《微积分》总复习试题.pdf

广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作第七章第七章无穷级数无穷级数一、选择题1当)(1nnnba收敛时，1nna与1nnb（）（A）必同时收敛。（B）必同时发散（C）可能不同时收敛(D）不可能同时收敛2级数12nna收敛是级数14nna收敛的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（B）充要条件（D）既非充分也非必要条件31nna为任意项级数，若na1na且0limnna，则该级数（）（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定4关于02)!(nnnxy，则yyx=（）（A）y（B）2y（C）y（D）0二、填空题1幂级数0)10(npnpnx的收敛区间为。2级数011nna当a满足条件时收敛。3幂级数0138)1(nnnnnx的收敛半径为。4若)41()1(31xxaxnn则na=。三、判断下列级数的敛散性。11)1(3nnnnn2.dxxxnn)1(1102312!12nnnn4.11sin)2ln(1nnn四、判断下列级数的敛散性，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛。广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作1)1()1(1nnnn2.111ln)1(nnnn五、求下列幂级数的收敛区间。11211)!12)(12()1(nnnxnn2.1214)1(nnnnxn六、将下列函数展成在指定点的幂级数，并求出其收敛区间。10(sin)(2xxxf处）2.xxxf在(ln)(=1处）八求级数)1(1212xxnnnn在收敛区间内的和函数，并求1221nnnn的和。九求证：21sin1nnnx第八章第八章微分方程微分方程(1)一、填空题1已知曲线y=y(x)过点（0，21）且其上任一点（xy）处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)=2以122ycx为通解的微分方程是（其中为任意常数）3。微分方程ydx+(c2-4x)dy=0的通解为4微分方程axxyyln的通解为5已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解e-xexsinxcosx则该微分方程为二、选择题已知函数y=f(x)在任意点x处的增量y=21xxy且当xo时，是比x更高阶的无穷小量，y(o)=，则y(1)等于（A）2（B）（C）4e（D）4e2y=y(x)是微分方程0sinxeyy的解，且0)(0xf，则f(x)在（A）x的某个邻域内单调增加（B）x的某个邻域内单调减少（C）x处的取极小值（D）x处取极大值3一曲线通过点m(4.3)且该曲线上任意一点p处的切线在y轴上的截距等于原点到p的距离，则此曲线方程为（A）2522yx（B）1022xy（C）25)9()9(22yx（D）1642xy4下列方程中可利用ypyp降为p的一阶微分方程的是广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作（）0)(2xyxy（）02yyyy（C）022xyyyy(D)0xyyy三、求解下列微分方程1.求ydx+(x2y-x)dy=0，满足11xy的特解，2.求xeyy11的通解四、求xxyysin的通解。五、已知xxy21，xxy2，xxxey23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。六、已知函数f(x)可微，且对任意实数xy满足：f(x+y)=)()(xfeyfeyx求此函数f(x).七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为m机车牵引力为F阻力为a+bv其中ab为常数，v为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s(t).第八章第八章微分方程微分方程(2)一、单项选择题设y=)(xf是方程042yyy的解，若0)(0xf则)(xf在0 x点（A）取得极大值；（B）取得极小值；（C）某邻域内单调递增；（D）某邻域内单调递减；函数xey23是方程04yy的（A）通解；（B）特解；（C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不对微分方程xyy2cos52的特解应具有形式（其中，abc为常数）（A）)sincos(22xbxax（B）xcxbax2sin2cos（C）a+bcos2x(D)ax2+bcos2x+csin2x4.微分方程xxeyyy396特解应具有形式（A）（Ax+Bx）e3x(B)x(Ax+B)e3x（C）x2(Ax+B)e3x（D）Ax3e3x5.设一动点以等加速度a作直线运动，且其初速度为v0初始位移为s0，则此质点规律是（A）s=v0+s0(B)00221stvats(C)020stvs(D)002stvats6函数f(x)满足关系式)(21)2()(20 xfndttfxfx则广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作（A）1n2ex（B）1n2e2x（C）ex+ln2（D）e2x+ln2.二、填空题1.微分方程02yyy的通解y=2.