α粒子散射公式的几种推导方法 胡宝坚.pdf

19 99年第3期 N o . 3 、 199 9 西 JOU R NA 江大学 学 LOF X IJIANG 报 UN IV ER SI T Y a 粒子散射公式的几种推导方法 胡宝坚 (西江大学副教授肇庆市 52606 1) 提要本文用 不同方法导出a粒子散射公式 , 将有助于 原子物理学郡的课堂教学工落 乍 关键词 a粒 子散射原子核 原子物理学中 , 用 以解释原子的核式结构的a粒子散射公式为 : C ,八 曰 ZV2脚 0l t g Z 一 而句 下面用不同的方法 导出 , 以开阔初学者 的视野 。 【方法一 1采用几何法 。 设有一个初速为v 。的a 粒子( 2 e )射到一原子核(ze )附近 , 山 于两者的排斥力 , 在原子核的质量比a粒子大得多的情况下 , 则认为原子核不动而a粒子偏 离原来的运动方向 。 图中V 。 是a粒子的初速度 , b是原子核离a粒子原运动轨迹的延长线的乖直 跄离 , 也 称瞄准距离 。 0是偏转角或称散射角 , m是a 粒子 的质量 。 设a粒子达到离原子核最小跄离 rm 处的速度为犷 , 根据能量守恒定律和角动 量守恒定 律 , 得 : 1 一 m 以 = l m 尸 + 2 V Z Z Z e (l) 4汀 0rm +2 犷 。 mV o b = mF rm (2) L I (1) 、 (2)得 : ; 蕊 考虑到 rm 0 1 4汀 o 则解出 : 42 eZ m V 若 r, 一 b Z = 0 (3) 图 , , 白+ , 、 l w e w e e s e s ,/ Zz e Z (4) r 20 一 V . m 0 君 1 汀 月 片 r l s e |/|、 、 + Ze Z一 勺 一 一 l 一 4汀 0 mV 1ZZ eZ 。一 4二 : 。 厉武 则( 4 )式改写为 : r n , 二a+ 、 a Z+ b Z 山图 , l , , = oC = B C + B O 在么B AO中 : B O 一 和对 + ( o r t 了A B 一 : ”, 一 B C + 协犷 + 。 , +2分犷。 淤 工二 1 ZZ eZ 4二 : 。 mv若 A +Z 图 (5) 、 (6)比较得 : B C = 以咬= a= 一 在刀 月O中 : 头卜姗 a咬 a t g a= 二= 、二 A 方 口 4厂 ZZ e : 。m V 孟 而 。+ 。 。一 彗 0 一Za , 即 。 一 夕 , 代入( 7 )式得 :,_ 。 _ 2 占 。 一 乙 1ZZ eZ 4二 : 。m v孟b 方法二】利用毕耐公式 , 见 图 . 。, d ,。 、 F h 一 U 一 丁污+ U = 一 - 8) 又 d 厂夕 m 式中 山(8) 、 u 一 卜 h 一 尸甲为速度矩 。 r a 粒子与核间的相互作用是库仑相 互作用 : F 1一22 。2 4厂 。 rZ (9)式得到 (9) 1 ZZ eZ 4汀 0 mhZ (10) = C 一 一一 U十 玩 Z p d 一 d 式中c 一 12 2 扩 ( l 0 )式的通解为 4汀 。 mh Z (11) u= A c o s尹+ B sin 尹+C 式中A 、 B为积分常数 , 可按下列方法确定 : a粒子从无穷远入射 , p 二汀 , r二的 , 则 u二 O , 山此得 A = c = 一上 _ 只 _ 处 2 4汀 0 mh Z 轨道上任一点纵坐标y 二r s i卿 。, sin 夕 闪JU= - 一 - 一 (碰撞参数)得到B 二 1 b 代入( 9 )式并考虑到尹 二才时 , y = b 把AB代入( l l ) 式得至叮 u = C eos必+ l 石 ”m 少+C 12 ) 散射后a粒子 飞向无穷远 r= 的 , u二O 则尹峥夕 C ( l 十。, 。)十 ) 一 ,i。 。一。 b 故有 (13) 考虑到 511 1 8 l+ eos口 8 = t g ; Z , 则山( 13 )式得 一 t g 夕 一= 一bC二 4岔君。 