xx届高考数学知识复习函数讲义

1 / 16 XX 届高考数学知识复习函数讲义 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 m 高中数学复习讲义第二章函数 A 【知识导读】 【方法点拨】 函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解 1.活用 “ 定义法 ” 解题定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点利用定义，可直接 判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等 2.重视 “ 数形结合思想 ” 渗透 “ 数缺形时少直观，形缺数时难入微 ” 当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题 3.强化 “ 分类讨论思想 ” 应用分类讨论是一种逻辑方法，2 / 16 是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确 定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是 “ 不漏不重 ” 4.掌握 “ 函数与方程思想 ” 函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题 第 1 课函数的概念 【考点导读】 1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的 定义域和值域 2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数 【基础练习】 1设有函数组： ，； ，； ，； ，； ，其中表示同一个函数的有 _ 2.设集合，从到有四种对应如图所示： 3 / 16 其中能表示为到的函数关系的有 _ 3.写出下列函数定义域： (1) 的 定 义 域 为 _ ； (2) 的定义域为_； (3) 的 定 义 域 为 _ ； (4) 的定义域为_ 4已知三个函数 :(1)； (2)； (3)写出使各函数式有意义时，的约束条件： (1)_ ；(2)_ ；(3)_ 5.写出下列函数值域： (1)，；值域是 (2)；值域是 (3)，值域是 【范例解析】 例 1.设有函数组： ，； ，； ，； ，其中表示同一个函数的有 分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看 函数的三要素是否相同 解：在 中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；在 中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数； 4 / 16 是同一函数 点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可 例 2.求下列函数的定义域： ； ； 解：（ 1） 由题意得：解得且或且， 故定义域为 由题意得：，解得，故定义域为 例 3.求下列函数的值域： （ 1），； （ 2）； （ 3） 分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域 （ 1）解：，函数的值域为； （ 2）解法一：由，则，故函数值域为 解法二：由，则，故函数值域为 （ 3）解：令，则， 当时，故函数值域为 点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围 5 / 16 【反馈演练】 1函数 f(x)的定义域是 _ 2函数的定义域为 _ 3.函数 的值域为 _ 4.函数的值域为 _ 5函数的定义域为 _ 6.记函数 f(x)=的定义域为 A， g(x)=lg(x a 1)(2ax)(a1)的定义域为 B (1)求 A； (2)若 BA，求实数 a 的取值范围 解： (1)由 2 0 ，得 0 ， x0，得 (x a 1)(x 2a)0 a2a ， B=(2a ， a+1) BA ， 2a1 或 a+1 1，即 a 或 a 2，而 a1， a1 或 a 2，故当 BA时，实数 a 的取值范围是 (, 2,1) 第 2 课函数的表示方法 【考点导读】 1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数 2.求解析式一般有四种情况：（ 1）根据某个实际问题须建立6 / 16 一种函数关系式；（ 2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（ 3）换元法求解析式；（ 4）解方程组法求解析式 【基础练习】 1.设函数，则 _； _ 2.设函数， ,则 _3_； 3.已知函数是一次函数，且， ,则 _15_ 4.设 f(x)，则 ff() _ 5. 如 图 所 示 的 图 象 所 表 示 的 函 数 解 析 式 为_ 【范例解析】 例 1.已知二次函数的最小值等于 4，且，求的解析式 分析：给出函数特征，可用待定系数法求解 解法一：设，则解得 故所求的解析式为 解法二 ：，抛物线有对称轴故可设 将点代入解得故所求的解析式为 解法三：设，由，知有两个根 0， 2， 可设， 将点代入解得故所求的解析式为 点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式 例 2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园7 / 16 的距离与乙从家到公园的距离都是 2km，甲 10时出发前往乙家如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y（ km）与时间 x（分）的关系试写出的函数解析式 分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式 解 ：当时，直线方程为，当时，直线方程为， 点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达要注意求出解析式后，一定要写出其定义域 【反馈演练】 1若，则（ D） 2已知，且，则 m 等于 _ 3.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x) x2 2x求函数 g(x)的解析式 解：设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为， 则 点在函数的图象上 第 3 课 函数的单调性 【考点导读】 1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义； 8 / 16 2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性 【基础练习】 1.下列函数中： ； ； ； 其中，在区间 (0， 2)上是递增函数的序号有 _ 2.函数的递增区间是 _R_ 3.函数的递减区间是 _ 4.已知函数在定义域 R 上是单调减函数，且，则实数 a 的取值范围 _ 5.