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义； (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件 . 4.平面向量的数量积 2 / 15 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义； (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系； (3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 . 5.向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题； (2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题 .本章重点： 1.向量的各种运算； 2.向量的坐标运算及数形结合的思想； 3.向量的数量积在证明有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中的应用 . 本章难点： 1.向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用； 2.向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用 . 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，同时又是数形结合思想运用的典范，正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的3 / 15 “ 双重身份 ” ，所以它成为中学数学知识的一个交汇点 .在高考中，不仅注重考查向量本身的基础知识和方法，而且常与解析几何、三角函数、数列等一起进行综合考查 . 在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值 . 知识网络 平面向量的概念及线性运算 典例精析 题型一 向量的有关概念 【例 1】下列命题： 向量的长度与的长度相等 ； 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； 向量与向量是共线向量，则 A、 B、 c、 D 必在同一直线上 . 其中真命题的序号是 . 【解析】 对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故 错； 显然错；与是共线向量，则 A、 B、 c、D 可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故 错 .故是真命题的只有 . 4 / 15 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可 . 【变式训练 1】下列各式： | a|； (ab)c a(bc)； ； 在任意四边形 ABcD中， m 为 AD的中点， N 为 Bc 的中点，则 2； a (cos ， sin) ， b (cos ， sin) ，且 a 与 b 不共线，则 (a b)(a b). 其中正确的个数为 ( ) 【解析】选 D.|a|正确； (ab)ca(bc) ；正确；如下图所示， =+且 =+， 两式相加可得 2，即命题 正确； 因为 a， b 不共线，且 |a| |b| 1，所以 a b， a b 为菱形的两条对角线， 即得 (a b)(a b). 所以命题 正确 . 5 / 15 题型二 与向量线性运算有关的问题 【例 2】如图， ABcD 是平行四边形， Ac、 BD交于点 o，点 m在线段 Do上，且 =，点 N 在线段 oc上 ,且 =,设 =a,=b,试用 a、b 表示， . 【解析】在 ABcD 中， Ac， BD交于点 o， 所以 12 12( ) 12(a b)， 12 12( ) 12(a b). 又 13， 13， 所以 b 13 b 1312(a b) 16a 56b， 13 43 4312(a b) 23(a b). 所以 23(a b) (16a 56b) 12a 16b. 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形 . 【变式训练 2】 o 是平面 上一点， A、 B、 c 是平面 上不共线的三点，平面 内的动点 P 满足 ( )，若 12时，则 ( )的值为 . 【解析】由已知得 ( )， 6 / 15 即 ( )，当 12时，得 12( )， 所以 2，即， 所以， 所以 0， 所以 ( ) 0 0，故填 0. 题型三 向量共线问题 【例 3】设两个非零向量 a 与 b 不共线 . (1)若 a b， 2a 8b， 3(a b)， 求证： A， B， D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka b 和 a kb共线 . 【解析】 (1)证明：因为 a b， 2a 8b， 3(a b)， 所以 2a 8b 3(a b) 5(a b) 5， 所以，共线 .又因为它们有公共点 B， 所以 A， B， D 三点共线 . (2)因为 ka b 和 a kb共线， 所以存在实数 ，使 ka b (a kb)， 所以 (k )a (k 1)b. 因为 a 与 b 是不共线的两个非零向量， 所以 k k 1 0，所以 k2 1 0，所以 k 1. 【点拨】 (1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想 . 7 / 15 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 . 【变式训练 3】已知 o 是正三角形 BAc内部一点， +2+3=0，则 oAc 的面积与 oAB 的面积之比是 （） 【解析】如图，在三角形 ABc 中， 2 3 0，整理可得 2( ) 0.令三角形 ABc中 Ac边的中点为 E， Bc 边的中点为 F，则点 o 在点 F 与点 E 连线的 13处，即 oE 2oF. 设三角形 ABc 中 AB 边上的高为 h，则 SoAc SoAE SoEc 12oE(h2 h2) 12oEh， SoAB 12AB12h 14ABh， 由于 AB 2EF， oE 23EF，所以 AB 3oE， 所以 SoAcSoAB 23.故选 B. 总结提高 1.向量共线也称向量平 行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线 (即重合 )的情形，而向量平行则包括共线 (即重合 )的情形 . 2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来 . 3.当向量 a 与 b 共线同向时， |a b| |a| |b|； 8 / 15 当向量 a 与 b 共线反向时， |a b| |a| |b|； 当向量 a 与 b 不共线时， |a b| |a| |b|. 平面向量的基本定理及其坐标表示 典例精析 题型一 平面向量基本定理的应用 【例 1】如图 ABcD中 ,m,N分别是 Dc， Bc中点 .已知=a,=b,试用 a， b 表示，与 【解析】易知 12， 12， 即 所以 23(2b a)， 23(2a b). 所以 23(a b). 【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示 .