xx届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案

1 / 9 XX 届高考数学第一轮三角函数的最值专项复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 三角函数的最值 知识梳理 =asinx+bcosx 型函数最值的求法 . 常转化为 y=sin（ x+），其中 tan=. =asin2x+bsinx+c 型 . 常通过换元法转化为 y=at2+bt+c 型 . =型 . （ 1）转化为型 1. （ 2）转化为直线的斜率求解 . 4.利用单调性 . 点击双基 1.（ 2000 年全国）若 0 ， sin+cos=a ，sin+cos=b ， 则 b b 1 1 解析： a=sin（ + ）， b=sin（ + ）， 0 + + ， 1 a b， ab 1. 答案： D 2 / 9 2.函数 f（ x） =cos2x+sinx 在区间，上的最小值是 c. 1D. 解析： f（ x） =1 sin2x+sinx=（ sinx） 2+. 当 x=时， ymin=. 答案： D 3.函数 y=x sinx 在， 上的最大值是 A. 1B.+1 c. D. 解析： y=x sinx在， 上是增函数， x= 时， ymax=. 答案： D =的最大值是 _，最小值是 _. 解析一： y=1 . 当 sinx= 1 时，得 ymin= 1，当 sinx=1时，得 ymax=. 解析二：原式 sinx=（ y1 ） |1 1y.ymax= ， ymin= 1. 答案： 1 =（ 0 x ）的最小值是 _. 解析一： y=ysinx+cosx=2sin（ x+） =2 sin（ x+） =（ x （ 0， ） 0 1y. ymin=. 解析二： y 可视为点 A（ sinx， cosx）， B（ 0， 2）连线的3 / 9 斜率 kAB，而点 A 的轨迹 x （ 0， ）是单位圆在第二、三象限的部分（如下图），易知当 A（，）时， ymin=kAB=. 答案： 典例剖析 【例 1】函数 y=acosx+b（ a、 b 为常数），若 7y1 ，求bsinx+acosx 的最大值 . 剖析：函数 y=acosx+b 的最值与 a 的符号有关，故需对 a 分类讨论 . 解：当 a 0 时， a=4， b= 3； 当 a=0时，不合题意； 当 a 0 时， a= 4， b= 3. 当 a=4， b= 3 时， bsinx+acosx= 3sinx+4cosx=5sin（ x+）（ tan=）； 当 a= 4， b= 3 时， bsinx+acosx= 3sinx 4cosx=5sin（ x+）（ tan=） . bsinx+acosx 的最大值为 5. 【例 2】求函数 y=cotsinx+cotxsin2x 的最值 . 剖析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题 . 解： y=sinx+2sinxcosx=2（ cosx+） 2+. 4 / 9 sinx0 ， cosx1. 当 cosx=时， y 有最小值，无最大值 . 评述：这是个基本题型，解题时要注意 式中的隐含条件 . 【例 3】求函数 y=的最大值和最小值 . 剖析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将 y 看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可） . 解法一：去分母，原式化为 sinx ycosx=2 2y，即 sin（ x） =. 故 1 ，解得 y. ymax= ， ymin=. 解法二：令 x1=cosx， y1=sinx，有 x12+y12=1.它表示单位圆，则所给函数 y 就是经过定点 P（ 2， 2）以及该圆上的 动点 m（ cosx， sinx）的直线 Pm的斜率 k，故只需求此直线的斜率 k 的最值即可 .由 =1，得 k=. ymax= ， ymin=. 评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此读者要有足够的重视 . 闯关训练 夯实基础 5 / 9 1.函数 y=log2（ 1+sinx） +log2（ 1 sinx），当 x ，时的值域为 A. 1， 0 B.（ 1， 0 c. 0， 1） D. 0， 1 解析： y=log2（ 1 sin2x） =log2cos2x. 当 x=0时， ymax=log21=0； 当 x=时， ymin= 1. 值域为 1， 0 . 答案： A 2.当 y=2cosx 3sinx 取得最大值时， tanx的值是 解析： y=sin（ x）（其中 tan=） .y有最大值时，应 sin（x） =1 x=2k+ x=2k+ . tanx= tan（ x） = tan（ 2k+ ） = cot= = . 答案： B 3.函数 y=的最大值是 _，最小值是 _. 解析： y=3 ， 当 sinx=1时， ymax=3 =； 当 sinx= 1 时， ymin= 4. 答案： 4 4.在 ABc 中， a=sin（ A+B）， b=sinA+sinB，则 a 与 b 的大小关系为 _. 解析： a=sinAcosB+cosAsinB sinA+sinB=b. 6 / 9 答案： a b 5.（ XX 年湖南， 13）已知向量 a=（ cos ， sin ），向量b=（， 1），则 |2a b|的最大值是 _. 解析： 2a b=（ 2cos ， 2sin+1 ）， |2a b|=4. |2a b|的最大值为 4. 答案： 4 6.求 y=1+sinx+cosx+sinxcosx 的值域 . 解：设 t=sinx+cosx，则 t ， .由（ sinx+cosx）2=t2sinxcosx=. y=1+t+= （ t+1） 2.ymax= （ +1） 2=， ymin=0. 值域为 0， . 培养能力 7.已知对任意 x，恒有 ysin2x+4sin2xcos2x ，求 y 的最小值 . 解：令 u=sin2x+4sin2xcos2x， 则 u=sin2x+sin22x=（ 1 cos2x） +（ 1 cos22x） = cos22x cos2x+=（ cos2x+） 2+， 得 umax=.由 yu 知 ymin=. 8.（ XX年北京海淀区高三期末练习）已知向量 a=（ cos， sin），b=（ cos， sin）， c=（， 1），其中 xR. （ 1）当 ab 时，求 x 值的集合； 7 / 9 （ 2）求 |a c|的最大值 . 解：（ 1）由 ab 得 ab=0，即 coscos sinsin=0. 则 cos2x=0，得 x=+（ kZ ） . x|x=+ ， kZ 为所求 . （ 2） |a c|2=（ cos） 2+（ sin+1） 2=5+4sin（）， |a c|有最大值 3. 探究创新 9.设函数 f（ x） =asinx+bc osx （ 0）的最小正周期为 ，并且当 x=时，有最大值 f（） =4. （ 1）求 a、 b、 的值； （ 2）若角 、 的终边不共线， f（ ） =f（ ） =0，求tan（ + ）的值 . 解：（ 1）由 = ， 0 得 =2.f （ x） =asin2x+bcos2x. 由 x=时， f（ x）的最大值为 4，得 （ 2）由（ 1）得 f（ x） =4sin（ 2x+） . 依题意有 4sin（ 2+ ） =4sin（ 2+ ） =0. sin （ 2+ ） sin（ 2+ ） =0. cos （ + ） sin（ ） =0（和差化积公式见课本 ） . 、 的终边不共线，即 k （ kZ ），故 sin（ ） 0. +=k+ （ kZ ） .tan （ + ） =. 思悟小结 8 / 9 1.求三角函数最值的常用方法有： 配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）； 化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）； 数形结合法（常用到直线的斜率关系）； 换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）； 基本不等式法等 . 2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间 . （ 1）求三角函数最值时 ，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性 . （ 2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响 . 3.注意题中的隐含条件 . 教师下载中心 教学点睛 1.建议让学生从做 “ 点击双基 ” 中体会总结方法 . 2.例题也可由学生独立完成，并从中总结方