已知下列命题： 定义在上的函数满足，则函数是上的增函数； 定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数； 定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数； 定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数 其中正确命题的序号有 _ 【范例解析】 例 .求证：（ 1）函数在区间上是单调递增函数； （ 2）函数在区间和上都是单调递增函数 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定 9 / 16 证明：（ 1）对于区间内的任意两个值，且， 因为 ， 又，则，得， 故，即，即 所以，函数在区间上是单调增函数 （ 2）对于区间内的任意两个值，且， 因为， 又，则，得， 故，即，即 所以，函数在区间上是单调增函数 同理，对于区间，函数是单调增函数； 所以，函数在区间和上都是单调增函数 点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（ 1）在给定区间内任意取两值，；（ 2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（ 3）给出结论 例 2.确定函数的单调性 分析：作差后，符号的确定是关键 解：由，得定义域为对于区间内的任意两个值，且， 则 又， ， 即 10 / 16 所以，在区间上是增函数 点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定 【反馈演练】 1已知函数，则该函数在上单调递 _减 _，（填“ 增 ”“ 减 ” ）值域为 _ 2已知函数在上是减函数，在上是增函数，则 _25_. 3.函数的单调递增区间为 . 4.函数的单调递减区间为 5.已知函数在区间上是增函数，求实数 a 的取值范围 解：设对于区间内的任意两个值，且， 则， ，得，即 第 4 课函数的奇偶性 【考点导读】 1.了解函数 奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性； 2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数 【基础练习】 1.给出 4 个函数： ； ； ； 11 / 16 其中奇函数的有 _ ；偶函数的有 _ ；既不是奇函数也不是偶函数的有 _ 2.设函数为奇函数，则实数 1 3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A） 【范例解析】 例 1.判断下列函数的奇偶性： （ 1）；（ 2）； （ 3）；（ 4）； （ 5）；（ 6） 分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断 解：（ 1）定义域为，关于原点对称； , 所以为偶函数 （ 2）定义域为，关于原点对称；， ，故为奇函数 （ 3）定义域为，关于原点对称；，且， 所以既为奇函数又为偶函数 （ 4）定义域为，不关于原点对称；故既不是奇函数也不是偶函数 （ 5）定义域为，关于原点对称；，则且，故既不是奇函数12 / 16 也不是偶函数 （ 6）定义域为，关于原点对称； ，又， ，故为奇函数 点评 ：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或 例 2.已知定义在上的函数是奇函数，且当时，求函数的解析式，并指出它的单调区间 分析：奇函数若在原点有定义，则 解：设，则， 又是奇函数， 当时， 综上，的解析式为 作出的图像，可得增区间为，减区间为， 点评：（ 1）求解析式时的情况不能漏；（ 2）两个单调区间之间一般不用 “” 连接；（ 3）利用奇偶性求解析式一般是通过“” 实现转化；（ 4）根据图像写单调区间 【反馈演 练】 1已知定义域为 R 的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ D） A B c D 2.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函13 / 16 数（ B） A.在区间上是增函数，区间上是增函数 B.在区间上是增函数，区间上是减函数 c.在区间上是减函数，区间上是增函数 D.在区间上是减函数，区间上是减函数 3.设，则使函数的定义域为 R 且为奇函数的所有的值为_1， 3_ 4设函数为奇函数，则 _ 5若函数是定义在 R 上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的 x 的取 值范围是（ 2， 2） 6.已知函数是奇函数又， ,求 a， b， c 的值； 解：由，得，得又，得， 而，得，解得又，或 1 若，则，应舍去；若，则 所以， 综上，可知的值域为 第 5 课函数的图像 【考点导读】 1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质； 14 / 16 2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法 【基础练习】 1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换： （ 1）； （ 2） 2.作出下列各个函数图像的示意图： （ 1）；（ 2）；（ 3） 解：（ 1）将的图像向下平移 1 个单位，可得的图像图略； （ 2）将的图像向右平移 2 个单位，可得的图像图略； （ 3）由，将的图像先向右平移 1 个单位，得的图像，再向下平移 1 个单位，可得的图像如下图所示： 3.作出下列各个函数图像的示意图： （ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4） 解：（ 1）作的图像关于 y 轴的对称图像，如图 1 所示； （ 2）作的图像关于 x 轴的对称图像，如图 2 所示； （ 3）作的图像及它关于 y 轴的对称图像，如图 3 所示； （ 4）作的图像，并将 x 轴下方的部分翻 折到 x 轴上方，如图 4 所示 4.函数的图象是（ B） 【范例解析】 15 / 16 例 1.作出函数及，的图像 分析：根据图像变换得到相应函数的图像 解：与的图像关于 y 轴对称； 与的图像关于 x 轴对称； 将的图像向左平移 2 个单位得到的图像； 保留的图像在 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的部分关于 x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分； 将的图像在 y轴右边的部分沿 y轴翻折到 y轴的左边部分替代原 y 轴左边部分，并保留在 y 轴右边部分图略 点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种平移变换 ：左 “+” 右 “ ” ，上 “+” 下 “ ” ；对称变换：与的图像关于 y 轴对称； 与的图像关于 x 轴对称；与的图像关于原点对称； 保留的图像在 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的部分关于 x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分； 将的图像在 y轴右边的部分沿 y轴翻折到 y轴的左边部分替代原 y 轴左边部分，并保留在 y 轴右边部分 例 2.设函数 . （ 1）在区间上画出函数的图像； （ 2）设集合 .试判断集合和之