以221为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是3.以xexxxcossin为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是4.微分方程yyy通解32三、判断下列方程的类型并求其解求的特解满足20)23(05xydyyxydx求(xey+1)dx+(yexy221)dy=0的通解四、求微分方程的xxeyyy265的通解五、已知函)(xfy的图形经过原点和点M（1，2），且满足微分方程，0122yyy求).(xf六、设二阶常数线性微分方程xeyyay的一个特解为)1(2xxy试确定常数并求该方程的通解七、设函数)(xf连续可微，1)1(f且对任意闭曲线C都有0)(43dyxxfydxxC求).(xf微积分试题及答案微积分试题及答案一、单项选择题一、单项选择题1设)(yxf在点)(ba处的偏导数存在，则xbxafbxafx)()(lim0=。A、0；B、)2(bafx；C、)(bafx；D、)(2bafx。20limnnu是级数0nnu发散的。A、必要条件；B、充分条件；C、充要条件；D、既非充分又非必要。广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作3在区域D：220 xRy上的dxyD2值为。A、2R；B、24R；C、332R；D、0。4下列函数中，哪个是微分方程02xdxdy的解。A、xy2；B、2xy；C、xy2；D、2xy。二、计算题（二、计算题（16分）分）1设)(22xyeyxf，其中f具有一阶连续偏导数，求x，yx2。2已知1xyzxyz，确定的)(yxzz，求dz。三、（10分）求dxdydzyx)(22的值，其中为曲面zyx222和平面2z所围成的区域。四、（10分）求dxdyzdydzx22，其中为22yxz和1z所围立体边界的外侧。五、（12分）求微分方程1)(1)(02sinyyxyy的特解。六、（10分）求01nnnx的和函数。参考答案参考答案一、一、单项选择题（15分，每题3分）1、D；2、A；3、D；4、B。二、计算题（16分）1xyyefxfxu2124分xyxyxyxyxyxyefefxefyfyfyfxyxu22222112112)2()2(22222221212211222fxyefefxyefeyfexfxyxyxyxyxyxy10分21xyzxyzF1分广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作xyFxzFyzFzyx3分xyyzFFxzzxxyxzFFyzzy5分)()(1dyzxdzzyyxdz6分三、(10分)dzdddxdydzyx2022320222)(6分31610分四、（10分）dxdyzdydzx22dxdydzzx)22(4分11020)cos(2rdzzrrdrd8分3210分五、（12分）012rir2分设此方程的特解为：xBxAy2sin2cos代入原方程得xxBxA2sin2sin32cos3310BA6分故此方程的通解为：xxcxcy2sin31sincos2110分代入初始条件31121cc特解为：xxxy2sin31sin31cos12分六、（10分）121limnnn1R2分从而收敛域为)11广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作设01)(nnnxxS)sin(xx011nnnx)(xxSxxnn110)1(x)1ln(11)(0 xdxxxxSx)11(x8分当0x时，有)1ln(1)(xxxS1)()0(lim0xSSx01)10()01)1ln(1)(xxxxxS10分第六章第六章多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用一、填空题1若xyuarctan，则xu=.2由xy+yz+zx=1确定隐函数z=f(xy)则xz=.3函数z=222yxx-xy1的定义域为D=(xy)4已知f(x+yx-y)=x2y+y2则f(xy)=.二、设函数ln()Zxy，则Zx()(A)1y(B)xy(C)1x(D)yx三、设2sin()Zxy则Zx()(A)2cos()xyxy(B)2cos()xyxy(C)22cos()yxy(D)22cos()yxy四、设3xyZ，则Zx()(A)3xyy(B)3ln3xy(C)13xyxy(D)3ln3xyy.广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作五、选择题1使yxz2=2x-y成立的函数是（）（A）、Z=x2y-21xy2+ex+y（B）、Z=x2y-21xy2+ex(C)、Z=x2y-21xy2+sin(xy)（D）、Z=x2y-21xy2+exy+32.函数f(xyz)=4(x-y)-x2-y2()(A)、有极大值8（B）、有极小值8（C）无极值（D）有无极值不确定2u=e-xsinyx则yxu2在点（2，1）处的值为（）（A）e（B）（e）3（C）（e）2（D）13z=xy+x3则xz+yz=（）（A）x+y+2x2（B）x+y+3x3（C）2x+y+3x2（D）x+y六、设u=f(xyx+2y)f有连续的二阶偏导，求yxu2。七、设z=z(xy)由方程x2+y2+z2=yf(yz)确定，且f可微，求证：(x2-y2-z2)xz+2xyyz=2xz八、设w=f(t)t=(xyx2+y2)其中f有连续二阶偏导，求22xw。第六章第六章多元函数微分学多元函数微分学一、单项选择题一、单项选择题1.