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维纳过程与伊藤引理,金融工程学 随机过程基础知识 2016.11.5,维纳过程（Wiener Process）,是马尔科夫随机过程中的一种特殊形式 物理学中长用于描述某个粒子受大量小分子碰撞的运动，也成为布朗运动（Brownian Motion） 定义：如果变量z满足如下两个基本性质，那么变量z 遵循Wiener Process 性质1：一个小的时间间隔t内z的变化 z为 = + = 0,1 性质2：对于任何两个不同的短期时间间隔 t， z的值相互独立。,维纳过程（Wiener Process）,一段时间T内z值的变化，z(T)-z(0)。可以看成N个长度为t的小时间间隔中z的变化的总和。这里 = 因此， 0 = =1 ,维纳过程（Wiener Process）, 0 的均值为0 0 的方差为= 0 的标准差为 = + = 0,1 当越来越小时，离散变连续 ， 可以将 = 0,1,简单的漂移过程,考虑如下过程 = 对时间求积分 = 0 + 一条过 0 斜率为的直线,一般化的Wiener过程,我们通常看到的Wiener过程，是标准维纳过程和漂移过程的叠加 =+ 它的离散形式 =+ 0,1 因此具有正态分布 的均值为 的标准差为 的方差为 2 ,一般化的Wiener过程,任意时间后T的x值的变化具有正态分布，且 变化的均值为 变化的标准差为 变化的方差为 2 ,一般化的Wiener过程,伊藤过程（Ito ）,更一般化的维纳过程 = , + , 伊藤过程的期望漂移率和方差率都随时间变化而变化。 到+的时间内， 变化到+ = , + , 0,1,股价的随机过程,股价的几何布朗运动 =+ 同伊藤过程对比 = , + , 那么 , =， , =,期权的本质,期权价格是股价和时间的函数 = , 那么股价是服从一个Ito过程，那么V服从什么过程，知道了不就指导V的价值变化了吗？ Ito引理,伊藤引理,伊藤引理： = , + , 若G是x和t的函数，即= , 那么， = + + 1 2 2 2 2 + 新的过程G 漂移率为 + + 1 2 2 2 2 方差率为 2,期权价格与伊藤引理,股价的几何布朗运动 =+ 期权价格是股价和时间的函数 = , 那么期权的价格运动方程 = + + 1 2 2 2 2 + ,对数正态特性,用Ito引理推导lns的过程 = 由于 = 1 2 2 = 1 2 =0 从而，有 = 1 2 2 +,对数正态特性,在当前时刻0和将来某一时刻T之间，的变化是正
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