xx届高考数学空间向量及其应用复习学案

1 / 14 XX 届高考数学空间向量及其应用复习学案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX年普通高考数学科一轮复习精品学案 第 36讲空间向量及其应用 一课标要求： （ 1）空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （ 2）空间向量的应用 理解 直线的方向向量与平面的法向量； 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二命题走向 2 / 14 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测 XX 年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角 、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三要点精讲 1空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明： 由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向 线段表示； 平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2向量运算和运算率 3 / 14 加法交换率： 加法结合率： 数乘分配率： 说明： 引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和； 向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3平行向量 (共线向量 )：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作 。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时， 也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量（ ）、， 的充要条件是存在实数使 注： 上述定理包含两个方面： 性质定理：若 （ 0 ），则有，其中是唯一确定的实数。 判断定理：若存在唯一实数，使（ 0 ），则有 （若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。 对于确定的和，表示空间与平行或共线，长度为 |，当0时与同向，当 0时与反向的所有向量。 4 / 14 若直线 l ， P 为 l 上任一点， o 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。 推论：如果 l为经过已知 点 A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点 o，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，满足等式 其中向量叫做直线 l 的方向向量。 在 l 上取，则 式可化为 当时，点 P 是线段 AB的中点，则 或 叫做空间直线的向量参数表示式， 是线段 AB 的中点公式。 注意： 表示式 ( )、 ( )既是表示式 , 的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式； 推论的用途：解决三点共线问题。 结合三角形法则记忆方程。 4向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面， 记作 。注意：向量 与直线 a 的联系与区别。 共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对 x、 y，使 注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。 推论：空间一点 P 位于平面 mAB内的充要条件是存在有序实5 / 14 数对 x、 y，使 或对空间任一定点 o，有 在平面 mAB 内，点 P 对应的实数对（ x,y）是唯一的。 式叫做平面 mAB的向量表示式。 又 代入 ，整理得 由于对于空间任意一点 P，只要满足等式 、 、 之一（它们只是形式不同的同一等式），点 P 就在平面 mAB 内；对于平面 mAB 内的任意一点 P，都满足等式 、 、 ，所以等式 、 、 都是由不共线的两个向量、（或不共线三点 m、A、 B）确定的空间平面的向量参数方程，也是 m、 A、 B、 P四点共面的充要条件。 5空间向量基本定理：如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组 x,y,z,使 说明： 由上述定理知，如果三个向量、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、生成的，所以我们把 ， 叫做空间的一个基底 ，都叫做基向量； 空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底； 一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念； 由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，6 / 14 三个向量不共面就隐含着它们都不是。 推论：设 o、 A、 B、 c 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数组，使 6数量积 （ 1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点 o，作，则角 AoB 叫做向量与的夹角，记作 说明： 规定 0, 因而 =； 如果 =， 则称与互相垂直，记作 ； 在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（ 3）、（ 4）中的两个向量的夹角不同， 图（ 3）中 AoB= ， 图（ 4）中 AoB=, 从而有 =. （ 2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。 （ 3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。 即 =， 向量 : （ 4）性质与运算率 7 / 14 。 =0= 四典例解析 题型 1：空间向量的概念及性质 例 1有以下命题： 如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那 么的关系是不共线； 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面； 已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（） 解析：对于 “ 如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线 ” ；所以 错误。 正确。 点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。 