江苏高考数学复习平面解析几何热点探究训练5直线与圆的综合问题.docx

第九章 平面解析几何 热点探究训练5 直线与圆的综合问题A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为_. 【导学号：62172257】或由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k.2若圆x2y22x6y5a0关于直线yx2b成轴对称图形，则ab的取值范围是_(，4)圆的方程可变为(x1)2(y3)2105a，可知圆心(1，3)，且105a0，即a2.圆关于直线yx2b对称，点(1，3)在直线上，则b2.ab2a4.3已知m，n为正整数，且直线2x(n1)y20与直线mxny30互相平行，则2mn的最小值为_9直线2x(n1)y20与直线mxny30互相平行，2nm(n1)，m2nmn，又m0，n0，得1.2mn(2mn)5529.当且仅当时取等号2mn的最小值为9.4过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是_因l与圆x2y21有公共点，则l的斜率存在，设斜率为k，所以直线l的方程为y1k(x)，即kxyk10，则圆心到l的距离d.依题意，得1，解得0k.故直线l的倾斜角的取值范围是.5若圆x2y22x4y10上恰有两点到直线2xyc0(c0)的距离等于1，则c的取值范围为_(，3)圆x2y22x4y10的圆心为(1，2)，半径r2，要使圆上恰有两点到直线2xyc0(c0)的距离为1，则13，解得c3或3c，又c0，故c的取值范围为(，3)6过点M(1,2)的直线l与圆C：(x2)2y29交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为_. 【导学号：62172258】x2y30当CMl，即弦长最短时，ACB最小，kCM2，klkCM1，kl，l的方程为：x2y30.7在圆x2y24上与直线l：4x3y120的距离最小的点的坐标是_过圆(0,0)与直线l垂直的直线方程为3x4y0，由解得或结合图象(图略)可知所求点的坐标为.8已知两点A(1,0)，B(0,2)，点P是圆(x1)2y21上任意一点，则PAB面积的最大值与最小值分别是_2，2如图，圆心(1,0)到直线AB：2xy20的距离为d，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是1，最小值是1，又AB，故PAB面积的最大值和最小值分别是2，2.9若圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210(bR)内切，则ab的最大值为_2圆C1：x2y22axa290(aR)化为：(xa)2y29，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C2：x2y22byb210(bR)，化为x2(yb)21，圆心坐标为(0，b)，半径为1.圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210(bR)内切，31，即a2b24，ab(a2b2)2.ab的最大值为2.10(2017苏州模拟)设曲线C的方程为(x2)2(y1)29，直线l的方程为x3y20，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为_2由(x2)2(y1)29，得圆心坐标为(2，1)，半径r3，圆心到直线l的距离d.要使曲线上的点到直线l的距离为，此时对应的点在直径上，故有两个点二、解答题11在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)x22xb(xR)与两坐标轴有三个交点记过三个交点的圆为圆C.(1)求圆C的方程；(2)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论. 【导学号：62172259】解(1)设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb；令x0，得y2Eyb0，此方程有一个根为b，代入得Eb1，所以圆C的方程为x2y22x(b1)yb0.(2)圆C必过定点(0,1)，(2,1)证明如下：原方程转化为(x2y22xy)b(1y)0，即解得或12(2017南京盐城二模)如图4，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.图4问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？解如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.设A(a,0)，B(0，b)(0a1,0b1)，则直线AB的方程为1，即bxayab0.因为AB与圆C相切，所以1.化简得 ab2(ab)20，即ab2(ab)2.因此AB.因为0a1,0b1，所以0ab2，于是AB2(ab)又ab2(ab)22，解得0ab42或ab42.因为0ab2，所以0ab42，所以AB2(ab) 2(42)22，当且仅当ab2时取等号，所以AB的最小值为22，此时ab2.即当A，B两点离道路的交点都为2百米/时，小道AB最短B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017无锡模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2(y3)22，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是_设PCA，所以PQ2sin .又cos ，AC3，)，所以cos ，所以cos2，sin21cos2，所以sin ，所以PQ.2已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2y214相交于A，B两点，则AB的最小值为_4作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示要使弦AB最短，只需弦心距最大，根据图形知点P(1,3)到圆心的距离最大，则OP，圆的半径为.ABmin224.3(2017连云港、徐州、淮安、宿迁四市一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,4)，B(9,0)，若C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足ACBD.图5(1)若AC4，求直线CD的方程；(2)证明：OCD的外接圆恒过定点(异于原点O)解(1)因为A(3,4)，所以OA5，又因为AC4，所以OC1，所以C，由BD4，得D(5,0)，所以直线CD的斜率为，所以直线CD的方程为y(x5)，即x7y50.(2)证明：设C(3m,4m)(0m1)，则OC5m.则ACOAOC55m，因为ACBD，所以ODOBBD5m4，所以D点的坐标为(5m4,0)，又设OCD的外接圆的方程为x2y2DxEyF0，则有解得D(5m4)，F0，E10m3，所以OCD的外接圆的方程为x2y2(5m4)x(10m3)y0，整理得x2y24x3y5m(x2y)0，令所以(舍)或所以OCD的外接圆恒过定点为(2，1)4(2017南京模拟)已知在ABC中，点A，B的坐标分别为(2,0)和(2,0)，点C在x轴上方(1)若点C的坐标为(2,3)，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；(2)若ACB45，求ABC的外接圆的方程；(3)若在给定直线yxt上任取一点P，从点P向(2)中圆引一条切线，切点为Q.问是否存在一个定点M，恒有PMPQ？请说明理由解(1)因为AC5，BC3，所以椭圆的长轴长2aACBC8，又c2，所以b2，故所求椭圆的方程为1.(2)因为2R，所以2R4，即R2又圆心在AB的垂直平分线上，故可设圆心为(0，s)(s0)，则由4s28，所以ABC的外接圆的方程为x2(y2)28.(3)假设存在这样的点M(m，n)，设点P的坐标为(x，xt)，因为恒