用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题

1 / 7 用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题 用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题 万海芬 （怀仁县第一高级职业中学） 排列组合属于数学中相对独立的一门分支学科，它研究的核心问题是在给定条件下的某事件可能出现的情况总数。排列组合既是学习概率论与数理统计的理论基础，又是组合数学中最基本的概念。由于排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思想抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除了做到排列组合分清，加法乘法原理辩明外，还应注意避免重复或 遗漏。 在排列组合问题中，除了最直观的捆绑法和插空法外，还有常用的幂指法等。这里，主要讨论分类的数学思想解决能用幂指法解决的问题。 幂指法属于分步法的一种特殊情况，完成目标事件的2 / 7 每一步方法的个数是相同的，即 m1=m2= =mn=m 那么总数N=mn,因此我们也可称它为乘方原理。幂指法一般出现于允许重复的排列问题中。这类问题研究的对象是不受位置约束的元素，一般把 n 个不同的元素无限制地安排在 m 个不同的位置上的排列数为 N=mn.不难看出这类排列问题允许空位的存在。并且每一个位置中的元素个 数不受限制。所以我们可以根据位置的数量进行分类。 例：把三名实习生分配到 5 个车间实习，共有多少种不同的分法？ 利用幂指法解：每名实习生都有 5 种不同的分法。所以 3 名实习生共有 53=125（种）不同的分法。 利用分类的数学思想去解，根据所选车间的数量进行分类。 第一类：只选一个车间实习。 从 5 个车间中任选一个车间， 3 人同去一个车间有C51C33=5（种）分法。 3 / 7 第二类：选两个车间实习。 首先从五个车间中任取两个车间 ，有 C52种取法。针对每取出的两个车间又各有几种分配方法，不妨以取到 1 号车间和 2 号车间为例，（ 1） 1 号车间可以去 1 人。 2 号车间去 2 人。这时， 1 号车间的 1 人来自已有的 3 人，余下的 2人去 2号车间，有 C31C22种分配方法。（ 2） 1 号车间去 2人，2 号车间就去 1 人。这时 1 号车间的 2 人来自已有的 3 人，余下 1 人去 2 号车间。有 C32C11 种分配方法。此时共有C31C22+C32C11=6（种）分配方法。而两个车间的取法又有C52 种取法，所以选两个车间实习的方法共有 C52（ C31 C22+C32C11） =60（种）。 第三类：选三个车间实习。 从五个车间中任取三个车间。有 C53种取法。三个实习生只能每人去一个车间，又能进行全排列。所以共有C53A33=60（种）分配方法。 综上所述，共有 C51C33+C52（ C31C22+C32C11）+C53A33=125（种）不同的分配方法。 4 / 7 相对幂指法，分类思想解决本题较为复杂，但通过几年的教学发现，能用分类思想解决此题，就能解决一系列相关题目。并为不能用幂指法去解决的题目的解题思路提供帮助。如： 1.将 4 个不同的小 球，放入编号为 1、 2、 3、 4 的盒子中。 （ 1）求有多少种不同的放法？ （ 2）若 1 号盒子中有两个球，求有多少种不同的放法？ （ 3）若没有空盒子，求有多少种不同的放法？ （ 4）若有两个空盒子，求有多少种不同的放法？ 解析： （ 1）根据所选盒子的数量进行分类。第一类：只取一个盒子，有 C41=4（种）取法。 4 个球会进入同一个盒子。也就有 C41=4（种）放法；第二类：取两个盒子，有 C42=65 / 7 （ 种 ） 取 法 。 这 时 针 对 每 取 到 的 2 个 盒 子 都 有C41C33+C42C22+C43C11=14（种）取法。所以共有 C42（ C41C33+C42C22+C43C11） =84（种）不同的取法；第三类：取三个盒子，有 C43种取法。这时针对每取到的 3 个盒子又有 C41C31C22+C41C32 C11+C42C21C11=36（种）取法。所以共有 C43（ C41C31C22+C41C32C11+ C42C21C11） =144（种）取法；第四类：取 4 个盒子，共有 4 个球，相当于做一次全排 列。即有 A44=24 （种）不 同的放 法。所 以共有4+84+144+24=256（种）不同的 放法。 （ 2）若 1 号盒子中有两球，相当于剩下两个球要放进三个盒子。同样可以根据盒子的数量进行分类。第一类：只取一个盒子，有 C31种放法；第二类：取 2个盒子，有 C32种取法，共有 2 个小球，可以进行排列，即 A22C32.所以共有 C42（ C31+A22C32） =54（种）不同的放法。 （ 3）若没有空盒子，恰好 4 个盒子全用到了。相当于（ 1）中的第四类。 （ 4）若有两个空盒子，也就是从 4 个盒子中用到两个盒子。正好相当于（ 1）中的第二类。 6 / 7 2.把 5个相同的小球放入 3 个形状不同的盒子里，如果允许有盒子不放球，求有多少种不同的放法？ 解析：可以根据盒子的数量进行分类。第一类：取一个盒子，有 C31=3 种方法；第二类：取 2个盒子，有 C32种。针对每取到的两个盒子，都有 4 种不同的放法，所以共有4C32=12 种放法；第三类：取 3 个盒子，有 1 种取法， 5 个小球可分为 1、 1、 3 和 1、 2、 2 两组。在第一组中， 3 个球可以放进任意一个盒子中，有 3种不同的放法，在第二组中，1 个球可放进任意一个盒子中。也有三种不同的放法，因为小球相同，所以有 3+3=6（种）不同的放法。合起来，共 有3+12+6=21（种）不同的放法。 在教学过程中发挥典型题的作用，发展学生思维，解决排列组合应用问题是教学的重点，也是难点，更是发展学生思维的好素材。如何抓住重点、突破难点，首先要发挥典型问题的作用。因此，本例是典型题，通过典型题掌握基础知识、基本方法。但