浅谈数学中的一种常用解题策略—转化

1 / 8 浅谈数学中的一种常用解题策略 转化 浅谈数学中的一种常用解题策略 转化 “转化”是数学中最常用最基本的思维方式之一。转化就是在分析解决问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转 化过程，把复杂、隐蔽的问题转化为简单、明显的问题。初中数 学的转化方法多种多样，常用的有下列几种： 一、高次 (或多元 )向低次 (或低元 )转化； 例 1 已知 X2 2X l 0，则代数式 X3 X2 3X十 2的值是 (97年广东省初三数学竞赛第一道试题 ) (A)O (B)1 (C)2 (D)3 分析：此题若通过已知 X2 2X 1 0解得 X 2 土石代入原式求出答案，显然运算量大。因此为了减 少运算量，我们应将问题转化，经分析可知： X22X十 1 代人原式，从而达到降次的目的，最后得到正确答案2 / 8 (D)，由此可见，通过降次，可以将复杂问题转化为简单低次的问题，从而得到解决。 分析：解多元方程组的思想方法是将多元方程组转化为低元方程组，最后转化为一次方程而求得，此题的解题思想方法如下所示： 三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程 二、特殊 与一般的互相转化从特殊 (一船 )到一般 (特殊 )的思维方法是数学和其它科 学领域中进行探索，发现真理知识的重要途径。 例 3圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半。 分析：考虑到圆周角与圆心角的一般关系，我们可以分为下列三种情况来证明。 (1)如图 1圆心在圆周角的一边上： 易证得 APB 1 2 AOB 3 / 8 (2)如图 2圆心在圆周角的内部： 易证 APB APS BPS 1/2 AOS 1/2 BOS 1/2 AOS (3)如图 3圆心在圆周角的外部： 易得 APB APS BPS AOS 1/2 BOS J 1/2 AOB 综上所述，不论哪种情况，圆周角都等于它所对的弧所对的圆心角的一半，从而命题得证 (详细过程参考几何第三册 P91 92)这是由特殊到一般的转化。 例 4 如图 4，已知定圆 O1；与定圆 02外切于 P点，AB 是过切点 P 的任一直线分别与 01 和 02 交于 A、 B 求证： AP/BP是一个定值。则应先找出这个定值，而题中给出的条件中固定不变的只有两圆的 半径 (不防设为 R r)即要证AP/BP与 R， r 有 关，由此启发我们过切点 P作 Ol 与 02的直径 CD 构成 Rt APC Rt BPD，得出 AP/BPCP/DP=r/R：参由此可见，找出定值的进程就是由一船到特殊转化的过程。 4 / 8 三、正面向反面的转化。 很多数学的问题正面难于入手，但从问题的反面则易于解决，故此我们通常用正面向反面的转化方法去解决一些数学问 题。 例 5 若三个方程 至少有一个方程有实数解，试求实数 a的取值范围。 分析：条件“至少有一个方程 有实数解”的情况十分复杂，如逐个方程讨论，势必造成运算过程繁琐，且容易出错。但若从 这个问题的反面去思考，将问题转化为“三个方程都没有实数解”，则使问题变得单一、明白，由此可得 综合得出 3/2 a 1时，三个方程都没有实数解，由此可知， 当 a 3/2 或 a 1 时，三个方程必定有一个方程有实数根。 四、隐含向明朗转化。 5 / 8 由于有些数学问题表面上没有任何突破口、入手之处，但只要我们认真分析找出题中隐蔽原条件，就会使问题迎刃而解。 例 6 化简： (2 1)(22 1)(24 1) (264 1) 1 (摘初一级第八届“希望杯”培训题 ) 分析：此题初看起来难于动笔，查只要认真分析，观察一下题型结构，较快发现一个隐蔽条件： 1 2 1，再利用平方差公 式，很易使问题得到解决。 解：原式 (2 1)(2 1)(22 十 1) (264十 1)十 1 (22 1)(22十 1)(24十 1) (264十 1)十1 2128 五、致与形的相互转化。 例 ABC的三边为连续的自然数，且最大 角为最小 角的二倍，求三边长 (95年天津市，初 三竞赛题 ) 6 / 8 分析：这道题的常见解法是构造三角形法，依题目的已知条件，构造如图 5 设 CAB 2 C，对应边分别为 X 1，X， X 十 1 延长 CA 到 D，使 AD AB，连结 BD，得到 ADB。 BDC，因此有（ x+1)/(x-1) (2x-1)/(x+1)，解得 x 5 从而得出三角形三边之长 六、综合 (或复杂 )向单一 (或简单 )的转化，是解综合题 的常用思维方法之一。 例 8如图 690n与 02外切于点 P， CD为两圆的外公切线， PT 为两圆的 内公切线，且 O，与 02 的半径分别为 9 和 4 (1)求 PT的长； (2)求 Sin01 的值； (3)证明 PC PD PA PB； (95 年广西壮族自治区升中试第 31题 ) 7 / 8 分析：这个综合 (或复杂 )题可以转化为三个单一 (或简 单 )的基本问题是： 1、在 PCD 中，若 TC Pr TD，点 T 在 cD上 cD 12，求 Pr的长； 2、在直角梯形 DC0102 中，若 O1C 9， 02D 4， 0102 13， 求 SinOl的值； 3、若 BC AD、 CA 与 BD 相交于点 P，求证 PC PD PA PB 这样分为三个小题后，问题 (1)， (2)易解决，而问题 (3) 只证得点 C、 O、 B 共线，点 D、 02、 A 共线，即可得 CB DA，从而得出 PC/PB P