因为h 二; 2甲二 b岭 故得到a粒子散射公式 : 一 _ 夕1Z Z pZ g 丁二 -一一一-一 - 一一二 一 24 : o m犷月b 【方法三】利用能量守恒定律 , E 二 m (r + r 2 甲,) 见图 22 e Z 4飞o r = E o ” (16) 一 因为 m尸叫 一 脚by ( l 0和助的初能量瓦和初速度V 0有如下关系 一一 ,一n甘 V 脚 l一2 引入新变量 u= E 0 1 , _ . 一 得主U 气b uZ (19 ) 二 V O b u 山习 8 ) 、 ( 1功式把O份式变为 : ( 2O) 一一 甲 l一 r 甲 尹 哑 尸 兰 动 d u 一 扣 甲 r 其中 u = u 2 +uZ+ 4 2 eZ 丽玩 一而 一 此了 “一 石 二0 ( 2 1 ) 把( 2 l )式对毋再求一次导数得到 : 2 2 eZ 双 +U十 4汀 二。 m F是护 = O (22 ) 剩下 解法与第二种方法 的解法 相同 。 【方法四】利用 动量定律 。 令尸 。 和 尸为“粒了初始和最 终的动量矢量 , 山于“粒子受到 原 了核给予它的冲量 丁 万 d t , 、 它的动变化量为万 尸 一 尸 一 因为根据卢瑟福瑕设 , 又 , 一 丁 万d t , 即 (23) 在a粒子通过期间原子核保持静 _ 1卜 , 故a粒子 的动能保持不变 , 那 么a粒子的动 最的大小也保持不变 : 1 尸 ; = 尸。 二 mV 。 参看图 , 尸 依据正弦定律有 m犷 。 2 0 5InCOS 2 (24) 0 , 故动量的变化大小 为 2 一一 0 、 l s e l 少n 0s 一 20 一 2 尤 / | l n 吐 S 三 一旦 ) 二 CO S 0 汀 一 (25 ) 夕 勺 白 = ZmV osin J 万d t 和动量变化量 尸同方向 , 它的大小为 一 ; i n 训 l 尹量 5 . 5 1 1 冲 山山于于 J F eos 卿 (26) 其中必是a粒子轨道上各点的户和万间的瞬时夹角 , 见图 。 把(25 ) 、 (26 )式代入(23 ) 式 , 得 Zm: 。51。 夕 = = : 尸 co s 妙 2 (27 ) 把积分变量改变为角必 , 并注意到 积分限相应的 山t 一 。和余t 一 二 分别变为 1 中“ 一亏又7 t一廿) , 和中 一 杏 (: 一e, , 所以“ ZmV o sin dt 争忆 )尸c o s 护 一 其中而可 以用a粒子对原点的角动量来表示 , 因为根据有心力的特点 : 角动量守恒 。 开 始角动量大小为mV 0b _ ._. _ 、._ _ 2 却 二 _ _ 2 即 _ _ ; 二 、 后米角动量变为m r 、 , 故 “ r 卉 一 “ 犷0 以 “,“ ( 2 9 ) , 口 乙伪 . 一 O 一一 d t 却 口 协 把上式和 尸 二 1 勺 7 _ 2 i 艺 J e 代入(2 8)式 , 得到 4尤 0 rZ 。工 (卜,) J Z一 ,、 一 砚厅一夕, 2 、 一一 一 夕 一 2 4二6 。m F若b 2 eZ Sin C O S 、, = , CO S 警 ( 30) 由此得到a粒子散射公式 t g 二 二 名 I方法五】利用牛顿第二定律 。 并由于a粒子在有心力场 中运动时 , 遵守角 动量守 恒 , 所以有 4汀 o 2 2 eZ 一 一一- - z - -一r 0 r 一 尸穿 一 v 。”一 dV (31) d t (3 2) 式中负 一号是 由于匆本身是一负值 。 邮 l ) . ( 3 2 ) 式得到 介 歹= - 22 eZ 。 一 一 lr o 口( I ) L 由图可知 1 4厂君。 杯 一 瓦 一 :v 0 : , 。条 一: , 摆 石 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 、 . 