设z=x2sin3y则yz=()A.-3x2cos3yB.-x2cos3yC.x2cos3yD.3x2cos3y2.函数z=xy(x0 x1)，则dz|(22)=（）A.4(dx+dy)B.4(dx-dy)C.4(dx+ln2dy)D.4(dx-ln2dy)3.设函数f(xy)=xy+xy则)11(fx=（）A.0B.1C.1D.24.设22lnyxz则)11(|dz（）广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作A.dydx2121B.dydx22C.dydx3131D.dydx335.设函数f(xy)=3x2+2xy-y2则dz|(1-1)=（）A.(6x+2y)dx+(2x-2y)dyB.4dx+4dyC.8dxD.(6x-2y)dx+(2x-2y)dy6.设u=x2+3xy-y2，则yxu2=().A.-2B.2C.3D.6二、填空题二、填空题1.f(xy)=x2y12的定义域是_.2.已知xyez，则dz.3.设函数z=x2+xy-y2，则dz=.4.设z=f(x2+y2)满足yzyxzx=1，其中f可微，则f(t)=_.5.设yxz，则xz，yz.三、解答题三、解答题1.设yyxz)1(2，求yzxz2.函数)(yxfz由方程yzzxln所确定，求：xz3.设)(yxfz是由方程03xyzez确定的隐函数，求z的全微分dz。计算二重积分(6)Dxydxdy，其中D是由51yxyxx所围成的域求积分112003ydyxydx()Dxyd计算二重积分，21Dyxxx其中由曲线轴围成计算二重积分xyDxed()|0101Dxyxy其中计算二重积分xyDedxdy，其中区域D是由0101xxyy围成的矩形。广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作求二重积分()Dxyxydxdy，其中D是由x轴及1xy三直线围成的域。计算二重积分Dxdxdy其中D为2yx与24yxx所围成的区域。计算二重积分()Dxydxdy，其中D表示1x及1y围成的区域。求二重积分2Dxydxdy，其中D是由2yx，0y，1x围成。222(0)2DpxydxdyDypxxp11.求是由和围成的区域12.设()ZZxy由方程2ln0ZexyZ确定，求dZ13.设函数2ln()Zxy，求dZ()2()yyfxyxyefxy已知求2()()()xyxyfxyeyxfxyfxy已知求和222ln()ZZZxxyxxy设求设22lnZxy求偏导数已知2242(3)xyZZZxyxy设求和四、证明题四、证明题1.证明)(xyFz满足方程0yzyxzx。2.设z=)yxln(，证明21yzyxzx30.设z=f(x2+y2)其中f(u)为可导函数，求证yzxxzy=0.第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用一、单项选择题一、单项选择题1.设)(xf在区间ba上连续，)()()(bxadttfxxa，则)(x是)(xf的（）A.不定积分B.一个原函数C.全体原函数D.在ba上的定积分广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作2.3020sinlimxdttxx（）A.41B.31C.21D.13.22cosxdxx（）A.32B.34C.0D.324.xdxxsin2（）A.2B.1C.-2D.05.dxxcos21xsin3（）A.0B.1C.-1D.26.设常数0a，则dxxaa220（）A.2aB.24aC.D.aarcsin7.21dx)1x3(（）A.29B.3C.4D.278.设10a2dx)ax2(则常数（）A.-1B.0C.21D.19.广义积分1xdx（）A.收敛B.发散C.敛散性不能确定D.收敛于110.下列广义积分中，收敛的是（）A.1dxxB.11dxxC.11dxxD.121dxx11.0arctanxxdx()(A)1112x(B)21arctanln(1)2xxx广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作(C)1112x(D)211x12.下列积分可直接使用牛顿莱不尼兹公式的有()(A)53201xdxx(B)1211xdxx(C)43202(5)xdxx(D)11lneedxxx13.设)(xf为连续函数，则()xaftdt为()(A)()ft的一个原函数(B)()ft的所有原函数(C)(xf的一个原函数(D)(xf的所有原函数1.011()()22xftdtfx，且(0)1f，则()fx()(A)2xe(B)12xe(C)2xe(D)212xe2.1211dxx()(A)-2(B)2(C)0(D)发散二、填空题二、填空题1.21|1|dxx_2.比较积分大小：20xdx_20sinxdx3.dxxxx221sin_4.113._dx)1xcosxx3(5.已知函数f(x)=21dx)x(f0 xx10 xx1则_.6.函数xxtdty02sin在处的导数值为.7.设xdttx则6)12(1.8.定积分1211xdxx_；广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作9.定积分112121xedxx=_；10.若广义积分2011kdxx，其中k为常数，则k_；11.定积分1321sinxxdx_；1.1211xdxx_；2.30(sin)xttdt_；3.广义积分211dxx_；4.()badfxdxdx_；5.