此处方程思想的运用值得仔细领悟 . 【变式训练 1】已知 D 为 ABc 的边 Bc上的中点， ABc 所在平面内有一点 P，满足 0，则等于 ( ) 【解析】由于 D 为 Bc 边上的中点，因此由向量加法的平行四边 形法则，易知 2，因此结合 0 即得 2，因此易得 P， A， D 三点共线且 D 是 PA 的中点，所以 1，即选 c. 9 / 15 题型二 向量的坐标运算 【例 2】已知 a (1， 1)， b (x， 1)， u a 2b， v 2ab. (1)若 u 3v，求 x； (2)若 uv ，求 x. 【解析】因为 a (1， 1)， b (x， 1)， 所以 u (1， 1) 2(x， 1) (1， 1) (2x， 2) (2x 1， 3)， v 2(1， 1) (x， 1) (2 x， 1). (1)u 3v(2x 1， 3) 3(2 x， 1) (2x 1， 3) (6 3x， 3)， 所以 2x 1 6 3x，解得 x 1. (2)uv(2x 1， 3) (2 x， 1) (2x 1) 3(2 x) 0x 1. 【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视 . 【变式训练 2】已知向量 an (cosn7 ， sinn7)(nN*) ，|b| 1.则函数 y |a1 b|2 |a2 b|2 |a3 b|2 |a141 b|2的最大值为 . 【解析】设 b (cos ， sin) ，所以 y |a1 b|2 |a2 b|2 |a3 b|2 |a141 b|2 (a1)2 b22(cos7 ， sin7)(cos ， sin) (a141)2 b22(cos1417 ， sin1417)(cos ， sin) 282 2cos(710 / 15 ) ，所以 y 的最大值为 284. 题型三 平行 (共线 )向量的坐标运算 【例 3】已知 ABc 的角 A， B， c 所对的边分别是 a， b， c，设向量 m (a， b)， n (sinB， sinA)， p (b 2， a 2). (1)若 mn ，求证： ABc 为等腰三角形； (2)若 mp ，边长 c 2，角 c 3 ，求 ABc 的面积 . 【解析】 (1)证明：因为 mn ，所以 asinA bsinB. 由正弦定理，得 a2 b2，即 a b.所以 ABc 为等腰三角形 . (2)因为 mp ，所以 mp 0，即 a(b 2) b(a 2) 0，所以 a b ab. 由余弦定理，得 4 a2 b2 ab (a b)2 3ab， 所以 (ab)2 3ab 4 0. 所以 ab 4 或 ab 1(舍去 ). 所以 S ABc 12absinc 12432 3. 【点拨】设 m (x1， y1)， n (x2， y2)，则 mnx1y2 x2y1； mnx1x2 y1y2 0. 【变式训练 3】已知 a， b， c 分别为 ABc 的三个内角 A， B，c 的对边，向量 m (2cosc 1， 2)， n (cosc， cosc 1).若 mn ，且 a b 10，则 ABc 周长的最小值为 ( ) 53 23 11 / 15 【解析】由 mn 得 2cos2c 3cosc 2 0，解得 cosc12 或 cosc 2(舍去 )，所以 c2 a2 b2 2abcosc a2 b2 ab (a b)2 ab 100 ab ，由 10 a b2abab25 ，所以 c275 ，即 c53 ，所以 a b c10 53，当且仅当 a b 5 时，等号成立 .故选 B. 总结提高 1.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来 .向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算 . 2.向量的运算中要特别注意方程思想的运用 . 3.向量的运算 分为向量形式与坐标形式 .向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向量的直角坐标 . 平面向量的数量积及向量的应用 典例精析 题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题 【例 1】已知 a， b 夹角为 120 ，且 |a| 4， |b| 2，求： (1)|a b|； (2)(a 2b)(a b)； (3)a与 (a b)的夹角 . 【解析】 (1)(a b)2 a2 b2 2ab 16 4 24212 12， 12 / 15 所以 |a b| 23. (2)(a 2b)(a b) a2 3ab 2b2 16 34212 24 12. (3)a(a b) a2 ab 16 4212 12. 所以 cos 12423 32，所以 6. 【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题 . 【变式训练 1】已知向量 a， b， c 满足： |a| 1， |b| 2，c a b，且 ca ，则 a 与 b 的夹角大小是 . 【解析】由 caca 0a2 ab 0， 所以 cos 12，所以 120. 题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题 【例 2】在 ABc 中， (2， 3)， (1， k)，且 ABc 的一个内角为直角，求 k 的值 . 【解析】 当 A 90 时，有 0， 所以 21 3k 0，所以 k 23； 当 B 90 时，有 0， 又 (1 2， k 3) ( 1， k 3)， 所以 2( 1) 3(k 3) 0k 113； 当 c 90 时，有 0， 所以 1 k(k 3) 0， 13 / 15 所以 k2 3k 1 0k 3132. 所以 k 的取值为 23， 113或 3132. 【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论 .在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角 . 【变式训练 2】 ABc 中， AB 4， Bc 5， Ac 6， 求 . 【解析】因为 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 42 62 52 77. 所以 772. 题型三 平面向量的数量积的综合问题 【例 3】数轴 ox， oy交于点 o，且 xoy 3 ，构成一个平面斜坐标系， e1， e2 分别是与 ox， oy 同向的单位向量，设P 为坐标平面内一点，且 xe1 ye2，则点 P 的坐标为 (x，y)，已知 Q( 1， 2). (1)求 |的值及与 ox的夹角； (2)过点 Q 的直线 loQ ，求 l 的直线方程 (在斜坐标系中 ). 【解析】 (1)依题意知， e1e2 12， 且 e1 2e2， 14 / 15 所以 2 ( e1 2e2)2 1 4 4e1e2 3. 所以 | 3. 又 e1 ( e1 2e2)e1 e21 2e1e2 0. 所以 e1 ，即与 ox成 90 角 . (2)设 l 上动点 P(x， y)，即 xe1 ye2， 又 l ，故 ， 即 (x 1)e1 (y 2)e2( e1 2e2) 0. 所以 (x 1) (x 1) (y 2)12 2(y 2) 0， 所以 y 2，即为所求直线 l 的方程 . 【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等