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文档简介

1 / 4 物理极值问题的求解方法 1 物理极值问题的求解方法 1 随着教改的不断深入，物理教学更加结合实际，物理习题的题型不断拓宽。在中学物理竞赛及高考试卷中都出现了一些具有一定难度的求极值问题。求极值的一般方法是用导数求解。但中学生还没有学过关于异数的数学知识。本专题将分若干小专题，分别介绍符合中学生数学基础的解决极值问题的方法。 一、几何法求极值 在初中几何中我们曾经学过“点到直线的距离以垂线为最短。”此结论对于求极小值问题，是一条捷径。 例 1.如图 1-1所示，船 A从港口 P 出发去拦截正 以速度0 沿直线航行的船 B 。 P与 B 所在航线的垂直距离为 a， A 起航时与 B 船相距为 b， ba 。如果略去 A 船起动时的加速过程，认为它一起航就匀速运动。则 A 船能拦截到 B 船的最小速率为多少？ 分析与解：分析本题是两个运动物体求它们之间的相对位置的问题。若以地球为参照系，两个物体都运动，2 / 4 且运动方向不一致，它们之间的相对位置随时间变化的关系比较复杂，一时不容易做出正确的判断与解答。但如果把参照系建立在某一运动的物体上，（如 B 上）由于以谁为参照系，就认为谁不动，此题就简化为一个物体，（如 A）在此运动参 照系的运动问题了。当然解一个物体的运动问题比解两个物体都运动的问题自然容易多了。 以 B 为参照系， B 不动，在此参照系中 A 将具有向左的分速度 0，如图 1-2 所示。在此参照系中 A 只要沿着 PB方向就能拦截到 B 。应用“点到直线的距离以垂线为最短”的结论。过 O 点作 PB的垂线，交 PB于 E 点， OE即为 A船对地的速度的最小值 A，在 AOE 中 A= 0Sin 而 ，由于灵活运用了几何知识，使较为复杂的问题，变为简单的几何问题了。 例 2.如图 1-3所示，重为 G的物体与水平地面的动摩擦因数为，欲以一个拉力 F 使物体沿地面匀速前进。问 F与水平地面的夹角为何值时最省力？这个最小拉力是多大？ 分析与解：画出物体的受力分析图，如图 1-4 所示。物体受到四个力的作用。有重力 G、拉力 F、地面的支持力 N 及地面对物体的滑动摩擦力 f，其中 f=N。这四个3 / 4 力为共点力，合力为零。可将 N 与 f 合成为一个力 N， N与 f 的作用将被 N等效， N与 N、 f 的关系满足平行四边形法则。再画出物体受 N、 G、 F 的力的矢量三角形，如图1-5 所示。 N的方向如图，应用“点到直线的距离以垂线为最短” 的结论。过 B 点作 N的垂线交 N于 C点，则 BC的长度即表示最小作用力 Fmin，由于 Fmin与水平面夹角为 , CAB= Fmin=Gsin 由图 1-6 可知， 即 =arctan 几何法一般用
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