设)(xf在ab上连续，则()()bbaafxdxftdt_；6.2xy与1y所围面积为_面积单位；7.若函数)(xf在ab上连续，)(xh可导，则()()hxadftdtdx_；8.当x_时，xtdttexF02)(有极值；9.设0()xtfxtedt，则(0)f_；10.若02kxedx，则k_；11.21(ln)edxxx_；12.2131xxedx_；广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作13.20sinxdttdtdx_；14.若20(23)0kxxdx，则k_；15.1211xxdxx_.三、解答题三、解答题1.设215102)(xxxxf求20)(dxxf2.设30102)(2xxxxxf当当，求：32)(dxxf3.求下列定积分（1）102)3(dxxx（2）411xdx（3）10.2dxxex（4）dsinsin0531.求定积分0()cosxxdx2.求定积分12201xdxx3.求定积分30(1sin)xdx4.求定积分911dxxx5.12201xxdx6.51lnedxx7.2211dxx广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作8.计算250cossinxxdx9.求定积分411xdxx10.求定积分4011dxx11.20sin2xdx4.计算抛物线xy22与直线4xy所围成的图形的面积。5.求由曲线y=x1与直线y=x及x=2所围图形的面积.6.求由曲线y=x2与直线y=2x+3所围成图形的面积四、证明题四、证明题1.设函数f(x)是0，1上的连续函数，证明：2020.dx)x(cosfdx)x(sinf2.证明：2020nnxdxcosxdxsin其中n为正整数.五、计算题五、计算题1.求在区间02上，由x轴与sinyx所围成的图形的面积。2.求曲线2xy与直线xy围成的图形的面积。3.求曲线xye，xye和1x围成的平面图形的面积。4.求曲线xy1，2x和4yx围成平面图形的面积。5.求曲线12xy与1xy围成的图形的面积。6.设平面图形由xyeye，0 x围成，(1)求此平面图形的面积；(2)将上述平面图形绕x轴旋转，求所形成的旋转体的体积。7.求由直线25yx与曲线214yx所围平面部分的面积；广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作微积分应用题部分微积分应用题部分四、应用题四、应用题11、某车间靠墙盖一长方形小屋现有存砖只够砌24米长的墙问该屋长、宽各为多少时小屋面积最大？最大值为多少？22、某厂每批生产某种产品x单位时的费用为C（x）=5x+200（元），得到的收益为R（x）=10 x-201.0 x（元），问每批生产多少单位时，可以使利润最大？33、某商品的价格p与需求量Q的关系为p=10-5Q（1）求需求量为20时的总收益R、平均收益R、和边际收益R（2）Q为多少时总收益最大？44、某产品生产x单位时的总成本C为x的函数C=C（x）=2120011100 x（1）求生产900单位时的总成本和平均单位成本；（2）生产900到1000单位的总成本的平均变化率；（3）生产900单位和1000单位的边际成本；5、欲围造一个面积为15000平方米的矩形运动场，其正面材料造价为每平方米600元，其余三面材料造价为每平方米300元，试问正面长为多少时，才能使材料费量少？6、某商品的供应量Q与价格P的关系是Q=1000(P-70)，市场需求量q与价格的关系是q=5000（100-p）求（1）需求量对价格的弹性；（2）供求平衡时价格和供应量各是多少？（3）供求平衡时的边际收益的总收益。7、某商品的总成本C=1000+5q(q为产量)，需求量Q与价格P的关系Q=2000（10-p），求：（1）需求量对价格的弹性；（2）产销平衡时求边际利润；（3）求最佳产量。8、设生产x件产品的成本为C=25000+2401200 xx，问：（1）生产多少件产品，可使平均成本最小？（2）若每件已500元的价格销售，则生产多少件时可获利最大？9、设某企业的总收入R与产量x的函数关系为R=422632xxx总成本C与产量x的关系为C=8x+2x，求：（1）利润函数；（2）边际收益函数；（3）边际成本函数（4）产量为多少时获利最大？最大利润是多少？10、设某商品的需求量Q是价格p的函数，该商品的最大需求量为1000（即p=0时Q=1000），已知需求量的变化率为（边际需求）广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作总复习吖恰制作ppQ）（）（313ln1000，求需求量Q与价格p的函数关系。1111、设生产某产品x单位的成本C为x的函数，固定成本为20元，边际成本为102xxC）（，求总成本函数C（x）。1212、在区间0，4上，计算曲线442xyxxy轴以及轴，与所围城图形的面积。1313、计算由面图形的面积）处的法线所围成的平，与该曲线在点（12122xy1414、求由曲线轴旋所围成的平面图形绕与直线xxxxyxy0)0(22一周所生成的旋转体的体积。15、计算由曲线22yxxy和所围成的平面图形的面积，以及该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。16、计算由曲线02012yxxxy所围城的平面图形的面积，以及该图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。17、设某商店以每件10元的进价购进