少一 . 了 二自2 S口C+ 一 . 1 因为在任一时刻有r 0 二 C 口s 甲 + s in甲j , 故有 只不而 一 只( c o s。万+: , n 甲了 ) d , 一 2 c o 夺 , 今一小 = 5 inoi 一 (l+ c o s e)j ( 3 5 ) 把(34)式和(35)式代入(33)得到 口 ,卜 ZV osin 夕 2 一上 2 呈宜 2。s旦 4尤 o L 夕一几 由此得到a粒子散射公式 1ZZ eZ 4二 e。 mv若b 口 JZ t g 必须指出 , 上面的每一种推导 方法都基于 下列假设 : 凡 圈 只发生单次散射 ; 只有库仑相互作用 ; 忽略核外电子的作用 ; 靶核在实验 坐标系中固定不动 。 要考虑核与a粒子的相互作用时 , 一般地说 , 这是一个两体问题 , 显 然上面得到的a粒子散射公式就不适用 。 但是我们知道 , 两体问题可 以简化成粒子质量为 产 = m M/(m + M ) , 而散射中 J。固定在两 体的质 沙。的单体 问题 , ,肠么只要将上面推得的 基本公式中0 、 V 0 理解为在质心坐标系中的散射角夕 c 和初度Fc o , 即 1ZZ eZ 4 二。产犷吞 。石 参 考文献 川 阿克木哈孜 、 马力克 . 原子物理中两个基本公式的推导 . 华中师范大学学报 , 1 99 7 . 8(专辑) : 2 8 4 r 2 1 周镇宏 、 胡宝坚 . 大学物理学一题多解及评注 . 广东人民 出版社 , 19 88 :34 1 (上接46页) 其中一块使用真实的I P地址与I n t e rn et相连; 另一 网卡与实验室内部客户机相连 , 并山它给内 部每一客户机分配一个虚拟的I P地址 。 例如本系统中安装完Win d ows N T后设置真实IP地址 210 .38 . 176 . 57 , 子 网掩码(主要用来识别l P地址中哪部分是网络地址 , 哪部分是主机地址) 设为2 55 . 255 . 25 5 . 2 55 .0 (C类子 网掩码) , 网关设为2 10 . 38 . 176 . 1; 另一 网卡的I P地址设为虚 拟的IP地址 20 . 20 . 20 . 1 , 不设网关 。 5 . 2 安装及配t代理服务器参数 安装MS Pr o x y Ser v e r 时 , 选中 “ 以I P来选择服务器 ” 开关 , 设置实验室 内部网络虚拟地 址范I 词 , 如 : 20 . 2 0 . 20 . 1至20 . 20 . 20 . 25 5 ; 然后单击 “ 开始 ” 一 “ Mi er osof tpr o 材 Ser v e r ” u 一 nte rn etSer ver Ma n a尸 e r ” 双击 W e bPr o xy选项 , 弹出Pr o xy管理窗口一 设置窗口中选项 “ P er mi s s io n ” 来配置 限定哪些用户可以使用哪种I n t em e t服务(如WW W 、 FT P 、 G ophe r 等) 。 为了简便 , 利用N T管理 工具建立一个组 (如Prox y 组) , 组下含各学生的学 一号 (以学 号作用户名) , 再将上述有关服务的访 问权恰当地分配给有关用户 。 选项 “ Se c ur it y ” 用 于 配置限制用户可以访 问或不可以访 问哪些站点 。 5 . 3 安装及配t客户软件 客户机应安装Win d o w s 9 5/ 9 8或N TWo rkstati o n 操作系统 , 然后利用Pr ox y s er ve r提供的 ProxyClient软件安装客户机 , 客户机的I P地址从2 0 . 20 . 20 . 2开始(最多至20 . 20 . 20 . 255) , 子 网掩码全部设置为2 55 . 255 . 255 . 0 , 网关设为20 . 2 0 . 20 . 1 。 通过上述几个步骤 , 代理服务器及其客户机便配置好了 。 总之 , 在局域网上采用代理服