例 2下列命题正确的是（） 若与共线，与共线，则与共线； 向量共面就是它们所在的直线共面； 零向量没有确定 的方向； 若，则存在唯一的实数使得； 解析： A 中向量为零向量时要注意， B 中向量的共线、共面8 / 14 与直线的共线、共面不一样， D 中需保证不为零向量。 答案 c。 点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。 题型 2：空间向量的基本运算 例 3如图：在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（） 解析：显然； 答案为 A。 点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几 何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法 .考查学生的空间想象能力。 例 4已知：且不共面 .若 , 求的值 . 解： , 且即 又不共面 , 点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。 题型 3：空间向量的坐标 9 / 14 例 5（ 1）已知两个非零向量 =（ a1， a2， a3）， =（ b1， b2，b3），它们平行的充要条件是（ ） A. ： |= ： | b1=a2b2=a3b3 +a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数 k，使 =k （ 2）已知向量 =（ 2， 4， x）， =（ 2， y， 2），若 |=6， ，则 x+y的值是（ ） A. 3 或 1 或 1 c. 3 （ 3）下列各组向量共面的是（ ） A.=(1， 2， 3)， =(3， 0， 2)， =(4， 2， 5) B.=(1， 0， 0)， =(0， 1， 0)， =(0， 0， 1) c.=(1， 1， 0)， =(1， 0， 1)， =(0， 1， 1) D.=(1， 1， 1)， =(1， 1， 0)， =(1， 0， 1) 解析：（ 1） D；点拨：由共线向量 定线易知； （ 2） A 点拨：由题知或； （ 3） A 点拨：由共面向量基本定理可得。 点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。 例 6已知空间三点 A（ 2， 0， 2）， B（ 1， 1， 2）， c（3， 0， 4）。设 =， =，（ 1）求和的夹角；（ 2）若向量 k+与 k2 互相垂直，求 k 的值 . 思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应10 / 14 用，套用公式即可得到所要求的结果 . 解： A( 2， 0， 2)， B（ 1， 1， 2）， c( 3， 0， 4)， =，=， =(1 ， 1， 0)， =（ 1， 0， 2） . (1)cos=， 和的夹角为。 (2)k+=k （ 1， 1， 0） +（ 1， 0， 2）（ k 1， k， 2）， k 2=（ k+2， k， 4），且 (k+) （ k 2）， （ k 1， k， 2） （ k+2， k， 4） =(k 1)(k+2)+k2 8=2k2+k 10=0。 则 k=或 k=2。 点拨：第（ 2）问在解答时也可以按运算律做。（ +） (k 2)=k22 k 22=2k2+k 10=0，解得 k=，或 k=2。 题型 4：数量积 例 7设、 c 是任意的非零 平面向量 ,且相互不共线 ,则 （ ）（ ） =| | | （ ）（ ）不与垂直 （ 3+2）（ 3 2） =9|2 4|2中，是真命题的有（） A.B.c.D. 答案： D 解析： 平面向量的数量积不满足结合律 .故 假； 由向量的减法运算可知 |、 |、 | |恰为一个三角形的三11 / 14 条边长，由 “ 两边之差小于第三边 ” ，故 真； 因为（ ）（ ） =（ ）（ ） =0，所以垂直 .故 假； （ 3+2）（ 3 2） =9 4=9|2 4|2成立 .故 真 . 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。 例 8（ 1）已知向量和的夹角为 120 ，且 |=2， |=5，则（ 2） =_. （ 2）设空间两个不同的单位向量 =(x1， y1， 0)， =(x2， y2，0)与向量 =(1， 1， 1)的夹角都等于。 (1)求 x1+y1和 x1y1的值； (2)求 的大小 (其中 0 。 解析：（ 1）答案： 13；解析： （ 2） =22=2|2 |cos120=24 25（） =13。 （ 2）解： (1)|=|=1 ， x+y=1 ， x=y=1. 又 与的夹角为， =|cos=. 又 =x1+y1 ， x1+y1= 。 另外 x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1， 2x1y1=()2 1=.x1y1= 。 (2)cos=x1x2+y1y2 ，由 (1) 知， x1+y1= ，x1y1=.x1 ， y1是方程 x2 x+=0的解 . 或同理可得或 ， 或 12 / 14 cos=+=+=. 0 ， =。 评述：本题考查向量数量积的运算法则。 题型 5：空间向量的应用 例 9（ 1）已知 a、 b、 c 为正数，且 a+b+c=1，求证： +4 。 （ 2）已知 F1=i+2j+3k， F2=-2i+3j-k， F3=3i-4j+5k，若 F1，F2， F3共同作用 于同一物体上，使物体从点 m1（ 1， -2， 1）移到点 m2(3， 1， 2)，求物体合力做的功。 解析：（ 1）设 =(， )， =(1， 1， 1)， 则 |=4， |=. | ， =+|=4. 当 =时，即 a=b=c=时，取 “=” 号。 （ 2）解： W=Fs=(F1+F2+F3)=14。 点评：若 =(x， y， z)， =(a， b， c)，则由 | ，得 (ax+by+cz)2(a2+ b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式 (n=3)。本题考查 | 的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。 例 10如图 ,直三棱柱中 ,求证 : 证明： 13 / 14 同理 又 设为中点 ,则 又 点评：从上述例子可以看出 ,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行 ,相等和垂直的条件。 五思维总结 本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的 坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式 .空间直角坐标系是选取空间任意一点 o 和一个单位正交基底 i， j， k建立坐标系，对于 o 点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则 .一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变 .因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积ab=|a|b|cos在